七年级数学下册 竞赛辅导资料(4)经验归纳法
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。
接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。
一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。
2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。
3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。
4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。
二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。
2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。
3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。
4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。
5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。
三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。
2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。
3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。
四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。
2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。
3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。
4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。
五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。
2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。
六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。
2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。
3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：经验归纳法
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（ 13）经验归纳法【知识精读】1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），…………归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……③推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例1解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4………第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n, 即2)1(nn个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。
例如 5！＝1×2×3×4×5。
数学归纳法
数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。
归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。
数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。
归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。
类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。
归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。
归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。
在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。
归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。
1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。
其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。
这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。
最后要注意分类的层次性和关联性。
分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。
其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。
但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。
初中资料七年级下数学辅导知识点总结
七年级下数学辅导知识点总结六年级数学是整个初中实践经验数学的基础，一定要掌握扎实，整理了一些比较重要的知识点。
经过直线外一点，有且只有一条直线与那条直线平行。
如果两条直线都与第三项直线平行，那么这七条直线也直角互相平行。
1、直线平行的条件数条两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
直线六条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
两条直线被第三条直线第三条解出来，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
2、平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条一条线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
1、加法：（1）同号相加，取相同的符号，把一定值相加。
（2）异号相加，一定值相等时和为0；一定值不等时，取一定值较大的数的符号，并用较大的一定值减去较小的一定值。
（3）一个数与0相加不变。
2、减法：减去一个数，等于加上这个个数的相反数。
3、乘法：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，一定值相乘。
（2）任何数与0相乘得0。
（3）乘积为1的两个有理数互为倒数。
4、除法：（1）除以一个数等于乘以一个数的倒数。
（2）0不能作除数。
5、乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
6、混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
7、平方根：（1）如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
（2）如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
（3）一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
（4）求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
8、立方根：（1）如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
（2）正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的普莱邦是负数。
（3）求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数1、三角形：由同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
数学归纳法相关知识总结
数学归纳法相关知识总结数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明某种性质对于所有自然数成立。
它是数学推理和证明的重要基础，具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对数学归纳法的基本概念、步骤以及一些常见的应用进行总结和讨论。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法基于自然数的递增性质，通过证明某个性质在第一个自然数上成立，并证明该性质在一个自然数成立时也在下一个自然数上成立，从而得出该性质对于所有自然数成立的结论。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法一般分为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先证明当n等于某个确定的值时，所要证明的性质成立。
这个确定的值通常是第一个自然数1或者0。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
然后证明当n等于k+1时，所要证明的性质也成立。
在归纳步骤中，对于任意一个自然数k，只需要证明性质在k+1上成立即可。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设当n等于k时，所要证明的性质成立。
这个假设是数学归纳法的关键，通过它我们可以得出当n等于k+1时，所要证明的性质成立的结论。
三、数学归纳法的应用1. 数列的性质证明：数学归纳法常用于证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明斐波那契数列的递推公式。
假设当n=k时，斐波那契数列的递推公式成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
然后证明当n=k+1时，递推公式也成立，即F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
通过数学归纳法，我们可以证明递推公式对所有自然数成立。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法也可以应用于证明一些数学恒等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，在n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
然后，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接着证明当n=k+1时，等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+1+1)/2。
七年级下册数学归纳知识点
七年级下册数学归纳知识点数学归纳法是一种数学证明方法，也是解决数学问题的常用工具。
它通过三个步骤，即证明基本情形、证明归纳假设和归纳推理，来推导出结论。
1. 基本情形的证明
归纳法的第一步是证明基本情形，即针对问题中最小的特殊情况进行证明。
这通常是十分显而易见的。
例如，假设要证明所有正整数的平方都是正整数。
我们可以选择基本情形为1，即1的平方为1，显然是正整数。
对于所有其他正整数，可以通过归纳法来证明它的平方也是正整数。
2. 归纳假设的证明
归纳法的第二步是证明归纳假设。
归纳假设是指假设某个性质对于一些特殊的情形成立，我们要使用归纳法来证明该性质对于其他情形也成立。
对于归纳假设的证明，通常选择一个具有代表性的情况进行证明。
例如，如果要证明所有正整数的平方都是正整数，我们可以
选择证明如果一个正整数的平方是正整数，则这个正整数加上1
的平方也是正整数。
3. 归纳推理的证明
归纳法的第三步是归纳推理，即通过基本情形和归纳假设来证
明结论。
例如，对于证明所有正整数的平方都是正整数，基本情形为1
的平方为1，且如果一个正整数的平方为正整数，则这个正整数加上1的平方也是正整数。
因此，通过归纳法可以证明所有正整数
的平方都是正整数。
除了证明性质的正确性，归纳法还可以用来设计算法。
例如，
可以使用归纳法来证明一个递归算法的正确性。
