最新题库大全2005-高考数学 试题分项专题09 直线与圆 理

2013最新题库大全2005-2012年数学（理）高考试题分项专题09 直
线与圆
2012年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
一、选择题:
(2012年高考江西卷理科7)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB
PC +=（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
(2012年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2012年高考天津卷理科8)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与
圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )
（A ）[1 （Ｂ）(,1[1+3,+)-∞∞
（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞
(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆22
2=+y x 的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】直线1y kx =+过圆内内一定点(0,1).
(2012年高考陕西卷理科4)已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）
（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能
二、填空题:
(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2
＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．
（2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 【答案】3
4 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的
圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有212
42≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是3
4 . 【考点定位】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.
(2012年高考上海卷理科4)若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
三、解答题:
(2012年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）
设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分)
如图，椭圆()22
022:+=1>b>0,a,b x y C a a b
为常数，动圆222111
:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点
（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；
（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形
ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，证明：2212+t t 为定值
2011年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是
A ．()
B ．(0)∪(0
c ．[] D ．(-∞，，+∞)
解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则F E B D ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F
，由此，易得：AC =，又31210
EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD
=
由此得，BD =所以四边形ABCD
的面积为
1122
AC BD =⨯=二、填空题:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为
整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点
③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线2
2y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为
1。

为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线3x =相切，
设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为()2223x r y r +-+=，将其与22y x =联立得：()222960x r x r +-+-=，令()()2224960r r ∆=---=⎡⎤⎣⎦，
并由0r >，得：
1r =
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）
已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面
积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
132x y +=，得
222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
222222*********(3)(3)4() 2.333
y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。

（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时，
由（I ）知11|||||2||2,OM x PQ y ====
因此||||22
OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
123,22x x k
m
+= 2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),
(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++
所以2
2
22111
||||(3)2(2)2OM PQ m m
⋅=
⨯-⨯⨯+ 2222
211
(3)(2)11
3225(
).24
m m
m m =-
+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤
，当且仅当2211
32,m m m
-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
解法二：
由（I ）得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
2,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取
因此D ，E ，G
只能在(1)±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===
矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.
2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C
与两圆222
24,4x y x y +=+=（（中的一
个内切，另一个外切.
（1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）
已知点(55
M F ，0），
且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.
【解析】（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
|4,=
化简得L 的方程为2
2 1.4
x y -=
（2）解：过M ，F 的直线l
方程为2(y x =-，将其代入L 的方程得
215840.x -+=
解得1212((515551515
x x l L T T =
=-故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==
22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=
故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。

3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2
=4y 是否相切？说明
理由。

解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
思想、数形结
合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：
（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）
因为MP l ⊥，所以
01120
m
-⨯=--， 解得m=2，即点P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径
||r MP ===
故所求圆的方程为2
2
(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+ 所以直线'l 的方程为.y x m =--
由22',4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得 244416(1)m m ∆=-⨯=-
（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切 （2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切； 当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，
线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中
12,l AB l CD ==，
,,,A B C D 是下列三组点中的一组。

对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①
2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成
12:1(||1),:1(||1)
l y x l y x =≤=-≤
222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+
=≥
其面积为4S π=+。

⑶ ① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，
{(,)x y Ω=② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(
1,2)A B C D --
-。

2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}
x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=>
③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

{(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤
2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}x y x y x x y x y x =-<≤--=>
2010年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
（2010江西理数）8.直线3y kx =+与圆()()2
2
324x y -+-=相交于M,N
两点，若
MN ≥k 的取值范围是 A. 304⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣
⎦，，
C. 33⎡-⎢⎣
⎦， D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
（2010重庆理数）(8) 直线
y=
x +与圆心为D 的
圆
c
o s ,1s
i n x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 A. 76π B. 54π C. 43
π D. 53π
解析：数形结合
301-=∠α βπ-+=∠ 302
由圆的性质可知21∠=∠
βπα-+=-∴ 3030
故=+βα4
3
π
（2010全国卷1理数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为
(A) 42-+
(B)3-
4-+
3-+
（2010安徽理数）9、动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，
12秒旋转一周。

已知时间0t =时，点A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1
B 、[]1,7
C 、[]7,12
D 、[]0,1和[]7,12
（2010湖南文数）14.若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂
直平分线l 的斜率为 -1 ,圆（x-2）2+（y-3）2
=1关于直线对称的圆的方程为
（2010全国卷2理数）（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为
圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3O M O N ==，则两圆圆心的距离MN = ．
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵4AB =，所以
OE ==，∴OM ME,ON NE ⊥⊥，
∵3OM ON ==，所以MEO ∆与NEO ∆全等，所以MN 被OE 垂直平分，在直角三角形中，
由面积相等，可得，ME MO
MN=2
3OE
=
（2010四川理数）（14）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则
AB ∣∣= .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为
圆心到直线250x y -+=的距离为d
=
故|AB |2
22(
)+=2
w_w_w.k*s 5*u.c o*m 得|AB |＝2 3 答案：2 3
（2010广东理数）12.已知圆心在x 轴上，O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是
12．22(5x y +=．设圆心为(,0)(0)a a <，则
r ==5a =-．
（2010山东理数）
（2010湖南理数）
2. （2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲____
[解析]考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||
113
c <，c 的取值范围是（-13，13）。

