高考物理二轮复习 第一部分 考前复习方略 专题四 万有引力定律及其应用限时训练

专题四 万有引力定律及其应用
1．(2015·高考重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A ．0 B.GM
（R ＋h ）2 C.
GMm
（R ＋h ）2
D.
GM h 2
解析：选 B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G
Mm
（R ＋h ）
2＝mg ，得g ＝
GM
（R ＋h ）
2，选项B 正确．
2．(2015·高考北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A ．地球公转的周期大于火星公转的周期
B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析：选D.根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma n ＝mω2
r 得，公转周期T ＝2π
r 3
GM
，故地球公转的周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝
GM
r
，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公转加速度a n ＝GM
r
2，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝
GM r 3
，故地球公转的角速度较大，选项D 正确．
3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F T .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )
A.mv 2
GF T B.mv 4GF T C.F T v 2Gm
D.F T v 4Gm
解析：选B.由F T ＝mg ，得g ＝F T m ，据G Mm R 2＝mg 和G Mm R 2＝m v 2R 得M ＝mv 4
GF T
，故选B.
4．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是
地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－
11 N ·m 2/kg 2
，由此估算该行星的平均密度约为( )
A ．1.8×103 kg/m 3
B ．5.6×103 kg/m 3
C ．1.1×104 kg/m 3
D ．2.9×104 kg/m 3
解析：选D.近地卫星绕地球做圆周运动，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，
则G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2R ，由密度、质量和体积关系有M ＝ρ43πR 3，解得ρ＝3πGT 2≈5.6×103 kg/m 3
，
由已知条件可知该行星密度是地球密度的254.7倍，即ρ行＝5.6×103×254.7 kg/m 3≈2.98×104
kg/m 3
，选项D 正确．
5．(2014·高考全国卷Ⅱ，T18，6分)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )
A.3πGT 2
g 0－g
g 0
B.3πGT 2g 0
g 0－g
C.
3πGT
2
D.
3πGT 2g 0
g
解析：选B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，
又M ＝ρ43πR 3，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0
GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、
D 错误．
6．(2015·高考山东卷)如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )
A ．a 2>a 3>a 1
B ．a 2>a 1>a 3
C ．a 3>a 1>a 2
D ．a 3>a 2>a 1
解析：选D.空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r 知，a 2>a 1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G
Mm
r 2
＝ma n ，可知a 3>a 2，故选项D 正确． 7．(2015·河北百校联考)嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息， )
月球半径
R 0 月球表面处的重力加速度 g 0 地球和月球的半径之比
R
R 0
＝4
A.23
B.32
C ．4
D ．6 解析：选B.利用题给信息，对地球，有
G Mm R 2＝mg ，得M ＝gR 2G
又V ＝43
πR 3
得地球的密度：ρ＝M V ＝3g
4G πR
对月球，有
G M 0m R 20＝mg 0，得M 0＝g 0R 20G
又V 0＝43
πR 30
得月球的密度：ρ0＝M 0V 0＝
3g 0
4G πR 0
则地球的密度与月球的密度之比
ρρ0＝3
2
，故A 、C 、D 错误，B 正确． 8．(2015·高考四川卷)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比(
A.火星的公转周期较小
B ．火星做圆周运动的加速度较小
C ．火星表面的重力加速度较大
D ．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B.火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由GMm r 2＝m 4π2
T 2r ＝
ma n 知，因r 火＞r 地，而r 3T 2＝GM 4π2，故T 火＞T 地，选项A 错误；向心加速度a n ＝GM
r
2，则a 火＜a
地
，故选项B 正确；地球表面的重力加速度g 地＝
GM 地R 2地，火星表面的重力加速度g 火＝GM 火
R 2火
，代入数据比较知g 火＜g 地，故选项C 错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v 地＝
GM 地
R 地
，v 火
＝
GM 火
R 火
，v 地＞v 火，故选项D 错误． 9.(多选)(2015·广西四校调研)“嫦娥三号”发射取得圆满成功，这标志着我国的航空航天技术又迈进了一大步．“嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道到达距月球表面200 km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，再经过一次制动
进入距月球表面15 km 的圆形轨道Ⅱ上绕月球做匀速圆周运动．则下面说法正确的是(
)
A ．由于“刹车制动”，卫星在轨道Ⅱ上运动的周期将比沿轨道Ⅰ运动的周期长
B ．虽然“刹车制动”，但卫星在轨道Ⅱ上运动的周期还是比沿轨道Ⅰ运动的周期短
C ．卫星在到达月球附近时需进行第一次“刹车制动”是因为卫星到达月球附近时的速度大于月球卫星的第二宇宙速度
D ．卫星在轨道Ⅱ上运动的加速度小于在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度
解析：选BC.考查天体运动问题，由开普勒第三定律k ＝r 3
T
2可知，T Ⅰ>T Ⅱ，则A 错，B 对；
由第二宇宙速度的含义可知，卫星到达月球附近并被月球捕获时的速度不能超过月球卫星的第二宇宙速度，不然卫星将脱离月球，则C 对；由
GMm
r 2Ⅱ
＝ma Ⅱ，得卫星在轨道Ⅱ上的加速度a Ⅱ
＝
GM r 2Ⅱ，由GMm r 2P ＝ma P ，得卫星在P 点的加速度a P ＝GM
