福建省泉州市晋江一中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高三（上）第一次月考数
学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={1，2}，N={b|b=2a﹣1，a∈M}，则M∪N=（）
A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．∅
2．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数
3．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）
A．（0，4]B． C． D．
4．若对任意正实数x都有3x（x+a）＞1成立，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
5．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．条件甲：a＞b＞0，条件乙：，则甲是乙成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）
A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
8．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）
A．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）
A．1 B．C．D．
10．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已
知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）
上（）
A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值
C．有极大值，没有极小值 D．没有极大值，也没有极小值
11．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的
点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）12．设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，
99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）
A．I1＜I2＜I3 B．I2＜I1＜I3 C．I1＜I3＜I2 D．I3＜I2＜I1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）
13．函数y=的定义域为．
14．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（﹣1）=0，那么关于x的不等式x f（x）＜0的解集是．
15．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．
16．设m，k为整数，方程mx2﹣2kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知p：lg（x﹣a）＞0，q：，r：2x2﹣9x+b＜0，
（1）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
（2）若￢r是￢q的充分条件，求实数b的取值范围．
18．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
19．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率为0.5．复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数为x，求x的分布及期望．
20．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3
﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销
费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售
需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；
（3）在（2）的条件下设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：
不等式恒成立．
[选做题]（共1小题，满分10分）
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系）中，曲线C的极坐标方程为
ρ2=．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．
[选做题]共1小题，满分0分）
23．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（）≤k恒成立，求k的取值范围．
2015-2016学年福建省泉州市晋江一中高三（上）第一次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={1，2}，N={b|b=2a﹣1，a∈M}，则M∪N=（）
A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．∅
【考点】并集及其运算．
【分析】由题设条件先分别求出集合M和N，再由集合的运算法则求出M∪N．
【解答】解：∵集合M={1，2}，N={b|b=2a﹣1，a∈M}={1，3}，
∴M∪N={1，2，3}．
故选C．
2．若函数f（x）=x2+（a∈R），则下列结论正确的是（）
A．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数B．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】利用导数考查函数f（x）=x2+（a∈R）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x2+（a∈R）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断．
【解答】解析：∵f′（x）=2x﹣，
故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数，
因此A、B不对，
当a=0时，f（x）=x2是偶函数，因此C对，D不对．
答案：C
3．若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）
A．（0，4]B． C． D．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函数图象可知：
m的值最小为；
最大为3．
m的取值范围是：[，3]，
故选：C
4．若对任意正实数x都有3x（x+a）＞1成立，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】分离参数，构造函数f（x）=﹣x，利用函数在（0，+∞）上的单调性求出f（x）
的最大值，即可求出a的范围．
【解答】解：∵对任意正实数x都有3x（x+a）＞1成立，
∴a＞﹣x，
设f（x）=﹣x，
∵y=为减函数，y=﹣x为减函数，
∴f（x）为减函数，
∴在（0，+∞）上，f（x）＜f（0）=1，
∴a≥1，
故a的取值范围是[1，+∞），
故选：D．
5．设a=log32，b=log52，c=log23，则（）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．
【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，
所以a=log32，b=log52=，
所以c＞a＞b，
故选：D．
6．条件甲：a＞b＞0，条件乙：，则甲是乙成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．
【解答】解：条件乙：，即为⇔
若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；
反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立
所以甲是乙成立的充分非必要条件
故选A．
7．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）
A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），
∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），
即函数的周期是8，