总之，数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法和问题解决
工具，掌握它可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学能力。
数学竞赛培训材料——数学归纳法
10、数学归纳法一、运用数学归纳法的关键，是由n =k 成立，推到n =k +1成立．1、引入辅助命题，帮助完成引导例1 设a >0,b >0,n ∈N ,证明nn n b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+22 2、利用形象思维，帮助实现引导例2 设有2n （n ∈N ）个球分成了许多堆，对其中任意两堆，可按以下规则挪动：甲堆的球数p 若不少于乙堆的球数q ，则从甲堆中取出q 个球放入乙堆，这算一次挪动，证明总可经有限次挪动把所有的球并成一堆．(1963年北京市数学竞赛)3、用简单情况总结规律，帮助实现引导例3 n 只容识相同的量杯中盛有n 种互不相同的液体，另外还有一只容积相同的空量杯，若这些液体都能互相混和．证明：可以通过有限次混和手续，使它们成为成份相同的n 杯溶液，另外还余一只空量杯．例4 试证：任意个正方形都可以割开，使由此得到的各块可以拼成一个正方形．二、灵活选取起点与跨度1、 为了方便规纳，适当增多起点例5 证明：任一正方形都可以剖分成n (n >5)个正方形．(1965年波兰数学竞赛)2、 为了便于起步，主动前移起点 例6 试证：对一切n ∈N +，都有2sin 22)12(sin cos 2cos cos 21ααααα+=++++n n ． 例7 试证：对一切n ∈N +，都有2n +2>n 2．例8 证明：任一有限集，都可以把它的全部子集排成一列，使得每两个相邻子集都只相差一个元素． 例9 试证：对一切n ∈N +，方程x 2+y 2=z n 都有正整数解．三、选取合适的假设方式1、以“假设n ≤k 时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例10 设数列{a n }满足：①a 1=21；②a 1+a 2+…+a n =n 2a n (n ≥1)．试证明此数列的通项公式为a n =)1(1+n n ． 2、以“假设n =k ,k +1时命题成立”代替“假设n =k 时命题成立”例11 设x 1,x 2是方程x 2－6x +1=0的两个根，试证：对于任何自然数n ，x 1n +x 2n 都是正整数，但不是5的倍数．四、改变归纳途径例12 设函数f 对一切自然数n 有定义，且① f (n )是整数；② f (2)=2, f (mn )=f (m )f (n )；③ 当n >m 时，f (n )>f (m )．求证：f (k )=k (k ∈N ).五、主动加强命题例13 设0<a <1,定义a 1=1+a , a n +1=a +na 1(n ≥1)．证明：对一切n ∈N ，有a n >1． 六、数学归纳法并非万能例14 设a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，a i 1,a i 2,…,a in 是它们的任何一种排列，试证：n inn i i a a a a a a a a a +++≥+++ 212222121．七、数学归纳法的一些例子例1 设a 0，a 1，a 2，…是一个正数数列，对一切n =0，1，2，…，都有a n 2≤a n -a n +1．证明：对于一切n ∈N +，都有a n <11+n ． 例2 已知a ，b 为正数，且b a 11+=1．试证：对每一个n ∈N ， (a +b )n –a n -b n ≥22n -2n +1．(1988年全国高中数学联赛)证明例3 设A n =333 (共n 重3)，B n =888 (共n 重8)，证明：对一切n ∈N ，(n >0)，有A n +1>B n ．(88年合肥市高中数学竞赛)证明 由A 2=33=27，B 1=8，则A 2>3B 1。
七年级下册数学知识点归纳总结
七年级下册数学知识点归纳总结七年级下册数学知识点主要包括比例与相似、三角形、平行线与比例、统计与概率等内容。
通过本文档的归纳总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
首先，比例与相似是七年级下册数学的重要内容之一。
在比例与相似的学习中，同学们需要掌握比例的性质和运用、相似三角形的性质及判定相似的条件等知识点。
比例的性质包括比例的基本性质、反比例的性质以及比例的运用，而相似三角形的性质包括相似三角形的判定条件、相似三角形的性质和应用等。
通过对这些知识点的学习，同学们能够更好地理解图形的相似性质，为以后的学习打下良好的基础。
其次，三角形是七年级下册数学的另一个重要内容。
在三角形的学习中，同学们需要了解三角形的性质、分类、判定和计算等知识点。
三角形的性质包括三角形内角和为180°、三角形的外角等，而三角形的分类包括按边分类和按角分类两种方式。
同时，同学们还需要学会利用三角形的性质进行计算，比如利用三角形内角和为180°来求解三角形内角的大小等。
另外，平行线与比例也是七年级下册数学的一个重要内容。
在平行线与比例的学习中，同学们需要掌握平行线的性质、平行线的判定条件、平行线与三角形内角的关系等知识点。
同时，同学们还需要了解比例的性质和运用，比如比例的基本性质、比例的计算等内容。
通过对这些知识点的学习，同学们能够更好地理解平行线与比例的关系，为以后的学习打下坚实的基础。
最后，统计与概率是七年级下册数学的最后一个重要内容。
在统计与概率的学习中，同学们需要了解统计的基本概念、统计图的绘制和解读、概率的基本概念和计算等知识点。
统计的基本概念包括调查、数据、频数等，而概率的基本概念包括随机事件、样本空间、概率的计算公式等。
通过对这些知识点的学习，同学们能够更好地理解和运用统计与概率的知识，为以后的学习和生活中的实际问题解决提供帮助。
总的来说，七年级下册数学知识点的归纳总结涉及了比例与相似、三角形、平行线与比例、统计与概率等内容。
七年级数学竞赛同步辅导讲义-下学期专用doc
七年级数学竞赛同步辅导讲义下册专用教育教材研发中心编第一讲整数的一种分类内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。
－9＝5（－2）＋1。
）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。
例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。
4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
数学竞赛-数学归纳法
3
3
3
2
