高中数学《柱、锥、台和球的体积》学案1 新人教B版必修2

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《柱、锥、台和球的体积-要点精析》
一、学习目标
1.掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台侧面展开图的形状,会求它们的侧面积和表面积.
2.掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台的侧面积与体积公式之间的联系与区别,并熟悉它们之间的转化关系.
3.了解球的体积公式和表面积公式的推导方法,即“分割,求近似和,化成准确值”的基本方法,掌握球的体积、表面积公式并灵活运用. 二、知识网络
柱、锥、台三者之间存在着特定的联系.柱、锥的侧面积与体积公式都可以同台体的侧面积和体积公式统一起来:
当c c '=时,正棱台(圆台)侧面积转化为正棱柱(圆柱)侧面积; 当0c '=时,正棱台(圆台)侧面积转化为正棱锥(圆锥)侧面积; 当S S '=时,V 台体转化为V 柱体; 当0S '=时,V 台体转化为V 锥体.
其中c c ',分别是正棱台(圆台)的上、下底面的周长,S S ',分别是正棱台(圆台)上、下底的面积. 三、要点梳理
Ⅰ、空间几何体的表面积
1.棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积,棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和.
(1)因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形,所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和高的矩形.如果设直棱柱底面周长为c ,高为h ,则侧面积S ch =侧. (2)若长方体的长、宽、高分别是a b c ,,,则其表面积为2(++)S ab bc ca =表. 2.圆柱的侧面展开图是一个矩形.矩形的高是圆柱母线的长,矩形的长为圆柱底面周长.如果设圆柱母线的长为l ,底面半径为r ,那么圆柱的侧面积2S rl =π侧,此时圆柱底面面积2
S r =π底.所以圆柱的表面积2
2222()S S S rl r r r l =+=π+π=π+侧底. 3.圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形.如果设圆锥底面半径为r ,母线长为l ,则侧面积S rl =π侧,那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成,即为
2()S S S rl r r r l =+=π+π=π+侧底.
4.正棱锥的侧面展开图是n 个全等的等腰三角形.如果设正棱锥的底面周长为c ,斜高为h ',则它的侧面积1
2
S ch '=
侧.
5.正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和.如果设正棱台的上、下底面的周长是c c ',,斜高是h ',那么它的侧面积是1
()2
S c c h ''=
+侧. 6.圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径,圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环.如果设圆台的上、下底面半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么它的侧面积是()S r r l '=π+侧.圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面面积的和,即
2222()S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=π(+)+π+π=π+++侧上底下底.
7.将球以球心为顶点切割成n 个部分,每部分近似地看成是锥体,其高近似地看成球的半径R ,所有的底面面积之和近似地看成为球面面积,当“n →∞”时,其体积之和的极限即为球的体积.由3433
R
V R S =
π=球面,求得球的表面积24S R =π,即球的表面积等于其大圆面积的四倍.
Ⅱ、空间几何体的体积
1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S 和高h 的积,即V Sh =柱体.其中底面半径是r ,高是h 时的圆柱的体积是2
V r h =π圆柱.
2.如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S ,高是h ,那么它的体积是1
3
V Sh =锥体.其中底面半径是r ,高是h 时的圆锥的体积是2
13
V r h =π圆锥,也就是说,锥体的体积是与其同底等高柱体体积的
13
. 3.如果台体(棱台、圆台)的上下底面积分别是S S ',,高是h ,那么它的体积是
1
()3V S S h '=+台体.其中上、下底半径分别是r ,R ,高是h 的圆台的体积是
221
()3
V r Rr R h =π++圆台.
4.将半球用平行于大圆的平面均匀切成n 个部分,分别求其体积(每部分近似地看成圆柱),而后求和,用正整数平方和公式整理,即用“无限分割,求和,取极限”的方法求得球的体积公式. 四、特别提示
1.底面积相等并且高也相等的两个柱体(棱柱、圆柱)的体积相等;底面积相等并且高也相等的两个锥体(棱锥、圆锥)的体积相等.
2.对于斜棱柱,它的侧面展开图是由若干个平行四边形组成的不规则图形,因此,斜棱柱的侧面积可通过分析侧面的形状逐个求得,或者用直截面(即垂直于侧棱的截面)的周长乘以侧棱长求得.斜棱柱的体积可用直截面面积与侧棱长乘积求得.
3.锥体的体积计算.在立体几何体积计算中,占有重要的位置,它可补成柱体,可置换底面、置换顶点,在计算与证明中有较大的灵活性,若技巧运用得当,可使解题过程简化.。

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