求一次函数的关系式

求一次函数的关系式
资料编号:202204011450
【自学指导】
借助于课本和下面的讲解,弄清楚以下经过问题:
（1）怎样用待定系数法求一次函数的关系式?
（2）求一次函数的关系式都有哪些类型?相应的解题策略是什么?
【重要知识点总结】
求一次函数()0≠+=k b kx y 的关系式,就是求出b k ,的值,然后代入关系式即可.
常用待定系数法求一次函数的关系式.
用待定系数法求一次函数关系式的一般步骤:
（1）设一次函数的关系式为b kx y +=,其中b k ,为待定的系数;
（2）把两个已知点的坐标分别代入b kx y +=,建立关于b k ,的二元一次方程组;
（3）用加减消元法求解方程组,求出b k ,的值;
（4）将求出的b k ,的值代回所设的函数关系式,即得所求的函数关系式.
说明
对于一次函数()0≠+=k b kx y ,待确定的系数有两个,分别是k 和b ,如果知道其中一个系数的值,则只需知道函数图象上一个点的坐标,把该点的坐标代入函数关系式即可求得另一个系数的值;如果两个系数的值都不知道,则就需要知道函数图象上两个点的坐标,把这两个点的坐标分别代入关系式建立方程组求解.
求一次函数关系式的类型及方法
一、定义型
例1. 已知函数()332+-=-m x m y 是一次函数,求这个一次函数的关系式.
分析 根据一次函数的定义,其自变量的系数不等于0,自变量的次数为1,据此求出参数的值.
解:由题意可知:
⎩
⎨⎧=-≠-1203m m 解之得:3-=m
∴这个函数的关系式为36+-=x y .
二、两点型
知道一次函数的图象经过的两个点的坐标,用待定系数法求其函数关系式.
例2. 已知一次函数的图象经过点()1,1和点()2,0,求该一次函数的关系式.
分析 先设一次函数的关系式为b kx y +=,然后把两个点的坐标分别代入,从而建立关于b k ,的二元一次方程组求解.
解:设该一次函数的关系式为b kx y +=
把()1,1、()2,0分别代入b kx y +=得:
⎩⎨⎧==+2
1b b k 解之得:⎩
⎨⎧=-=21b k ∴该函数的关系式为2+-=x y .
三、图象型
知道一次函数图象上两个点的坐标（读图获得）,用待定系数法求函数关系式.
题目通常给出的是函数图象与两条坐标轴的交点坐标.
例3. 已知一次函数的图象如图所示,求这个函数的关系式. y
x
3
2O
解:设这个函数的关系式为b kx y +=
由函数图象可知,其图象经过()0,2,()3,0-两点
把()0,2,()3,0-分别代入b kx y +=得:
⎩⎨⎧-==+3
02b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==3
23b k ∴这个函数的关系式为32
3-=
x y . 四、平行型
若两个一次函数的图象互相平行,则它们的k 值相等,b 值不相等.据此来确定系数k 的值.
“平行型”题目的特征是:待求函数的图象与已知直线平行,且经过一个已知点.
例4. 已知一次函数b kx y +=的图象平行于直线1+-=x y ,且经过点()4,0-,求这个一次函数的关系式.
解:由题意可知:1-=k
∴b x y +-=
把()4,0-代入b x y +-=得: 4-=b
∴这个一次函数的关系式为4--=x y .
五、相交型
同一平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.确定相交的两条直线的函数关系式,要明确交点的意义,即两个一次函数图象的交点的横坐标和纵坐标,是由这两条直线的关系式组成的方程组的解.
例5. 如图所示,正比例函数的图象与一次函数1+-=x y 的图象相交于点P ,求这个正比例函数的关系式.
解:设正比例函数的关系式为kx y =
对于1+-=x y
令2=y ,则21=+-x
解之得:1-=x
∴()2,1-P
把()2,1-P 代入kx y =得:
2=-k
解之得:2-=k
∴这个正比例函数的关系式为x y 2-=.
例6. 已知三条直线2,12,32-=+-=-=kx y x y x y 相交于一点,求该交点的坐标和第三条直线的表达式.
分析 该交点的横、纵坐标是方程组⎩⎨⎧+-=-=1
232x y x y 的解. 解:解方程组⎩
⎨⎧+-=-=1232x y x y 得: ⎩
⎨⎧-==11y x ∴该交点的坐标为()1,1-
把()1,1-代入2-=kx y 得:
12-=-k
解之得:1=k
∴第三条直线的表达式为2-=x y .
