第06讲 多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册

第06讲多边形和圆的初步认识(6类热点题型讲练)
1.掌握多边形和正多边形的定义；
2.掌握多边形的角平分线的规律；
3.掌握圆的相关计算问题.
知识点01多边形
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.
【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.
（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02多边形的对角线
顶点3456n 从一个顶点出发的对角线的条数0123n-3
对角线的总条数0259
2)3
(-n
n 分割成三角形的个数0234n-3
知识点03圆
（1）圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作A
，读作“圆弧AB”或“弧AB”；
（2）圆的周长公式：r
Cπ2
=；圆的面积公式：2r
Sπ=.
题型01多边形的概念与分类
【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；
D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由()3
n n≥条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
∴属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误；
（2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误；
（3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确；
（4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误．
故正确的有：1个．
故说：A．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．
题型02多边形对角线的条数问题
【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】D
n-条对角线进行求解即可．
【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引()3
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
n-=，
根据题意，得32023
n=．
解得2026
题型03对角线分成三角形个数问题
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成故答案为：1，2，2；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成故答案为：2，3，5；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成题型04用七巧板拼图形
A ．2
1dm
4B ．2
3dm
8C ．
3
123218
÷⨯=
（平方分米）答：阴影部分的面积为2
3dm 8
．
故选：B ．
【答案】
3
4
/0.75【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，∴大正方形面积4=，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
【答案】
3
2
【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出积．
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形∵正方形ABCD 的边长为∴AE DE DF FC ===∴ADC EDF S S S =-= 故答案为：
3
2
．题型05平面镶嵌
【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（）种图形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
．B．．．
【点睛】本题考查了图形的密铺，一种图形能够密铺，则拼在同一顶点处的几个角恰好组成一个周角．题型06圆的周长和面积问题
πB．4
A．2
2R
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为
的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为
【答案】4π
【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点
【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点
【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
一、单选题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（）条对角线．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
n-，进行计算即可．
【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是3
-=，
【详解】解∶532
∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以n-．
连的对角线的条数是3
2．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条
数的2倍，则这个多边形的边数是(
)A ．5
B ．9
C ．8
D ．6
【答案】D 【分析】设此多边形有n 条边，根据题意可得()23n n =-，解方程，即可求解．
【详解】解：设此多边形有n 条边，由题意，得
()23n n =-，
解得6n =，
故选：D ．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数问题，熟练掌握从n 边形的一个顶点出发的对角线条数为()3n -条，是解题的关键．
3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（）
A ．①②④
B ．①②
C ．①④
D ．②③
【答案】D 【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案.
【详解】解：A 、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为
60902120360︒+︒⨯+︒=︒，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
B 、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为603902360︒⨯+︒⨯=︒，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
C 、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为6021202360︒⨯+︒⨯=︒，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
D 、由于正五边形的内角为108︒，正方形的内角为90︒，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；
故选：D .
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.4．
（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（）
A．2
8cm B．4cm
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
A．54B．44C．35
【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为
()3
2
n n-
进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有
一个十边形共有
()
10103
35
2
⨯-
=条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个二、填空题
【答案】猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：以AB为直径的半圆的长是：
11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
【答案】3,4,5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1
【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可．
【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n 边形被分为（n -1）个三角形．
∵n -(n -1)=1，
∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1.
【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系．
12．
（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O 为四边形ABCD 内一点，连接OA OB OC OD ，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（2）如图②，点O 在五边形ABCDE 的边AB 上（不与端点重合），连接OC OD OE ，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A 作六边形ABCDEF 的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n （4n ≥，且n 为整数）边形，上述三种情况分别可以将n 边形分割成多少个三角形？
【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n 边形内部，则可以将n 边形分割成n 个三角形；若点在n 边形的边上（不与端点重合），则可以将n 边形分割成()1n -个三角形；若点为n 边形的顶点，则可以将n 边形分割成()2n -个三角形．
【分析】（1）根据图形，求解即可；
（2）依据题中的图形，求解即可；
（3）依据题中的图形，求解即可；
（4）根据前面三种情况求解即可．
【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等；
（2）可以得到4个三角形，它等于边数减1；
（3）可以得到4个三角形，它等于边数减2；
（4）由前面的性质可得，若点在n 边形内部，则可以将n 边形分割成n 个三角形；若点在n 边形的边上（不与端点重合），则可以将n 边形分割成()1n -个三角形；若点为n 边形的顶点，则可以将n 边形分割成()2n -个三角形．
【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质．
13．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
(2)分析探究：由凸n 边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n 边形有(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
【答案】(1)9，14
(2)()3n -，()132
n n -(3)54
【分析】（1）分别通过计数可得答案；
（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再总。