则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），
f（80）=f（0），
f（﹣25）=f（﹣1），
∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，
∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），
即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），
故选：D
8．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）
A．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=
【考点】基本不等式．
【分析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0
＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小
【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S
则v==
∵0＜a＜b
∴a+b＞0
∴
∵v﹣a===
∴v＞a
综上可得，
故选A
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）
A．1 B．C．D．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．
【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线
y=x2﹣lnx相切，
设P（x0，x02﹣lnx0）则有
k=y′|x=x0=2x0﹣．
∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．
∴P（1，1），
∴d==．
故选B．
10．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已
知当m≤2时，在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（﹣1，2）
上（）
A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值
C．有极大值，没有极小值 D．没有极大值，也没有极小值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据函数恒成立，得出m 的值，利用函数单调性 得出结果．
【解答】解：因
，f ″（x ）=x ﹣m ＜0对于x ∈（﹣1，2）恒成立．
∴m ＞（x ）max =2，又当m=2时也成立，有m ≥2．而m ≤2，∴m=2．
于是
，由f ′（x ）=0x=
或x=2+
（舍去），
f （x ）（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣
，2）上递减，
只有C 正确． 故选C
11．若函数f （x ）=x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）=x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣
）
B ．（
）
C ．（
） D ．（
）
【考点】函数的图象．
【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln （﹣x 0+a ）=0有负根，函数h （x ）=e x ﹣﹣ln （﹣x +a ）为增函数，由此能求出a 的取值范围． 【解答】解：由题意可得：
存在x 0∈（﹣∞，0），满足x 02+e x0﹣=（﹣x 0）2+ln （﹣x 0+a ）， 即e x0﹣﹣ln （﹣x 0+a ）=0有负根，
∵当x 趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln （﹣x 0+a ）也趋近于负无穷大，
且函数h （x ）=e x ﹣﹣ln （﹣x +a ）为增函数， ∴h （0）=e 0﹣﹣lna ＞0，
∴lna ＜ln ，
∴a ＜，
∴a 的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
12．设函数f 1（x ）=x 2，f 2（x ）=2（x ﹣x 2），
，
，i=0，1，2，…，
99．记I k =|f k （a 1）﹣f k （a 0）|+|f k （a 2）﹣f k （a 1）丨+…+|f k （a 99）﹣f k （a 98）|，k=1，2，3，则（ ）
A ．I 1＜I 2＜I 3
B ．I 2＜I 1＜I 3
C ．I 1＜I 3＜I 2
D ．I 3＜I 2＜I 1 【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】根据记I k =|f k （a 1）﹣f k （a 0）|+|f k （a 2）﹣f k （a 1）丨+…+|f k （a 99）﹣f k （a 98）|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案
【解答】解：由，故
==1，
由，故×
=×＜1，
+
=，
故I2＜I1＜I3，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）
13．函数y=的定义域为（﹣1，1）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即，
即﹣1＜x＜1，
即函数的定义域为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）
14．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（﹣1）=0，那么关于x的不等式x f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【考点】函数的单调性与导数的关系；偶函数．
【分析】函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（﹣1）=0，可得出函数的单调性与函数图象与x轴交点的坐标，作出函数的示意图，由图象出关于x
的不等式x f（x）＜0的解集．
【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，
故函数在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，
又f（﹣1）=0，故f（1）=0，函数图象如图
由图象知关于x的不等式x f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
15．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，
当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，
①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞时，f（x）为递增函数．
所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，
由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．
16．设m，k为整数，方程mx2﹣2kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为11．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】设f（x）=mx2﹣2kx+2，要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点，根据图象可得到关于m和k的不等式组，利用线性规划知识可以求解．
【解答】解：设f（x）=mx2﹣2kx+2，由f（0）=2，知f（x）的图象恒过定点（0，2），
因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x 轴有两个不同的交点
由题意可以得到：必有，即
在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，
设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（7，4）时，z=m+k取得最小值，即z min=11．
所以m+k的最小值为11
故答案为：11．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知p：lg（x﹣a）＞0，q：，r：2x2﹣9x+b＜0，
（1）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
