电磁场之恒定磁场

l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
注意
① 安培定律说明两载流元之间的作用力与两电流的乘积成 正比，与它们之间的距离成反比，方向为：
dl dl eR
② 电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21
③ 式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光 速满足关系：
1T=104（GS）
磁感应强度 或磁通密度
F
B
Idl

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洛仑兹力
电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对 电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dF Idl B dq (vdt) B dt
dF
洛仑兹力 F qv B
B
v

洛伦兹力与库仑力比较
① 洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力作用于运动和静 止电荷。
B

0K
2
ex
0K
2
ex
y0
y0
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3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law 1. 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
定义穿过磁场中给定曲面S 的 磁感应强度B 的通量为磁通：
S
S
Jm M 体磁化电流
可以证明面磁化电流
Km M en
注意
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。
有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
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4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电场与磁场
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
注意
① 定律中电流I 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕
行方向是否符合右螺旋关系，符合时为正，否则为负。
② 定律中的B是整个场域中所有电流的贡献。
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B dl 0(I1 2I2 )
l
② 由 lB d l 0 I
斯托克斯定理 B dS 0 J dS
l 0
定义：磁场强度
H B M A/m
0
则有
H dl I
l
安培环路定律
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B 与 H 的关系
H B M
0
对于线性均匀各向同性的磁介质
B μ0(H M )
相对磁导率
M mH
磁化率
H 的旋度
B μ0(1 m )H 0r H H
② 洛仑兹力垂直于磁感应强度，而库仑力平行于电场强度
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
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安培力定律
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
F

0 4
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
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F

0 4
22 22

I
32 32
2


2 2
B l
dl

2B

0I (32 32


2 2
2
)
得到
B

0I 2

32 32

2 22
e
同轴电缆的磁场分布
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4. 媒质的磁化（magnetization）
几乎所有的气体、液体和固体，不论其内部结构如何，放 入磁场中都会对磁场产生影响，表明所有的物质都有磁性，但 大部分媒质的磁性较弱，只有铁磁物体才有较强的磁性。
电子自 旋磁矩
轨道 磁矩
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媒质中原子的净磁矩对外的效应相当于一个磁偶极子。
无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，
n
mi 0
i 1
在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，
n
mi 0
i 1
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转矩为 Ti=mi×B ，旋转方向
使磁偶极矩方向与外磁场方向一
致或相反，对外呈现磁性，称为磁化现象。
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
重点：
1.磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念 2.恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件 3.磁位及其边值问题 4.电感、能量与力的计算
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引言
Introduction
1. 研究磁场的意义
客观意义 分。
磁现象是客观存在，是我们了解和认识自然不可缺少的一部
磁化强度（magnetization Intensity）
图磁偶极子受磁 场力 而转动
单位体积内的 净偶极距
n
mi
M lim i1 V V 0
Nm （A/m） av
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3） 磁化电流 媒质磁化的结果是在表面形成磁化电流。
IM M dl
l
斯托克斯定理
Jm dS M dS
若积分回路没有和电流交链

B

dl

0 I 2
0
dθ
0

0
B

0I 2
e
I
d
B B

dd ll
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由于积分路径是任意的，所以有一般规律
B l

dl

0I
交链多个电流
lB dl 0 I
真空中的安 培环路定律
表明在真空的磁场中，沿任意回路磁感应强度B的线积 分等于真空磁导率乘以穿过回路限定面积上电流的代数和。
S
S
B μ0J
恒定磁场是 有旋场
上式两边取旋度 B μ0 J 0
表明安培环路定律反映了电流连续性原理。
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例 设真空中无限长直导线,电流为I,沿z轴放置,如图所示。求:
（1）空间各处的磁感应强度
（2）画出其磁力线，并标出其方向。 图
解：由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r
旋
l B dl B1L B2L 0KL
根据对称性
B1 B2 B
0 K
2
ey
x0
B

0 K
2
ey
x0
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例 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解平行平面磁场,
B B()e
1) 0 1
安培环路定律
l B dS u0I
c 1 μ0ε0
μ0 4π 107 H / m
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2. 毕奥—沙伐定律 • 磁感应强度 从场的观点出发，认为电流之间的相互作用力是通过磁场传递的。
F

μ0 4
l l'
Id
l

I 'd R2
l
eR
)

lId
l
( μ0
4
l'
I 'd
l R2
eR
)

l
Id
l

任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向

由安培环路定律： H dl 2rH I
空间各处的磁感应强度为：
c
H


eˆ
I
2r
B 0 H eˆ
0I 2r
(2)磁力线如图所示
例 试求无限大截流导板产生的磁感应强度 B。
解
定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺
磁 偶
Jm M
极 子
m IdS
Km M en
注意 电偶极子总是削弱外电场，磁偶极子则不然。
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5.一般形式的安培环路定律
若考虑磁化电流的作用
l B dl μ0 (I Im ) 0I 0 l M dl
移项后
( B M ) dl I
I

