2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决坡角、坡比问题试题 (新版)青岛版

解决坡角、坡比问题
坡度、坡角
1. 坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h ∶l 。

2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i ＝h l
＝tan α。

B
方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。

总结：
1. 理解坡度、坡角的有关概念。

2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。

例题 如图，某地计划在坡比为i ＝1：4的山坡OP （OQ 为地面水平线）上逐排建造楼房AB 、CD 等。

已知楼高（AB 、CD 等）均为20米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。

（1）求斜坡OP 的坡角的度数；
（2）为使冬季正午时后面的楼（CD ）完全不被前面一幢楼（AB ）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）
（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25
，cos75°30'＝0.25，cos14°＝0.97，tan40°＝0.84）
解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过D 作OQ 的平行线，延长AB 与平行线相交于点H ，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。

答案：（1）∵坡比为i ＝1：4，即tan ∠POQ ＝14
＝0.25，∴斜坡OP 的坡角的度数为14°。

（2）如图，过D 作OQ 的平行线，交AB 的延长线于点H ，设BH 为x ，则AH ＝20＋x ，DH ＝BH ÷tan ∠POQ ＝4x ，由题意可知，（20＋x ）：4x ＝0.84，解得x ＝8.47，即BH ＝8.47，
DH ＝4x ＝33.9，BD ＝DH cos14°＝33.90.97
≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离BD 至少为35.0米。

点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，比较复杂，解题关键是构造直角三角形表示出坡度。

利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 审题按题意画出正确的示意图，弄清已知和未知。

转化
将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。

如果没有现成的直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形。

求解根据直角三角形元素之间的关系解有关的直角三角形。

满分训练 如图，一人行天桥的高是10米，坡面CA 的坡角为30°，为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD 的坡角为18°。

（1）求新坡长CD ；（精确到0.01米）
（2）求原坡脚向外延伸后DA 的长；（精确到0.01米）
（3）若需留DE 为4米的人行道，问离原坡脚A 处15米的花坛E 是否需要拆除？ （参考数据sin18°＝0.309；cos18°＝0.951；tan18°＝0.325）
解析：（1）根据所给角的正弦，可求出CD 。

（2）先由三角函数求出AB 、DB ，再利用DA ＝DB －AB 求出AD 的长。

（3）同（2）即可。

答案：（1）在Rt △DBC 中，sin18°＝CB CD ，∴CD ＝CB sin18°＝100.309
≈32.36（米），∴新坡长约为32.36米。

（2）在Rt △ABC 中tan30°＝CB AB ，∴AB ＝CB tan30°
＝103≈17.32（米）。

在Rt △CDB 中tan18°＝CB DB ，∴DB ＝CB tan18°＝100.325
≈30.77（米）。

∴DA ＝D B －AB ＝30.77－17.32＝13.45（米），∴原坡脚向外延伸约13.45米。

（3）∵AE ＝15，DA ＝13.45，DE ＝4，∴DE ＋DA ＞AE ，∴离原坡脚15米的花坛应拆除。

点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到0.01米的要求。

（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 河堤横断面如图所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡比为1：3，则AB 的长为（ ）
A. 12米
B. 43米
C. 53米
D. 63米
2. 如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动。

已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A. 6sin15°cm
B. 6cos15°cm
C. 6tan15°cm
D. 6tan15°
cm
*3. 如图，一网球从斜坡的点O 抛出，网球的抛物线为y ＝4x －12
x 2，斜坡OA 的坡度i ＝1：2，则网球在斜坡的落点A 的垂直高度是（ ）
A. 2
B. 3.5
C. 7
D. 8
**4. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。

已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A. （6＋3）米
B. 12米
C. （4－23）米
D. 10米
二、填空题
5. 若一辆QQ 车的最大爬坡度数为45°，有一段斜坡路的坡度为 1.3：1，则这辆车__________（填“能”或“不能”）在这段斜坡上行驶。

*6. 如图是某工厂货物传送带的平面示意图。

为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的45°减小为30°。

已知原传送带AB长为6米，那么新传送带AC的长为__________米。

**7. 一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为1米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝3米，则：（1）AC的长是__________米；（2）当正方体DEFH运动到什么位置，即当AE＝__________米时，有DC2＝AE2＋BC2。

**8. 九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度。

在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH＝30°，CD＝1.6m，DG＝0.8m，BE＝2.1m，EF ＝1.7m，则电杆的高约为__________m。

（精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
三、解答题
9. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）。

如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长。

*10. 我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位。

如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE＝60°。

求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米。

参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，3≈1.73）。

**11. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值。

测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°。

已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB ＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度。

（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
**12. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D 的仰角为60°。

沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：3，AB＝10米，AE＝15米。

（i＝1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
1. A 解析：Rt △ABC 中，BC ＝6米，BC ：AC ＝1：3，∴则AC ＝BC×3＝63，∴AB ＝AC 2+BC 2＝62+（63）2
＝12（米）。

