【华师大版】-九年级数学小复习：第23单元 一元二次方程复习课件
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数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 一元二次方程的实际应用 例5 如图23－1所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计 划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪BC边的长．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米，那么 CD＝322－x米， 再由矩形面积公式得方程，解之后需检验所求 x 的值是否满足题 意．
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程根的定义 例1 已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一
个根，则m的值是__0_或__4___．
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略 [解析] 利用方程根的定义，将2代入方程(m－2)x2＋4x－
m2＝0，得4(m－2)＋4×2－m2＝0，整理，得m(m－4)＝0，所 以m＝0或4.
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第23章复习 ┃ 知识归类
(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当 b2－4ac≥0
时，它的根是
x＝
－b± b2－4ac 2a
，这个式子叫
做一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法．
(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
第23章复习 ┃ 知识归类
(3)当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没
有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x1、x2，则
x1＋x2＝－ba
，x1x2＝
c a
.
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第23章复习 ┃ 考点攻略
第23章复习 ┃ 考点攻略
► 考点四 利用一元二次方程根与系数的关系解决问题
例4 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别 为x1＝2，x2＝1，那么p、q的值分别为( A )
A．－3,2
B．3，－2
C．2，－3 D．2,3
[解析] A 由根与系数的关系式，得x1＋x2＝－p，即p＝ －3，x1x2＝q，即q＝2.
(1)当 b2－4ac＞0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个
不相等的实数根，即 x1＝－b＋ b2－4ac ，x2＝－b－ b2－4ac .
(2)当 b2－4ac＝0
2时a，一元二次方程 ax2＋bx2＋a c＝0(a≠0)
有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝ －2ba
.
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 一元二次方程根的判别式的应用 例3 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实 数根，则m的取值范围是__m__≤__45_且__m__≠__1_．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实数根，则有 b2－
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点二 一元二次方程的解法 例2 解方程：x2－4x－1＝0.
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第23章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程， 宜用配方法解．
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝2± 5， 所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
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第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但有 局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1，一次 项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公式法， 公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般式确定 a、 b、c，计算 b2－4ac.
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第23章复习 ┃ 知识归类
(1)直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未 知数的 一次式 的平方，而另一边是一个 非负实数 时，可以 根据 平方根 的定义，通过开平方法求出这个方程的解．
(2) 配 方 法 ： 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 的 步 骤 ： ① 化 二 次 项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数；②移项，使方 程的左边为 二次项和 一次项，右边为 常数项 ；③配方， 即方程两边都加上 一次项系数一半 的平方；④化原方程为 (x ＋m)2＝n 的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来解出方 程的根；如果n＜0，则原方程无解．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 若 ax20＋bx0＋c＝0，则 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根；反之，若 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根，则可得 ax20＋bx0＋c＝0，这就是一元二次方程 根的定义．
解：设 BC 边的长为 x 米，根据题意，得 x·32－ 2 x＝120， 解得 x1＝12，x2＝20， ∵20＞16， ∴x2＝20 不合题意，舍去． 答：该矩形草坪 BC 边的长为 12 米．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 列方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从 而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在 审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、 分、超过、剩余、增加、减少”等，此外，还要掌握一些常用的公式 或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、 增长率问题中的一些特殊关系等．
4ac≥0，且 a≠0.
由 题 意 ， 得 不 等 式 组 m－1≠0， 2－4m－1≥0， 即
m≠1，
≤54.
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第23章复习 ┃ 考点攻略 易错警示 根据一元二次方程根的情况确定方程中所含字母的取值范
围时，易忽略了二次项系数不为零这一条件，从而导致结果错误．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 如果 x2＋px＋q＝0 的两个根为 x1，x2，那么 x1＋x2＝－p， x1x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2.所以 x1，x2 是方程 x2－(x1＋ x2)·x＋x1x2＝0 的两根． 利用一元二次方程根与系数的关系的前提是：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a≠0，b2－4ac≥0.另外，在运用根与系数的关 系前，应将方程化为一般形式．
第23章复习
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第23章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．一元二次方程的定义 方程的两边都是 整式 ，且只含有 一个 未知数，未知数 的最高次数是 2 ，这样的方程叫做一元二次方程．任何一个 一元二次方程经过整理都可以化为ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c为 常数，a≠0)的形式，称为一元二次方程的一般形式． 2．一元二次方程的解法
①将方程右边化为 0 ；②将方程左边两个一元一次方程；④解这两
个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
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第23章复习 ┃ 知识归类
3．一元二次方程根的判别式
由于一元二次方程的根的个数由代数式 b2－4ac 的符号决
定，因此把 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 一元二次方程的实际应用 例5 如图23－1所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计 划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪BC边的长．
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[解析] 设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米，那么 CD＝322－x米， 再由矩形面积公式得方程，解之后需检验所求 x 的值是否满足题 意．
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程根的定义 例1 已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一
个根，则m的值是__0_或__4___．
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第23章复习 ┃ 考点攻略 [解析] 利用方程根的定义，将2代入方程(m－2)x2＋4x－
m2＝0，得4(m－2)＋4×2－m2＝0，整理，得m(m－4)＝0，所 以m＝0或4.