r 2P
，因r P >r Ⅱ，则a P <a Ⅱ，D 错． 10．(多选)(2015·高考全国卷Ⅰ，T21，6分)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探
测器的质量约为1.3×103
kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地
球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2
.则此探测器( )
A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103
N
C ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
解析：选BD.设月球表面的重力加速度为g 月，则g 月g 地＝GM 月R 2
月GM 地R 2地
＝M 月M 地·R 2地R 2月＝181
×3.72
，解得g
月
≈1.7 m/s 2
.由v 2
＝2g 月h ，得着陆前的速度为v ＝2g 月h ＝2×1.7×4 m/s ≈3.7 m/s ，选
项A 错误．悬停时受到的反冲力F ＝mg 月≈2×103
N ，选项B 正确．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C 错误．设探测器在
近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v 1、v 2，则v 1
v 2
＝
GM 月R 月
GM 地R 地
＝M 月M 地·R 地
R 月
＝
3.7
81
<1，故v 1<v 2，选项D 正确． 11．(多选)(2015·东北三省第二次模拟)一颗围绕地球运行的飞船，其轨道为椭圆．已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，地球表面重力加速度为g .则下列说法正确的是( )
A ．飞船在远地点速度一定大于gR
B ．飞船在近地点瞬间减速转移到绕地圆轨道后，周期一定变小
C ．飞船在远地点瞬间加速转移到绕地圆轨道后，机械能一定变小
D ．飞船在椭圆轨道上的周期可能等于π
27R 5g
解析：选BD.由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2
＝mr 4π2
T 2＝ma ，G Mm R
2＝mg 得卫星绕地球的最大速度v ＝
gR ，A 错误；飞船在近地点瞬间减速，飞船将做向心运动，则由a 3
T
2＝k 知，周期减小，B 正
确；飞船在远地点瞬间加速，除引力外，其他力对飞船做正功，机械能一定增加，C 错误；
r ＝R 时，由T ＝
4π2r
3
GM
得最小周期T ＝π
4R g
<π
27R
5g
，D 正确． 12.如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M (M ≫m 1，M ≫m 2)．在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b ＝1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则( )
A ．a 、b 距离最近的次数为k 次
B ．a 、b 距离最近的次数为(k ＋1)次
C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次
D ．a 、b 、c 共线的次数为(2k －2)次
解析：选D.在b 转动一周过程中，a 转过了k 圈，假设b 不动，则a 转过了(k －1)圈，所以a 、b 距离最远的次数为(k －1)次，a 、b 距离最近的次数为(k －1)次，故a 、b 、c 共线的次数为(2k －2)次，所以选项D 正确．
13.“轨道康复者”航天器可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命．如图所示是“轨道康复者”在某次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动的示意图，此时二者的连线通过地心，轨道半径之比为1∶4.若不考虑卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是( )
A ．在图示轨道上，“轨道康复者”的速度大于7.9 km/s
B ．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的4倍
C ．在图示轨道上，“轨道康复者”的周期为3 h ，且从图示位置开始经1.5 h 与同步卫星的距离最近
D ．若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速，然后与同步卫星对接
解析：选D.由于在图示轨道上“轨道康复者”做匀速圆周运动的轨道半径大于地球的半径，根据牛顿第二定律和万有引力定律可得，“轨道康复者”在图示轨道上的速度v ＝
GM R ＋h < GM
R
＝7.9 km/s ，故A 选项错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律可知，“轨道康复者”在图示轨道上的加速度大小与地球同步卫星的加速度大小之比为a
a ′＝GM r 2GM
（4r ）
2
＝
16
1，故B 选项错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律可知，“轨道康复者”在图示轨道上的周
期与地球同步卫星的周期之比为T T ′＝2π
r 3
GM 2π
（4r ）3GM
＝1
8
，即“轨道康复者”在图示轨道上的周期为3 h ，要使从图示位置到二者间的距离相距最近，则需满足⎝
⎛⎭
⎪
⎫2πT －2πT ′t ＝π
＋2k π(其中k ＝0，1，2，3，…)，解得t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫127＋247k h(其中k ＝0，1，2，3，…)，故C 选项错误；若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速使“轨道康复者”做离心运动，然后与同步卫星对接，故D 选项正确．
14．(2015·潍坊模拟)某月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为E k1，周期为T 1；再控制它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为E k2，周期为T 2.已知地球的质量为M 1，月球的质量为M 2，则T 1
T 2
为( )
A.
M 1E k2
M 2E k1
B.
M 1E k1
M 2E k2 C.M 1M 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫E k2E k13
D.M 1M 2
E k1
E k2
解析：选C.卫星绕地球做匀速圆周运动，G M 1m R 21＝m v 21R 1＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12
R 1，E k1＝12mv 21＝G M 1m 2R 1
，T 1＝2
π
R 31GM 1；同理卫星绕月球做匀速圆周运动，G M 2m R 22＝m v 22R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 22R 2，E k2＝12mv 22＝G M 2m 2R 2
，T 2
＝2π R 32
GM 2，解各式得：T 1T 2＝R 31M 2
R 3
2M 1，E k1E k2＝M 1R 2M 2R 1，解两式得：T 1T 2＝M 1M 2
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫E k2E k13
，C 项正确．。