双曲线的几何性质(一)
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B2 A1 A2 B1
线段B1B2叫做双曲线的虚轴
其中B1(0,－b)、 B2(0, b)
4.渐近线
y N M B2 A1
Q
N
M
O B1
A2
X
2 y x b 两条直线 y a x 叫做双曲线 2 2 1 的 a b 2
渐近线.
5.离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比 e 叫做双曲线的离心率.
B1
a
o
A1 F2
b
B2
X
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
y x 5、渐近线方程： 2 2 0 a b
2 2
c e 6、离心率： a
例题: 1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的实半
轴长是
4
, 虚半轴长
(0, －5) 、(0, 5)
3
,
焦点坐标是
,
5 离心率为 4 ,渐近线方程 4 y x . 是 3
a
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线性质：
y2 x2 双曲线标准方程： 2 2 1(a 0, b 0) a b y
F2 A2
1、 范围： y≥a，或y≤－a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，－a）,A2（0，a）
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
2. 对称性 双曲线关于坐标轴和原点都是对称的， 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线 的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们 叫做双曲线的顶点. 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴
1 2.双曲线的一条渐近线方程为 y x , 2
1 且过点 P (3, ), 2 2 2
则它的标准方程
是
x y 1 8 2
2
.
2
x y 3.求与双曲线 1共渐近线且 16 9 过点A( 2 3 , 3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
5. 设双曲线
3 y x ，求离心率。 4 x y
2
a
2
2
b
2
1(0 a b )
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b) 两点，且原点到直线L的距离为
3c ，求双曲线的离心率。 4
小结
本课主要学习了双曲线的几何性质及
其简单运用。
双曲线的几何性质(二)
高二数学组
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
2 2
焦点在y轴上
2 2 y x x y 1 ( a 0 , b 0 ) 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b a 2 b2
y
MyM来自F2 x O F1F1
O
F2 x
x2 y2 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的几何性质 a b
线段B1B2叫做双曲线的虚轴
其中B1(0,－b)、 B2(0, b)
4.渐近线
y N M B2 A1
Q
N
M
O B1
A2
X
2 y x b 两条直线 y a x 叫做双曲线 2 2 1 的 a b 2
渐近线.
5.离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比 e 叫做双曲线的离心率.
B1
a
o
A1 F2
b
B2
X
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
y x 5、渐近线方程： 2 2 0 a b
2 2
c e 6、离心率： a
例题: 1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的实半
轴长是
4
, 虚半轴长
(0, －5) 、(0, 5)
3
,
焦点坐标是
,
5 离心率为 4 ,渐近线方程 4 y x . 是 3
a
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线性质：
y2 x2 双曲线标准方程： 2 2 1(a 0, b 0) a b y
F2 A2
1、 范围： y≥a，或y≤－a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，－a）,A2（0，a）
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
2. 对称性 双曲线关于坐标轴和原点都是对称的， 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线 的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们 叫做双曲线的顶点. 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴
1 2.双曲线的一条渐近线方程为 y x , 2
1 且过点 P (3, ), 2 2 2
则它的标准方程
是
x y 1 8 2
2
.
2
x y 3.求与双曲线 1共渐近线且 16 9 过点A( 2 3 , 3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
5. 设双曲线
3 y x ，求离心率。 4 x y
2
a
2
2
b
2
1(0 a b )
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b) 两点，且原点到直线L的距离为
3c ，求双曲线的离心率。 4
小结
本课主要学习了双曲线的几何性质及
其简单运用。
双曲线的几何性质(二)
高二数学组
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
2 2
焦点在y轴上
2 2 y x x y 1 ( a 0 , b 0 ) 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b a 2 b2
y
MyM来自F2 x O F1F1
O
F2 x
x2 y2 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的几何性质 a b