广东省湛江一中2014届高三数学第一次综合检测试题 理 新人教A版

湛江一中2014届高三第一次综合检测数学理试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填在答题卷的选择题表格中） 1．复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z = A ．22i -- B ．22i -+ C ．i 2-2 D ．i 2+2
2．设全集U 是实数集R ，}4|{2
>=x x M ，}31|{≤<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合是
A ．{|21}x x -≤<
B ．{|12}x x <≤
C ．{|22}x x -≤≤
D ．{|2}x x <
3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝
A ．3×44
B ．3×44＋1
C ．45
D ．45
＋1
4．下列命题中，真命题是
A ．存在一个ABC ∆，使A bc c b a cos 32
22-+=(c b a ,,是三边长，a 是内角A 的对边) B ．0log ),,1(5.0>+∞∈∀x x C ．幂函数 3
)1()(--=m x
m x f 在定义域上是减函数
D ．1,1>>b a 是1>ab 的必要条件 5．某校高三(38)班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定．．正确的是 A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6． 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧（左）视图可以为
A. B. C. D.
7．将包含甲、乙两队的8支球队平均分成两个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有
A. 20种
B. 35种
C. 40 种
D.60种
8．若1
()1(1)
f x f x +=
+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内
()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分，把答案填在答题卷上） （－）必做题
9．ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，3||=
AB ，1||=AC ， 则______=•BC AM ．
10．若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则x y -
11. 曲线3
:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l 及x 轴围成的封闭图形的面积是_________．
12．设函数()|1|f x x =-满足(2)1f m <，则输入的实数t 的范围是________． 13． 函数()sin()f x A x ω=的图象如图所示，若()f θ(,)42
ππ
θ∈，则cos sin θθ-=_______．
（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．
14．已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，
⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直 线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2， EA=1，∠AMB=30o
，那么⊙O 2的半径为 ．
A B
C D
P M
E O 1
O 2
15．在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θρ=∈的距离是_____．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本题满分12分）
已知函数()cos )2
f x x x π
=+
（x R ∈）.
(1)求函数()f x 的最大值，并指出取得最大值时相应的x 的值； (2) 设0ϕπ≤≤，若()y f x ϕ=+是偶函数,求ϕ的值.
17.（本题满分12分）
已知函数3
2
()39f x x x x a =-+++，定义域为D ． （1）若(,)D =-∞+∞，求()f x 的单调递减区间；
（2）若[3,2]D =-，且()f x 的最大值为19，求()f x 的最小值．
18．（本题满分14分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%；生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏
损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
（1）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
19．（本题满分14分）
如图一，△ABC 是正三角形，△ABD 是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD 沿边AB
折起， 使得△ABD 与△ABC 成30o
的二面角C AB D --,如图二，在二面角C AB D --中.
(1) 求D 、C 之间的距离；
(2) 求CD 与面ABC 所成的角的大小．
20 ．（本题满分14分）
已知数列{}n a 中，11a =，*
11
()()2
n n n a a n N +⋅=∈，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和．
（1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求2n T ；
（3）不等式222643(1)n n n T a ka ⋅⋅≤-对于一切*
n N ∈恒成立，求实数k 的最大值.
B
D
C
图一 图二
21．（本题满分14分）
已知函数2()ln(1)f x x kx =++（k R ∈）．
(1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值，求k 的值；
(2)[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在0
0x y x ≥⎧⎨-≥⎩
所表示的区域内，求k 的取值范围；
(3)证明：2)12ln(122
1
<+--∑=n i n
i ，+∈N n ．
2013-2014学年湛江一中高三第一学期12月月考试题 数学(理科)参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填在答题卷的选择题表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A C D C B
（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．
14. 3 15. 3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
处也可是2sin()6
x π
-等)
所
以
()
f x 的
最
大
值
是
2
---------------------------------------------------------------------------5分 此
时
23
x k π
π
+
=，即
2,3
x k k Z π
π=-
∈
------------------------------------------------6分 (2)
解
法
一
：
由
(1)
及
()()
f x f x ϕϕ+=-+，
----------------------------------------------7分
得
cos()cos()3
3
x x π
π
ϕϕ-+
+=+
+
--------------------------------------------------------8分 即
sin sin()0
3
x π
ϕ+=对任意实数
x
恒成立，
-------------------------------------------9分 所
以
,3
k k Z
π
ϕπ+
=∈，又
0ϕπ≤≤
-----------------------------------------------------11分 所
以
23
π
ϕ=
． ------------------------------------------------------------------------------------12分
解法二: 由题设知()()f x f x ϕϕ+=-+，所以x ϕ=是()y f x =的对称轴，
由2cos()3
y x π
=+
的对称轴为,3
x k k Z π
π=-
∈，即,3k k Z π
ϕπ=-
∈
又0ϕπ≤≤，所以23
π
ϕ=．
所
以
在
[3,2]
-，
min ()(1)5f x f a
=-=-+（＊）
------------------------------------9分
又(3)27f a -=+，(2)22f a =+，(3)(2)f f ->，所以max ()(3)27f x f a =-=+ --------10分 由
题
设
得
2719,8
a a +==-，代入（＊）
------------------------------------------11分 得
min ()13
f x =-，
()
f x 的最小值的是
13
-.