（2）若￢r是￢q的充分条件，求实数b的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由q：，解得2＜x＜3，设B={x|2＜x＜3}．
（1）由p：lg（x﹣a）＞0，得x＞a+1 设A={x|x＞a+1}，根据q是p的充分条件，可得
B⊆A，即可得出．
（2）设C={x|2x2﹣9x+b＜0}，由￢r是￢q的充分条件，可得q⇒r，即B⊆C，令f（x）=2x2
﹣9x+b，要使2＜x＜3满足不等式2x2﹣9x+b＜0，只需，解出即可得出．
【解答】解：由q：，解得2＜x＜3，∴q：2＜x＜3．设B={x|2＜x＜3}，（1）由p：lg（x﹣a）＞0，得x＞a+1 设A={x|x＞a+1}，
∵q是p的充分条件，∴B⊆A，∴a+1≤2，解得a≤1．
故所求实数a的取值范围是{a|a≤1}．
（2）设C={x|2x2﹣9x+b＜0}，
∵￢r是￢q的充分条件，∴q⇒r，∴B⊆C，
∴2＜x＜3满足不等式2x2﹣9x+b＜0，
令f（x）=2x2﹣9x+b，
要使2＜x＜3满足不等式2x2﹣9x+b＜0，
只需，即，∴b≤9，
故所求实数a的取值范围是{b|b≤9}．
18．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．
【解答】解析：（1）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得或；
由f′（x）＜0解得，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为；
f（x）的单调减区间为．
（2）因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，
所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，
由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）．
19．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率为0.5．复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数为x，求x的分布及期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）设“投到该杂志的1篇稿件被录用”为事件A，A包括以下两种情况：一种是能通过两位初审专家的评审，其概率是0.52；另一种是恰能通过一位初审专家的评审，则再由
第三位专家复审且能通过复审专家的评审，其概率是．根据互
斥事件的概率加法计算公式即可得出．
（2）由题意可知：X～B（4，0.4），P（X=k）=（k=0，1，2，3，4），
E（X）=4×0.4．
【解答】解：（1）设“投到该杂志的1篇稿件被录用”为事件A，A包括以下两种情况：一种是能通过两位初审专家的评审，其概率是0.52；另一种是恰能通过一位初审专家的评审，则
再由第三位专家复审且能通过复审专家的评审，其概率是．
故P（A）=0.52+=0.4．
（2）由题意可知：X～B（4，0.4），P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）．E（X）=4×0.4=1.6．
20．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3
﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销
费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售
需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；
（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=，
将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；
（Ⅱ）===﹣，
当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，
从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，
所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13 万元；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；
（3）在（2）的条件下设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：
不等式恒成立．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，然后判断函数的单调性求解函数的极大值，即可求解a的值．（2）利用函数的导数通过
①，②，③a≥e，分别求解函数的最值即可．
（3）利用分析法证明，即证明，不妨设
x1＞x2＞0，令，则t＞1，则需证明，构造函数利用函数的单调性
证明即可．
【解答】解：（1）…
明显，当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0…
故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，…
因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值…
∴lna=a﹣1解得a=1…
（2）∵
①若，即，则当时，有f'（x）≥0，
∴函数f （x）在上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．…
②若，即，则函数f （x）在上单调递增，在上单调递减，
∴．…
③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f （x）在上单调递减，
则．…
综上得，当时，f（x）max=1﹣ea+a；
当时，f（x）max=﹣lna﹣1+a；
当a≥e时，．…
（3）要证明
只需证明…
只需证明即证明，…
不妨设x1＞x2＞0，令，则t＞1，则需证明…
令，则
∴g（t）在（1，+∞）上是单调函数，
∴．
故不等式得证．…
[选做题]（共1小题，满分10分）
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系）中，曲线C的极坐标方程为
ρ2=．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）把代入极坐标方程即可得出；
（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入椭圆C的方程可得：
，可得根与系数的关系，利用|PA|+|PB|=﹣（t1+t2）即可得出．
【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ2=．化为
3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，
∴3x2+4y2=12，即．
（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入椭圆C的方程可得：
，
∴，．
∴|PA|+|PB|=﹣（t1+t2）=．
[选做题]共1小题，满分0分）
23．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（）≤k恒成立，求k的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）由条件分类讨论，解绝对值不等式，求得不等式f（x）≤3的解集．再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，求得a的值．
（Ⅱ）由题意可得|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立，令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|，利用分段函数求得g（x）的最大值，可得k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2．
当a＞0时，求得﹣≤x≤，再根据它的解集为{x|﹣2≤x≤1}，可得，求得a=2．
当a＜0时，求得≤x≤﹣，再根据它的解集为{x|﹣2≤x≤1}，可得，a无解．综上可得，a=2，f（x）=|2x+1|．
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（）≤k恒成立，即|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立．
令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|=，故函数g（x）的最大值为1，故k≥1．
2016年11月4日。