苏教高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测十 空间几何体的表面积 含解析

课时跟踪检测（十） 空间几何体的表面积
层级一 学业水平达标
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )
A ．63 B. 3 C ．2 3 D ．2
解析：选B 由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为5，可知高h ＝2，又因为底面积S ＝332，所以体积V ＝13Sh ＝13×332
×2＝ 3. 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶ 3
C ．1∶ 5 D.3∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.
3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A ．4
B ．2
C ．8
D ．16
解析：选A 设圆台的上、下底面半径分别为r ′，r ，
则母线l ＝12
(r ′＋r )． ∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.
∴l ＝4.
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
( )
A.1＋2π2π
B.1＋4π4π
C.1＋2ππ
D.1＋4π2π
解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，
则由题设知h ＝2πr ，
∴S 表＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)，
又S 侧＝h 2＝4π2r 2，
∴S 表S 侧
＝1＋2π2π. 5．正三棱锥的底面边长为a ，高为
33a ，则此棱锥的侧面积为( ) A.
152a 2 B ．a 2 C.154a 2 D.156
a 2 解析：选C 如图，在正三棱锥S -ABC 中，过点S 作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连结AO 并延长与BC 相交于点M ，连结SM ，SM 即为斜高
h ′，在Rt △SMO 中，h ′＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭
⎫36a 2＝156a ， 所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154
a 2. 6．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
解析：由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3. 答案：3
7．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________．
解析：设圆柱的底面半径为R ，
则S ＝πR 2，R ＝
S π
， 底面周长c ＝2πR .
故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2·S π
＝4πS . 答案：4πS
8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积
与正方体的表面积的比为________．
解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1-AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角
形，其表面积为4×12×2×62
＝23，所以三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.
答案：1∶ 3
9．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．
解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径
为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2. ①
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2πRh ＝6，πRl ＝5，
② 由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ
. 10．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．
解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥
AB ，
则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.
∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34
a 2×2， ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，
∴SO 2＋OE 2＝SE 2，
∴32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34
×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.
层级二 应试能力达标
1.已知高为3的棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，
则三棱锥B -AB 1C 的体积为( )
A.14
B.12
C.36
D.34
解析：选D VB -AB 1C ＝VB 1-ABC ＝13S △ABC ×h ＝13×34×3＝34
. 2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选D 设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝
6－2＝2， a ＝2×22
＝1，所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3
解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，
则另一底面半径为3r .
由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.
4．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
解析：选D 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，
而l 21＝152－52，l 22＝92－52，而l 21＋l 22＝4a 2，
即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160.
5．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．
解析：以长为π的边为高时，底面半径为32
， S ＝3π2＋2·π·⎝⎛⎭⎫322＝3π2＋92
π， 以长为3π的边为高时，底面半径为12
， S ＝3π2＋2·π·⎝⎛⎭⎫122＝3π2＋12
π. 答案：3π2＋92π或3π2＋12
π
6.如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，则圆柱的表面积是__________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
圆锥高h＝42－22＝23，
画轴截面积图(如图)，则3
23＝
2－r
2.
故圆锥内接圆柱的底半径r＝1.
则圆柱的表面积
S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.
答案：(2＋23)π
7.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)．
解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3＝9.3(m2)，
半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×⎝⎛⎭⎫1
22≈1.6(m2)，
所以S1＋S2≈9.3＋1.6＝10.9(m2)．
10．9×150≈1 635(朵)．
所以装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．
8．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1
中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为29，
设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)此棱柱的表面积．
解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4
的矩形，其对角线长为92＋42＝97.
(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C
在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连结MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．
设PC ＝x ，即P 1C ＝x ， 在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29， 求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2. ∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45
. (3)棱柱的表面积：
S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932
.。