--------------------------------------------------------------12分
18.解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-. -----------------2分
(10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ，
(2)0.80.10.08P X ==⨯=， (3)0.20.10.02P X =-=⨯=.
------------------------------------7分 由此得X 的分布列为：
…
……8分
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件. 由题设知4(4)10n n --≥，解得145
n ≥
，又n *
∈N 且4n ≤，得3n =，或4n =. …………10分
所求概率为334
40.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=.（或写成
512
625
） 所以，生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为
0.8192. ………14分
19．解: 依题意，∠ABD=90o
，建立如图的坐标系使得△ABC 在yoz 平面上-------------------------------2分.
△ABD 与△ABC 成30o 的二面角, ∴∠
-------------------------------------------------------------3分
又AB=BD=2， ∴ A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，3，1)，D(1，3，0)， -------------------------------6分
(1)|CD|=2
22)10()33()01(-+-+-=2(2) x 轴与面ABC 垂直，故(1，0，0)是面ABC 的一个法向量。

设CD 与面ABC 成的角为θ，而CD = (1，0，-1)，
∴sin θ=
2
22222)1(01001|)1,0,1()0,0,1(|-++++-⋅=
2
2
------------------------------------------------------------12分 θ∈[0，
2π]，∴θ=4
π
；
所以所求的DC 与平面ABC 的所成角是
4
π
----------------------------------------------------------------------14分 几何法:
(1) 过B 在半平面ABC 内作BN 垂直于AB ，交AC 于N ， 则0
30=∠NBD 又
BN
AB BD
AB ⊥⊥
⊥∴AB 平面BND
过C 作CH//AB ，则⊥CH 平面BND ，12
1
==
BC CH BCH ∆≌BDH ∆
即1=HD ，在CHD RT ∆中，得2=
CD
(2) 因BN DH ⊥，CH BH ⊥，H BH CH =⋂ ⊥∴DH 平面ABC ，
则DCH ∠为所线DC 与平面ABC 的所成角，DHC RT ∆是等腰三角形，
所以所求的DC 与平面ABC 的所成角是0
45
20 ．解：（1）
21
1222122
22221
1
()1
212()2
n n n n n n n n n n b a a a b a a a ++++++====
-------------------------------------3分 所
以
{}
n b 是以
112
b =
，公比为
12
的等比数
列
.
---------------------------------------4分 (2)由(1)知,1()2
n
n b =, 当
*2()
n k k N =∈时,
21
()2
k
n k k a a b ===;
------------------------------------------5分 当
*21()
n k k N =-∈时,
21211212111
()()2()222
k k k k n k k a a a ----==÷=⋅=
----------------------------------6分
即
1
2
21(),2
1(),2
n n n
n a n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为正奇数为正偶数 A
B
D
C
N
H
----------------------------------------------------7分
21321242(...)(...)n n n T a a a a a a -=+++++++1111()()(1())
12223(1())1121122
n n n --=
+=--- ----------------9分 (3)
由
(2),
222643(1)
n n n T a ka ≤-即得
111
64[33()]3(1)222
n n n k -⋅≤-⋅
--------10分 所
以
64
2642
n n k ≤+
- ------------------------------------------------------------------------11分 因
646426422644822
n n n n +
-≥⋅-=-(当
3
n =时等号成立)
-----------------------13分
即所求的k 最大值48
-. -------------------------------------------------------------------------14分 21
．
(1)
kx x
x f 211
)('++=
，
1
->x ，
----------------------------------------------------------------------------------1分
由4
1
0)1('
-
==k f 得 经检验符合题意-------------------------------------------------------------------------------3分
②当0＜k ＜12时，1－2k
2k ＞0, 对于x ∈)221,0(k
k -,g ′(x )＞0，
故g (x )在)221,
0(k k -内单调递增，因此当取x 0∈)221,0(k
k
-时，g (x 0)＞g (0)＝0，不合． 综上，
1
2k ≥．----------------------------------------------------------------------8
分
(3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成
立．-------------------9分
当n ≥2时，在(2)中取k ＝12，得2)1ln(2
x x x ≤+------------------------------------10分 取x=22i －1代入上式得：22i －1-ln(1+22i －1)≤2)12(2-i ＜2(23)(21)
i i --------------------12分。