安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学.5

安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
数学（理科）试题
考生注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分
钟．
2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所
粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．
3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B).
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概
率：k n k k
n n P P C k P --=)1()(.
球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：33
4R V π=球，其中R 表示球的半径.
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.
1.设i 为虚数单位，则复数i
i -12009
在复平面内对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.设集合M={}
02>∈x
R x ，N={}
0log 2>∈x R x ,则M C R N 等于
A. {}1≤∈x R x
B. {}1>∈x R x
C. {}
10≤<∈x R x
D. {}
10≤≤∈x R x
俯视图
正视图
侧视图
2
2
2
22
2
3．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/
x f y =的图象，下列说法正确的是
A. 向左平移π个单位长度
B.向左平移 2π
个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2
π
个单位长度
4. 下列说法正确的是
A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为
n
m
； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.性检验是研究解释变量和预报变量的方法；
D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.
5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 2
1
≤
∆的概率为 A. 3
1 B.
2
1 C.
3
2 D.
4
3
6. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是
A.π3
B. π34
C.π12
D. π48
7． 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交
双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为
A. 12+
B. 3
C. 2
D.
2
1
2+ 8.若n x
x )3
(3
+
的展开式中存在常数项，则n 的值可以是
A.8
B.9
C. 10
D. 12
第6题图
E F
D
C
B
A
直观图
9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是
A. 2
x y = B. x y -=2
C.
x y 2=
D. 21
x y =
10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：
①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定
是A ：021>>x x B.210x x << C.21x x > D. 21x x >
12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2
) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2
x y =与直线x=0、
x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为
A.
12
1 B.
10
1 C.
6
1 D.
4
1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)2
0,0(cos 4,3cos π
θρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交
点的极坐标为 ;
14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x x
y x 为常数(020⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;
15. 如图，四边形ABCD 中，=AB a , =AD b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;
开始 结束
输入x
x ≤0?
输出y
x=x-2
N
Y
第9题图 第15题图
P
A
B
C
D
E F
16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(2
2=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的
斜率k 等于 ;
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)
4
(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=
π
π
（Ⅰ）求)12
17
(π-
f 的值; （Ⅱ）当]2
,0[π
∈x 时，求x x f x g 2sin )(2
1
)(+=
的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；
（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.
20.（本小题满分12分）
正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2
)1(4+=n n a S （n ≥1）.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .
21．(本小题满分12分)
如图，已知圆C ：8)1(2
2
=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足
→
AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.
（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.
22. (本小题满分14分)
设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=
（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(/
/
b f a f =，求证
c b a ,,成等差数列;
（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;
（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，2
2)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.
第21题
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数学（理科）参考答案
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A
B
D
D
C
A
C
C
B
D
A
二填空题 13.)6
,
32(π
；
14．－6 ； 15．
4
3a
b -；
16.2.
三．解答题
17．解：（Ⅰ）)
4
cos()4
sin(
2cos )
4
(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x x
x x x x x f ++=++--+=
π
π
π
π
x x
x x x 2cos 22cos 2cos 2)
22
sin(
2cos 222==+=
π
………………………………………………………………4分
36
cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-
π
ππππf …………………………6分 （Ⅱ）)4
2sin(22sin 2cos )(π
+
=
+=x x x x g …………………………………………………8分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x
∴28
max =
=
）（时x g x π
…………………………………………………………………………10分 12
min -==
）（时x g x π
………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）在R t△ABC 中，AB ＝13AC ＝2．
在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝3AD ＝4．
∴ABCD S ＝11
22AB BC AC CD
⋅+⋅
115
132233222=⨯⨯⨯=分
则V ＝155323323= ……………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．
∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．
∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则平面PAD 的法向量为：n =（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴AF 为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴AF =)1,2
1,23(
4614
1
4323
),cos(=
++=
=
n
AF n AF ,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分 19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)
（Ⅰ）3
1
)0(13
11=
=
=C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91
)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分
9
1
)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分
9
4
)3(131********
31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分
3
5
943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分
20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=
+=
≥--2
112
1414,2）（）（时n n n n a S a S n 2
122
1211114）
（）（）
（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a
或111+=--n n a a 111--=--n n a a
即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=2
12-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又
q q
25,5,2
+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分
⎩⎨
⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧
==
4
211
b q …………………………………………………………………………………10分 12-=n n T 或)2
1
1(8n n T -
=……………………………………………………………………12分
21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线
NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分
又C （-1，0），A （1，0）
所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分
a=2，c=1，所以12
22
=+y x 为所求………………………………………………………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2
+2y 2
=2得 （1+2k 2
）x 2
-4k 2
x+2k 2
-2=0 (1)
设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.
2
221222121)
1(2,214k
k x x k k x x +-=+=+…………………………………………………………7分 依题0>⋅OB OA 02121>+y y x x
0)()1(2212212>++-+k x x k x x k
021421)1(2)1(22
22
222
>++-+-+k k
k k k k k ………………………………………………………9分
解得：22-<>k k 或………………………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--
若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--
a c ≠ a
b b
c ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列……………………3分
（Ⅱ）依题意2()(2)
,28
()a b a b c a b P +--- 2
222222222
()4
'(
)a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-
== ∴切线22()()42
()(2):8a b a b
x a b c a b l y -+=------
令0y =得
222
c a b a b
x --+=-
，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）0,c a b ==，则2
()()f x x x a =-
∴2
'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=-- ①0a >时：
3
(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数； 3
(,)a x a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；
(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.
而3
4,(1)1327()a a f a a f +=+=，依题意有3
22422721
a a a a ⎧>
⎪⎨⎪>+⎩
2721a ∴<<
………………10分
②0a <时：
()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--=
∴2
2
(1)(12)2a a a >-- 即32
65104a a a -+->……（☆）
记32651()4a a U a a -+-=，则22
112512()202
'()12a a U a a -+=-+>=
∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时，
326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解.
综上，27
2
1a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。