专题23多边形-重难点题型(学生版)

专题4.1 多边形-重难点题型
【题型1 多边形的截角问题】
【例1】（2020秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A ．14或15
B ．13或14
C ．13或14或15
D ．14或15或16
【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）如图，将五边形ABCDE 沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF ，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．
【变式1-2】（2020春•文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【变式1-3】（2020秋•肇源县期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
【知识点1 多边形的对角线】
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从一个n 边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n 边形分割成（n -2）个三角形， 共有12n （n ﹣3）条对角线. 【题型2 多边形的对角线】
【例2】分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：
（1）试写出用n 边形的边数n 表示对角线总条数S 的式子： ．
（2）从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 条对角线：
（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．
【变式2-2】（2020春•福清市校级期末）阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n 边形的对角线条数公式为
n(n−3)2，如果有一个n 边形的对角线一共有20条，则可以得到方程n(n−3)2=20，去分母得n （n ﹣3）＝40；∵n 为大于等于3的整数，且n 比n ﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n （n ﹣3）＝40的整数n ＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A 同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A 同学说地正确吗？为什么？
【变式2-3】（2020秋•东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n 及其对角线条数t 的关系，再完成下面问题：
（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 ，n 边形的对角线条数为t ＝ （用n 表示）．
（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．
【知识点2 多边形的内角和】
n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．
【题型3 多边形的内角和】
【例3】（2021春•江阴市校级月考）下列哪个度数不可能是一个多边形的内角和（ ）
A ．360°
B ．450°
C ．900°
D ．1800°
【变式3-1】（2020秋•路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（ ）
A ．110°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
【变式3-2】（2021春•玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A ．10或11
B ．11或12或13
C ．11或12
D ．10或11或12
【变式3-3】（2020春•新化县月考）如果一个正五边形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
【知识点3 多边形的外角和】
在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【题型4 多边形的外角和】
【例4】（2021春•金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A ．720°
B ．540°
C ．1080°
D ．900°
【变式4-1】（2020春•永州期末）富有灿烂文化的永州，现今保留着许多具有历史和文化价值的建筑，古朴的建筑
代表，无规则多边形的形状，蕴含了丰富而和谐的数学美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的多边形，根据绘制的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为（）
A．72°B．108°C．360°D．540°
【变式4-2】（2020秋•越秀区校级月考）五边形ABCDE中，∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，则∠E的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【变式4-3】（2020春•郓城县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠AED的度数是（）
A．120°B．115°C．105°D．100°
【题型5 多边形的内角和与外角和的实际应用】
【例5】（2020秋•汤阴县期中）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小聪同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（）
A．60米B．100米C．120米D．150米
【变式5-1】（2020秋•兰山区期末）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）
A．12米B．16米C．18米D．20米
【变式5-2】（2020春•永年区期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（）
【变式5-3】（2021•昆明模拟）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）
A．6B．7C．8D．9
【题型6 多边形的内角和与外角和的综合应用】
【例6】（2020春•遂宁期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于230°，则∠BOD的度数是（）
A．50°B．55°C．40°D．45°
【变式6-1】（2020秋•朝阳区校级月考）如图，l1∥l2，正五边形ABCDE的顶点A、B分别落在l1、l2上，若∠1＝25°，则∠2的大小为（）
A．60°B．61°C．62°D．65°
【变式6-2】（2021春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC 上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为°．
【变式6-3】（2020秋•路北区期中）如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE 的平分线交于点G，则∠G等于（）。