I
12
2

I
2 12
B dl l

2B

0
I 2 12
安培定律示意图
故
B

0 I 2 12
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2) 1 2
l B dl 2B 0I
得到
B

0 I 2
e
3) 2 3,
I
I
I
2 32
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3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density
1. 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
安培经过大量的实验确定了磁场对一个恒定电流元作用力的大小及方向：
安培力 dF Idl B
dF IdlBsin α
定义
B dFmax T（Wb/m2）
Idl
B dS 0 散度定理
s
V BdV 0
B 0
表明恒定磁场是无源场可作为判断一个矢量场是否为
恒定磁场的必要条件。
③ 磁通连续性原理可以从毕奥—沙伐定律中导出
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2. 磁力线
磁场分布可以用表示磁感应强度的磁力线来形象的描述。规定：
① 磁力线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的切线方向
Φ sB dS
若S面为闭合曲面
Wb (韦伯)
Φ B dS 0
磁通连续 性原理
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Φ B dS 0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头 无尾的闭合曲线，这一性质建立在自然界不存在磁荷的基 础上，原理适用于恒定磁场也适用于时变场。
②由
e
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例 无限大导体平面通有面电流 强度 B 分布。
K K e,z 试求磁感应
解
取宽度 dx 的一条无限长线电流
dBx

0 Kdx 2
cos

0 Kdx 2

y


0 Kydx 2 (x2 y2 )
根据对称性, By = 0
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
抗磁体 顺磁体 铁磁体
注意
引入磁场中感受轻微推斥力的物质。所有的 有机化合物和大部分无机化合物是抗磁体。
引入磁场中感受轻微吸引力拉向强磁场 的物质。铝和铜等金属是顺磁体。
引入磁场中感受到强吸引力的物质（所 受磁力是顺磁物质的5000倍）。铁和磁 铁矿等是铁磁体。
抗磁体和顺磁体在磁场中所受的力很弱，统 称为非磁性物质，其磁导率近似为0。
B 线微分方程
导线位于铁板上方
长直螺线管的磁场
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一对反向电流传输线
一对同向电流传输线
两对反相电流传输线
两对同向电流传输线
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3. 真空中的安培环路定律 以无限长直载流导线的磁场为例
B dl Bdlcos


0 I 2

d

0 I 2
2
d
0
0I
理论意义 导体中有电流，在导体内部和它周围的媒质中就不仅有电场 还有磁场，磁的本质是动电现象，仅研究电场是不全面的。
工程意义 许多工程问题与电流的磁效应有关，需要知道磁场分布、磁 力、电感的大小。
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恒定磁场 当导体中通有恒定电流时，在空间产生不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。
研究恒定磁场的方法 分析恒定电流产生的恒定磁场与分析静止电荷产生的静电场在思路和方法 上有许多共同之处，可以采用类比的方法。但由于磁是动电现象，因此与静电 场又有本质的不同，有其本身的特点，在学习中必须掌握这些特点。
Rcos R ρ cos
sin cos

B 0I
1
ρ cos cos2
d
4 2 ρ2 / cos2
0I 1 cosd
4 2 ρ

0I 4
(sin
1

sin
2 )
当 L1 时，, L2
B

0I 2
与该点磁感应强度 B 的方向。
② 磁力线的疏密程度与磁感应强度的大小成正比。
磁力线的性质：
B线是闭合曲线； B线与电流方向成右螺旋关系； B线不能相交 磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。
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B 线方程
B // dl B kdl or B dl 0
直角坐标系
Bx By Bz dx dy dz
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可以用原子模型来解释物质的磁性
1）磁偶极子 (magnetic dipole)
面积为dS的很小的载流回路，场 中任意点到回路中心的距离都远 大于回路的线性尺度。
磁偶极矩
m IdS Am2
( magnetic dipole moment )
2）媒质的磁化
原子的净磁矩为所有电 子的轨道磁矩和自旋磁 矩所组成。
体电流
B

0 4
V
J (r) eR dV R2
面电流
B

0 4
S
K (r) eR R2
dS
另几种元电流段Idl，JdV，KdS
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例 试求长直载流导线产生的磁感应强度。
采用圆柱坐标系，取电流 I dz，
解
dB 0 Idl sinθ 4 R2
l tan dl ρ d cos2
B
得任一电流I在空间任意点产生的磁感应强度
B

0 4
Id
l
l eR R2
毕奥—沙伐 定律
注意 ① 毕奥—沙伐定律只适用于恒定磁场中 无限大均匀媒质。
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② 毕奥—沙伐定律是重要的实验定律，它的重要性在于 定量的描述了电流和它产生的磁场之间的关系，进而 可以导出磁场的基本性质。
③ 对于体分布和面分布电流，毕奥—沙伐定律表述为：
H J
H dl I
l
J
S

dSSs’toke
S ( H)dS SJ dS
表明恒定磁场是有旋场，电流是恒定磁场的漩涡源。