求证： an n ． 例 3．如果正整数 n 不是 6 的倍数，则 1986 1 不是 7 的倍数．
n
例 4．设 a1 , a2 ,, an 都是正数，证明
a1 a2 an n a1a2 an ． n
例 5 ． 已 知函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 [ a, b] ， 对 于 区 间 [ a, b] 内 的 任 意 两 数 c, d 均 有
f (1) f (2) f (n 1) g (n)[ f (n) 1] 对于 n 2 的一切自然数都成立？并证明你
的结论． 例 12 ． 设 整 数 数 列 {an } 满 足 a1 1 ， a 2 12 ， a3 20 ， 且
an3 2an2 2an1 an ．证明：任意正整数 n ， 1 4an an1 是一个整数的平方．
n
n1
(n 1) n ．
2 n 1 an * 1 ( 1) ，求证：对于一切 n N ， a n 是整数． an
7．设有 2 个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲 戴盆望天的球数 p 不小于乙堆的球数 q ， 则从甲堆拿 q 个球放堆乙堆， 这样算是挪动一次． 证
例 13 ． 设
x1 , x2 ,, xn
为
正
数
（
n2
） ，
证
明
：
2 2 2 xn xn x12 x2 1 n 1． 2 2 2 x12 x2 x3 x2 x3 x 4 xn x x x x x 1 n 1 n 1 2
例 14．已知 a1 1 ， an 1 an
初中数学中的数学归纳法知识有哪些
初中数学中的数学归纳法知识有哪些数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明涉及自然数的命题。
它是基于自然数的递增性质，通过证明基础步骤与归纳步骤的正确性，来证明整个数列或命题的正确性。
初中数学中，数学归纳法被广泛应用于数列、等式、不等式等各个领域。
本文将介绍初中数学中的数学归纳法知识。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理是：若一个命题在以下两个条件满足时成立：1. 基础步骤：当n取最小值时，命题成立。
（例如，当n=1时，命题成立）2. 归纳步骤：假设当n=k（k为自然数）时，命题成立，那么当n=k+1时，命题也成立。
（例如，假设当n=k时，命题成立，则可以证明当n=k+1时，命题也成立）则可以得出结论：该命题对于所有大于等于基础步骤的自然数n都成立。
二、数学归纳法在初中数学中的应用1. 数列的证明：数学归纳法可用于证明数列的性质，例如等差数列或等比数列的通项公式。
首先证明基础步骤，即验证第一个或前几个项是否满足数列的规律；然后假设第k个项满足规律，通过归纳步骤证明第k+1个项也满足规律，从而得出结论：数列的规律对于所有项都成立。
2. 等式与不等式的证明：数学归纳法也可用于证明关于等式与不等式的性质。
首先证明基础步骤，即验证当n取最小值时等式或不等式是否成立；然后假设当n=k 时等式或不等式成立，通过归纳步骤证明当n=k+1时等式或不等式也成立，从而得出结论：等式或不等式对于所有大于等于基础步骤的自然数n都成立。
三、数学归纳法的实例1. 证明1+2+3+...+n的和公式为(n(n+1))/2：基础步骤：当n=1时，1的和为1，公式成立。
归纳步骤：假设当n=k时，1+2+3+...+k的和为(k(k+1))/2。
则当n=k+1时，1+2+3+...+k+(k+1)的和为[(k(k+1))/2]+(k+1)=(k+1)((k+1)+1))/2=(k+1)(k+2))/2。
可见，公式对于任意自然数n成立。
七年级下数学培优4-容斥原理于归纳思维.doc
七年级下数学培优4:容斥原理于归纳思维在我们解决数学问题时，经常遇到探索规律或者方案确定问题。
这是一类非常重要的问题，无论是在平时考试中还是在数学竞赛中，都是一个重点内容。
它涉及到统筹法的应用、容斥原理和归纳的数学思想方法，本篇文章就分类来讲解这类问题的思路和方法：一、核心知识1．统筹法的应用——生活中会遇到这样一些问题：完成一件事怎样合理安排，才能做到所用的时间最少；把一批货物从一个地方运到另一个地方去，选择什么样的运输方案，才能运费最省；车站设在什么地方，才最方便附近工作的乘客等．此类问题都涉及到如何统筹，目标是选择最佳．2．容斥原理的应用：（1）数集：把若干个数聚在一起叫数的集合，简称数集．例如0，1，2三个数，可写成集合{0，1，2}，其中0，1，2叫做这个集合的元素，一般集合用A、B、C等表示，用a、b、c等表示集合的元素，用|A|、|B|分别表示集合A、B元素的个数，用A∩B表示A和B的公共部分（即交集），用A∪B表示A或B的部分（即并集）．如设集合A={0,1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则|A|=5，|B|=4，A∩B={2,3,4}，A∪B={0,1,2,3,4,5}．（2）容斥原理公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|；解决原理公式有关问题的图形，通常使用“韦恩图”的方法．如图，其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合，而A、B的公共部分表示具有A、B两种性质的集合，A、B、C的公共部分具有A、B、C性质的集合．3．归纳思维——通过特例的观察、实验、抽象概括，引起直觉上的共鸣，发现事物的共性，这种规律性的思维过程称为归纳思维（即不完全归纳法）．二、例题讲解（一）统筹法的初步应用【例1】车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟，每台机床停产一分钟造成经济损失5元，问：应怎样安排修复顺序使经济损失最少？最少损失是多少元？【点拔】关注分析等待修理时间长的机床数的多少，哪一种更有利？【解答】7x5+8x4+10x3+15x2+29x1=156(分钟）156x5=780（元）【反思与小结】一般地，哪一个修理的时间最短，下修理哪一个.从整体上来说，先修理用时最短的，其他等待的总时间最短，从整体的经济效益来说，损失最小。
初中数学竞赛技巧知识点梳理
初中数学竞赛技巧知识点梳理参加初中数学竞赛是对学生数学能力的一次全面检验和挑战。
考察的内容除了基础知识之外，还需要运用灵活的思维和解题技巧。
为了帮助大家更好地备战数学竞赛，下面将对常见的数学竞赛技巧知识点进行梳理和讲解。
1. 解题方法的选择：在数学竞赛中，我们常常会遇到各种各样的问题，有些问题可以用多种方法去解决。
选择合适的解题方法是解决问题的关键。
常用的解题方法包括代数法、图形法、逻辑法等。