六、面积型
给出的条件中有直线的坐标三角形的面积,求直线的解析式,注意分类讨论.
例7. 直线b kx y +=经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,23,且与坐标轴围成的直角三角形的面积为415,求直线的解析式.
分析 题中的三角形就是坐标三角形,它是直角三角形,两条直角边的长度隐含在一次函数的图象与两条坐标轴的交点坐标中:与x 轴的交点的横坐标的绝对值是其中一条直角边的长,
与y 轴的交点的纵坐标的绝对值是另一条直角边的长.
解:直线b kx y +=与y 轴的交点坐标为()b ,0
由题意可知:4
152321=⨯-⨯b ∴5,5±==b b
∴5+=kx y 或5-=kx y
∵直线b kx y +=经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,23 ∴0523=+-
k 或052
3=--k 解之得:3
10=k 或310-=k ∴该直线的解析式为5310+=x y 或5310-=x y . 例8. 如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数42+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点
A 、
B ,点P 在x 轴上,若6=∆ABP S ,求直线PB 对应的函数关系式. y
x
A
B
O
分析:根据题意可得点P 可以在y 轴左边,也可以在y 轴右边,应分两种情况讨论.先求点A 和点B 的坐标,然后根据6=∆ABP S 确定点P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线PB 对应的函数关系式.
解:对于42+-=x y
令0=y ,则042=+-x
解之得:2=x
∴()0,2A
令0=x ,则4=y
∴()4,0B
∵6=∆ABP S ∴642
1=⨯AP ,得3=AP ∴点P 的坐标为()0,1-或()0,5
设直线PB 对应的函数关系式为b kx y +=
∴⎩⎨⎧==+-40b b k 或⎩
⎨⎧==+405b b k 解之得:⎩⎨⎧==44b k 或⎪⎩
⎪⎨⎧=-=454b k ∴直线PB 对应的函数关系式为44+=x y 或454+-
=x y . 七、范围型
例9. 已知一次函数b kx y +=中,自变量x 的取值范围是1-≤x ≤4,相应函数值的范围是3-≤y ≤2,求此函数的表达式.
分析 本题分为两种情况:（1）y 随x 的增大而增大;（2）y 随x 的增大而减小. 解:分为两种情况:
①当0>k 时,y 随x 的增大而增大
∴当1-=x 时,3-=y ;当4=x 时,2=y
∴⎩
⎨⎧=+-=+-243b k b k 解之得:⎩⎨⎧-==2
1b k ∴2-=x y ;
②当0<k ,y 随x 的增大而减小
∴当1-=x 时,2=y ;当4=x 时,3-=y
∴⎩⎨⎧-=+=+-3
42b k b k 解之得:⎩
⎨⎧=-=11b k
∴1+-=x y .
综上所述,此函数的表达式为2-=x y 或1+-=x y .
八、表格型
例10. 某农产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表:
若日销售量y 是销售价x 的一次函数,求出日销售量y （件）与销售价x （元）之间的函数关系式.
解:设此一次函数的关系式为b kx y +=,则有
⎩⎨⎧=+=+20
202515b k b k 解之得:⎩
⎨⎧=-=401b k ∴此一次函数的关系式为40+-=x y .
九、其它类型
例11. 已知y 与2+x 成正比例,当4=x 时,12=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是x 的什么函数.
分析 正比例关系: 若A 与B 成正比例,则可设kB A =,其中k 为正比例系数.
解:由题意可设()2+=x k y
∵当4=x 时,12=y
∴()1224=+k
解之得:2=k
∴()4222+=+=x x y .
∴y 是x 的一次函数.
例12. 已知两条直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若21l l ⊥,则121-=⋅k k .
（1）应用:已知直线12+=x y 与直线1-=kx y 垂直,求k 的值;
（2）一直线经过点()3,2A ,且与直线33
1+-=x y 垂直,求该直线的关系式. 分析 两个一次函数的图象互相垂直的条件
一般地,对于两条直线 111:b x k y l +=,
222:b x k y l +=
若21l l ⊥,则121-=⋅k k .反过来亦成立.
我们可以用此结论证明两个一次函数的图象互相垂直.
解:（1）由题意可知:12-=k
解之得:2
1-=k ; （2）设该直线的关系式为b ax y += 由题意可知:131-=-
a 解之得:3=a
∴b x y +=3
把()3,2A 代入b x y +=3得:
36=+b ,解之得:3-=b
∴该直线的关系式为33-=x y .。