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(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当 b2－4ac≥0
时，它的根是
x＝
－b± b2－4ac 2a
，这个式子叫
做一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法．
(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
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(3)当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没
有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x1、x2，则
x1＋x2＝－ba
，x1x2＝
c a
.
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► 考点四 利用一元二次方程根与系数的关系解决问题
例4 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别 为x1＝2，x2＝1，那么p、q的值分别为( A )
A．－3,2
B．3，－2
C．2，－3 D．2,3
[解析] A 由根与系数的关系式，得x1＋x2＝－p，即p＝ －3，x1x2＝q，即q＝2.
(1)当 b2－4ac＞0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个
不相等的实数根，即 x1＝－b＋ b2－4ac ，x2＝－b－ b2－4ac .
(2)当 b2－4ac＝0
2时a，一元二次方程 ax2＋bx2＋a c＝0(a≠0)
有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝ －2ba
.
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 一元二次方程根的判别式的应用 例3 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实 数根，则m的取值范围是__m__≤__45_且__m__≠__1_．
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[解析] 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实数根，则有 b2－
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第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点二 一元二次方程的解法 例2 解方程：x2－4x－1＝0.
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[解析] 二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程， 宜用配方法解．
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝2± 5， 所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
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方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但有 局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1，一次 项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公式法， 公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般式确定 a、 b、c，计算 b2－4ac.
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(1)直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未 知数的 一次式 的平方，而另一边是一个 非负实数 时，可以 根据 平方根 的定义，通过开平方法求出这个方程的解．
(2) 配 方 法 ： 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 的 步 骤 ： ① 化 二 次 项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数；②移项，使方 程的左边为 二次项和 一次项，右边为 常数项 ；③配方， 即方程两边都加上 一次项系数一半 的平方；④化原方程为 (x ＋m)2＝n 的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来解出方 程的根；如果n＜0，则原方程无解．
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第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 若 ax20＋bx0＋c＝0，则 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根；反之，若 x＝x0 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的一个根，则可得 ax20＋bx0＋c＝0，这就是一元二次方程 根的定义．
解：设 BC 边的长为 x 米，根据题意，得 x·32－ 2 x＝120， 解得 x1＝12，x2＝20， ∵20＞16， ∴x2＝20 不合题意，舍去． 答：该矩形草坪 BC 边的长为 12 米．
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 列方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从 而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在 审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、 分、超过、剩余、增加、减少”等，此外，还要掌握一些常用的公式 或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、 增长率问题中的一些特殊关系等．
4ac≥0，且 a≠0.
由 题 意 ， 得 不 等 式 组 m－1≠0， 2－4m－1≥0， 即
m≠1，
≤54.
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略 易错警示 根据一元二次方程根的情况确定方程中所含字母的取值范
围时，易忽略了二次项系数不为零这一条件，从而导致结果错误．
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方法技巧 如果 x2＋px＋q＝0 的两个根为 x1，x2，那么 x1＋x2＝－p， x1x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2.所以 x1，x2 是方程 x2－(x1＋ x2)·x＋x1x2＝0 的两根． 利用一元二次方程根与系数的关系的前提是：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a≠0，b2－4ac≥0.另外，在运用根与系数的关 系前，应将方程化为一般形式．
第23章复习
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┃知识归纳┃
1．一元二次方程的定义 方程的两边都是 整式 ，且只含有 一个 未知数，未知数 的最高次数是 2 ，这样的方程叫做一元二次方程．任何一个 一元二次方程经过整理都可以化为ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c为 常数，a≠0)的形式，称为一元二次方程的一般形式． 2．一元二次方程的解法
①将方程右边化为 0 ；②将方程左边两个一元一次方程；④解这两
个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
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3．一元二次方程根的判别式
由于一元二次方程的根的个数由代数式 b2－4ac 的符号决
定，因此把 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式．
谢谢观赏
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我们，还在路上……