在选择方法时，可以根据题目的特点和自己的熟悉程度来决定。
2. 分析题意：在解决数学问题时，首先要对题目进行仔细的分析和理解。
了解问题所给的条件和要求，明确所求的目标。
只有充分理解了题目，才能有针对性地选择解题方法和展开解题步骤。
3. 灵活运用等式性质：在解决一些代数方程和不等式问题时，常常需要灵活运用等式性质。
比如可以利用等式的对称性、等式两边同时乘法或除法等性质。
通过对等式的变换和化简，将问题转化为更简单的形式，从而更容易解决问题。
4. 制定变量和建立方程：在解决实际问题时，常常需要通过建立方程来求解。
这就需要巧妙地选择变量，并构建与问题相关的方程。
通过建立方程，可以将问题抽象化，转化为数学模型，从而更方便地进行计算和求解。
5. 掌握数列和函数的性质：数列和函数是数学竞赛中经常出现的重要概念。
掌握数列和函数的性质可以帮助我们更好地理解和解决涉及数列和函数的问题。
例如，了解等差数列和等比数列的通项公式，可以快速计算出数列中的任意项；掌握函数的单调性和最值性质，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值等。
6. 利用图形性质：在几何题中，利用图形的性质是解题的关键。
对于平面几何题，我们可以利用平行线的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等进行解题。
对于空间几何题，我们可以利用立体图形的表面积和体积公式等进行解题。
通过充分理解和利用图形的性质，可以很好地解决各类几何问题。
7. 掌握常见的特殊方法：在初中数学竞赛中，还有一些常见的特殊方法可以帮助我们更快速地解决问题。
初中数学竞赛辅导资料
第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元方程的解也叫做根.例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0， |x |=6， 0x =0， 0x =2的解 分别是： x =－3， x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2。
关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时,有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a |b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时,方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2）x =4（a －2) ①有唯一的解？②无解? ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k－2（x－2)的解是整数?②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程(3x－2)a+（2x－3)b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解:① （x +1）=0, ②x 2=9， ③|x ｜=9， ④|x ｜=－3， ⑤3x +1=3x －1， ⑥x +2=2+x2。
关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________ 3. 在方程a （a －3）x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解; 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时，解是负数. 4。
(完整版)竞赛中的数学归纳法
竞赛中的数学归纳法（一）数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整 数0n n ≥时，)(n P 成立．例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =．（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明: 1o当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2o假设(2)n k k =≥成立，2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+-22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-,因为2k ≥时， 22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1o ，2o 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即1n =和2n =。
初中数学竞赛精品标准教程及练习14经验归纳法
初中数学竞赛精品标准教程及练习14经验归纳法经验归纳法是一种通过观察现象，总结规律，进而推广到一般情况的数学解题方法。
它在初中数学竞赛中经常被用来解决需要找到其中一种模式或规律的问题。
下面是一个关于经验归纳法的精品标准教程及练习，供初中生参考。
经验归纳法是一种通过观察特殊情况，从中总结规律，并推广到一般情况的解题方法。
它可以帮助我们发现问题背后的模式和规律，从而解决更为复杂的问题。
2.经验归纳法的步骤（1）观察特殊情况：首先，我们需要观察已知的特殊情况，例如给定的一组数据或一些已知条件。
（2）总结规律：通过观察特殊情况，我们可以总结出一些规律或模式。
这些规律可能是数列的规律、图形的规律或其他形式的规律。
（3）推广到一般情况：基于所总结的规律，我们可以推广到一般情况，即对于类似的问题是否也成立。
3.经验归纳法的应用（1）数列问题：经验归纳法常常用来解决数列问题。
例如，若题目给出前几项为1,4,9,16,25...，我们可以通过观察到这是一个平方数列，从而得出一般情况的规律：第n项为$n^2$。
（2）几何图形问题：经验归纳法也适用于解决几何图形问题。
例如，若题目给出一个由正方形组成的图形，每一层正方形的边长依次增加1，我们可以通过观察到每一层正方形的总数是前一层正方形总数加上该层正方形的个数，从而得出一般情况的规律。
（3）方程问题：经验归纳法也可以应用于解决方程问题。
例如，若题目给出一个等差数列的和为100，我们可以设该等差数列的首项为$a$，公差为$d$，根据等差数列的求和公式得出一般情况的规律。