2. C 解析：∵tan15°＝木桩上升的高度水平移动的距离。

∴木桩上升了6tan 15°cm 。

故选C 。

3. B 解析：∵斜坡OA 的坡度i ＝1：2，∴设A 的坐标是（2x ，x ），把A 的坐标代入抛
物线y ＝4x －12x 2得：x ＝8x －12
•（2x ）2，解得：x ＝3.5，x ＝0（舍去），即网球在斜坡的落点A 的垂直高度是3.5，故选B 。

4. A 解析：延长AC 交BF 延长线于D 点，则∠CFE ＝30°，作CE ⊥BD 于E ，在Rt △CFE 中，∠CFE ＝30°，CF ＝4m ，∴CE ＝2（米），EF ＝4cos30°＝23（米），在Rt △CED 中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE ：DE ＝1：
2，∴DE ＝4（米），∴BD ＝BF ＋EF ＋ED ＝12＋23（米），在Rt △ABD 中，AB ＝12BD ＝12
（12＋23）＝（6＋3）米。

5. 不能 解析：∵斜坡路的坡度为1.3：1，∴坡角的正切值tan α＝1.3＞tan45°，即坡角大于45°，所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。

6. 6 2 解析：如图，过点A 作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D 。

∵∠ABD ＝45°，∠ACD
＝30°，AB ＝6米，∴在Rt △ABD 中，AD ＝ABsin ∠ABD ＝6×22
＝32米，在Rt △ACD 中，AC ＝AD sin ∠ACD
＝62米。

7. （1）6（2）73
解析：（1）∵坡角∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝3米，∴AC ＝2BC ＝6米；（2）如图，连接CD ，假设AE ＝x ，可得EC ＝6－x ，∵正方形DEFH 的边长为1米，即
DE ＝1米，∴DC 2＝DE 2＋EC 2＝1＋（6－x ）2，AE 2＋BC 2＝x 2＋9，∵DC 2＝AE 2＋BC 2，∴1＋（6
－x ）2＝x 2＋9，解得：x ＝73
米。

8. 8.0 解析：延长AF 交BH 于点N ，过点F 作FM ⊥BH 于点M ，∵∠FEH ＝30°，EF ＝1.7m ，
∴FM ＝0.85m ，∴EM ＝EFcos30°≈1.47m ，由题意可得AB ∥FM ，∴FM MN ＝CD DG
，∵CD ＝1.6m ，DG ＝0.8m ，∴0.85MN ＝1.60.8
，∴MN ＝0.425m ，∵BE ＝2.1m ，∴BN ＝2.1＋1.47＋0.425＝3.995（m ），∵AB BN ＝CD DG ，∴AB 3.995＝1.60.8
，解得：AB ≈8.0（m ）。

9. 解：在Rt △ADC 中，∵AD ：DC ＝1：2.4，AC ＝13，由AD 2＋DC 2＝AC 2，得AD 2＋（2.4AD ）
2＝132。

∴AD ＝±5（负值不合题意，舍去）。

∴DC ＝12．在Rt △ABD 中，∵AD ：BD ＝1：1.8，∴BD ＝5×1.8＝9。

∴BC ＝DC －BD ＝12－9＝3（米）。

答：改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长为3米。

10. 解：在Rt △BAE 中，∵BE ＝162米，∠BAE ＝68°，∴AE ＝BE tan68°＝1622.50
＝64.8（米），在Rt △DCE 中，∵DE ＝176.6米，∠DCE ＝60°，∴CE ＝DE tan60°＝176.63
＝176.61.73≈102.1（米），则AC ＝CE －AE ＝102.1－64.8＝37.3（米）。

答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC 约为37.3米。

11. 解：如图，过点P 作PD⊥OC 于D ，PE⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形。

在Rt△PBD 中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；在Rt△CPD 中，∵∠CDP ＝90°，∠CPD ＝37°，∴CD ＝PD•tan∠CPD ＝PD•tan37°；∵CD －BD ＝BC ，∴PD•tan37°－PD•tan26.6°＝80，∴0.75PD －0.50PD ＝80，解得PD ＝320，∴BD ＝PD•tan26.6°≈320×0.50＝160，∵OB＝220，∴PE＝OD ＝OB －BD ＝60，∵OE＝PD ＝320，∴AE
＝OE －OA ＝320－200＝120，∴tan α＝PE AE ＝60120
＝0.5，∴坡度为1：2．
12. 解：（1）过B 作BG ⊥DE 于G ，Rt △ABH 中，i ＝tan ∠BAH ＝13＝33
，∴∠BAH ＝30°，∴B H ＝12
AB ＝5；（2）由（1）得：BH ＝5，AH ＝53，∴BG ＝AH ＋AE ＝53＋15，Rt △BGC 中，∠CBG ＝45°，∴CG ＝BG ＝53＋15。

Rt △ADE 中，∠DAE ＝60°，AE ＝15，∴DE ＝3AE ＝153．∴CD ＝CG ＋GE －DE ＝53＋15＋5－153＝20－103≈2.7m 。

答：广告牌CD 约高2.7米。