2017年高考数学一轮总复习达标训练：第八章 解析几何8

8.1 直线的方程
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α
B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
D ．直线的倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭
⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 2．已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45
，则直线l 的方程为( ) A ．3x －4y －8＝0 B ．3x ＋4y －8＝0
C ．3x ＋4y ＋8＝0
D ．3x －4y ＋8＝0
3．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是
( )
4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，
x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n
，则n 的取值范围是( ) A ．{3，4} B ．{2，3，4}
C ．{3，4，5}
D ．{2，3}
5．若点A (a ，0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．0
答案：1．D 2.D 3.B 4.B 5.A
二、填空题
6．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6
，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________． 7．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________________________．
8．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；
③直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；
④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点，则k 与b 都是有理数，反之亦然； ⑤存在恰经过一个整点的直线.导学号74780082
答案：6.⎝
⎛⎦⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 7.2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0
8．①③⑤ 三、解答题 9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ； (2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 解析：(1)证明：∵m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴直线l 恒过定点M (－1，－2)． (2)设所求直线l 1的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，直线l 1与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则
A ⎝⎛⎭⎫2k －1，0，
B (0，k －2)． ∵AB 的中点为M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2k －1，－4＝k －2，
解得k ＝－2. ∴所求直线l 1的方程为2x ＋y ＋4＝0.
10．直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．
(1)当P A ·PB 最小时，求l 的方程；
(2)当OA ＋OB 最小时，求l 的方程．
解析：依题意，l 的斜率存在，且斜率为负．
设l ：y －4＝k (x －1)(k <0)．
令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭
⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )． (1)P A ·PB ＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k
(1＋k 2) ＝－4⎝⎛⎭⎫1k ＋k ≥8.(注意k <0)
∴当且仅当1k
＝k 且k <0即k ＝－1时，P A ·PB 取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0. (2)OA ＋OB ＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭
⎫k ＋4k ≥9. ∴当且仅当k ＝4k
且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.
11．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有
一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？
解析：建立如图所示的直角坐标系，
则E (30，0)，F (0，20)，
所以线段EF 的方程为
x 30＋y 20
＝1(0≤x ≤30)． 在线段EF 上取点P (m ，n )，
作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，
设矩形PQCR 的面积为S ，
则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．
又m 30＋n 20
＝1，所以n ＝20×⎝⎛⎭⎫1－m 30. 所以S ＝(100－m )⎝
⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503
(0≤m ≤30)． 所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EP PF ＝30－55
＝5. 故当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．。