4.经验归纳法的练习题（1）已知等差数列1,4,7,10...，求第100项的值。
（2）已知等比数列1,3,9,27...，求前10项的和。
（3）已知一个图形由三角形组成，第n层的三角形数量等于前n-1层三角形的总数量加上n。
求第10层的三角形总数。
（4）一个矩阵由正方形组成，第n层的正方形总数量等于前n-1层正方形的总数量加上该层正方形的数量（每一层的边长依次增加1）。
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初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归
纳法，也叫做经验归纳法。
例如
①由 ( － 1)2＝ 1 ，（－ 1 ）3＝－ 1 ，（－ 1 ）4＝ 1 ，……，
归纳出－ 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)
③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明
朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或
否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归
纳法证明）
乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×
21
+
n
, 即
2)1
(-
n
n
个交点。
例2．符号n ！表示正整数从1到n 的連乘积，读作n 的阶乘。
例如
5！＝1×2×3×4×5。
试比较3n 与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n ＝3, （n ＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n ＝9， （n ＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3n ＝27, （n ＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n ＝81, （n ＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n ＝243, （n ＋1）！＝6！＝720 ……
猜想其结论是：当n ＝1，2，3时，3n ＞（n ＋1）！，当n>3时3n ＜（n ＋1）！。
例3 求适合等式x 1+x 2+x 3＋…+x 2003=x 1x 2x 3…x 2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
解：x 1+x 2=x 1x 2的正整数解是x 1=x 2=2
x 1+x 2+x 3=x 1x 2x 3的正整数解是x 1=1,x 2=2,x 3=3
x 1+x 2+x 3+x 4=x 1x 2x 3x 4的正整数解是x 1=x 2=1,x 3=2,x 4=4
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5的正整数解是x 1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5=5
x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=x 1x 2x 3x 4x 5x 6的正整数解是x 1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6 …………
由此猜想结论是：适合等式x 1+x 2+x 3＋…+x 2003=x 1x 2x 3…x 2003的正整数解为x 1=x 2=x 3＝……=x 2001=1, x 2002=2， x 2003=2003。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有
＿＿个，n 位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数21a a 可记作10a 1＋a 2,三位数321a a a 记作
100a 1+10a 2+a 3,四位数4321a a a a 记作＿＿＿＿，n 位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n 3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①－个 1101111 2
52222个＝（＿＿＿）2；； 121111n 个－ 22222n 个＝（ ＿＿）2。
② 位91111 位95655＝（＿＿＿＿）2；
n 位
n 位56551111＝（＿＿＿）2
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123......91011 (99100)
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算12111⨯＋13121⨯＋14131⨯＋…＋20
191⨯＝ （提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a 是正整数，试比较a a+1和(a+1)a 的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m 等分,长n 等分(m,n 都是大于1的自然数)那么这mn 个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m 等分,宽n 等分,高p 等分，（m,n,p 都是大于2的自然数）那么这mnp 个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
练习 14
1. 3，30，3×102，3×10n-1
2. 10n-1a 1+10n-2a 2_＋……+10a n-1+a n
4. ①333332, 个n 2333 ② 位923433， 位n 2
3433
5.①192位，②901位（50个18，加上1）
6. ∵12111⨯＝111－121 (220)
9 7. a=1,2时，a a+1<(a+1)a ……
8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)
9.8,24,24,8；
8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］, (m-2)(n-2)(p-2)
10. 64,8 11. 3334。