2009年高考数学试题分类汇编——直线与圆
10.（辽宁文、理）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为
（A ）2
2
(1)(1)2x y ++-= (B) 2
2
(1)(1)2x y -++= (C) 2
2
(1)(1)2x y -+-= (D) 2
2
(1)(1)2x y +++=
11.（江西文、理）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．存在一个圆与所有直线相交 B ．存在一个圆与所有直线不相交 C ．存在一个圆与所有直线相切
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
答案：ABC 【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离
1
d==
即M为圆C:22
(2)1
x y
+-=的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交, 也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线相切,
故ABC正确,
又因M中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,
故命题中正确的序号是ABC
16.（重庆理）直线1
y x
=+与圆221
x y
+=的位置关系为（ B ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心D．相离
17.（天津理）若圆224
x y
+=与圆22260
x y ay
++-=（a>0）的公共弦的长为
则=
a___________。

18.（四川理）若⊙22
1
:5
O x y
+=与⊙22
2
:()20()
O x m y m R
-+=∈相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
解析：由题知)0,
(
),
0,0(
2
1
m
O
O，且5
3
|
|
5<
<m，又
2
1
AO
A
O⊥，所以有
5
25
)5
2(
)5
(2
2
2±
=
⇒
=
+
=m
m，∴4
5
20
5
2=
⋅
⋅
=
AB。

19.（上海理）过圆22
(1)(1)1
C x y
-+-=
：的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB
∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
|||
,
S S S S
I∏
+=+
¥
则直线AB有（B ）
（A） 0条（B） 1条（C） 2条（D） 3条
20.（陕西理）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240
x y y
+-=所截得的弦长为（A
（B）2 （C（D） D
2222
4024x y y x y +-=⇔+-=∴∴解析：（），
A(0,2),OA=2,A 到直线ON 的距离是1,弦长21.（全国2理）已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，
垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD
的面积22121
||||8()52
S AB CD d d =
⋅=≤-+= 22.（江西理）
若不等式(2)k x +的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则
k =．
【解析】由数形结合，直线(2)y k x =+
y =3,1b a ==，则
直线(2)y k x =+
1
，则k =
23．（湖南理）已知D 是由不等式组2030
x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在
区域D 内
的弧长为 [ B] A
4π B 2
π C 34π D 32π
2008年高考数学试题分类汇编——直线与圆
一．选择题：
1，（2008上海卷15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的
正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），
A 、
B 、
C 、
D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '
≤
且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．弧AB B ．弧BC C ．弧CD D ．弧DA 2.（2008全国一10）若直线1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ D ） A ．2
2
1a b
+≤
B ．22
1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b
+≥
3.（2008全国二5）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值
（ D ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
4.（2008全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ） A ．3
B ．2
C ．1
3
-
D ．12
-
5.（2008北京卷5）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则23x y
z +=的最小值是（ B ）
A ．0
B ．1
C
D ．9
6.（2008北京卷7）过直线y x =上的一点作圆22
(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，
当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ C ） A ．
30
B ．
45
C ．
60
D ．
90
7.（2008四川卷４）直线3y x =绕原点逆时针旋转0
90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ) （Ａ）1133y x =-
+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）1
13
y x =+ 8.（2008天津卷2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210
y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大
值为D
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
9.（2008安徽卷8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2
(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的
斜率的取值范围为（ C ）
A
．[ B
．(
C
．[ D
．( 10.（2008山东卷11）已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为B
（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406
11.（2008山东卷12）设二元一次不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函
数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是C
（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]
12.（2008湖北卷9）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有C
A.16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条
13.（2008湖南卷3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则x y +的最大值是( C )
A.2
B.5
C.6
D.8
14.（2008陕西卷5
0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ） A
B
．
C
．-
D
．-
15.（2008陕西卷10）已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪
-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为
1-，则实数m 等于（ B ）
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
16.（2008重庆卷3)圆O 1:022
2
=-x y x ＋和圆O 2: 042
2
=-y y x ＋的位置关系是B
(A)相离
(B)相交
(C)外切 (D)内切
17.（2008辽宁卷3）圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ） A
．(k ∈
B
．((2)k ∈-+，∞
C
．(k ∈ D
．((3)k ∈-+，∞
二．填空题：
1.（2008天津卷15）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线
34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为
__________________．22(1)18x y ++=
2.（2008全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪
-+⎨⎪⎩
，
，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值
为 ．9
3.（2008四川卷14）已知直线:40l x y -+=与圆()()2
2
:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。

2
4.（2008安徽卷15）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化
到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为
74
5.（2008江苏卷9）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫
⎛⎫-+-= ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： 。

110x y p a ⎛⎫+-=
⎪⎝⎭
.11
b c -
6.（2008重庆卷15）直线l 与圆0422
2
=+a y x y x －＋＋ (a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 . x-y+1=0 7.（2008福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆 ⎩⎨
⎧+-=+=θ
θ
sin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，
则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞
8.（2008广东卷11）经过圆22
20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线
方程是 ．10x y -+=
9.（2008浙江卷17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为
坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于____________。

1 三．解答题： 1．（北京卷19）（本小题共14分）
已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．
设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，
则1232n x x +=，212344
n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．
所以122
n
y y +=
． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫
⎪⎝
⎭，．
由（Ⅰ）可得22
2
2
1212316
()()2
n AC x x y y -+=-+-=，
所以2
316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭
．
所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值
2.（江苏卷18）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()2
2f x x x b x R =++∈的图象
与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()2
20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 2
0y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与2
2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2
y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为22
2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02
＋12
＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）． 3.（湖北卷19）（本小题满分13分）
如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，
30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于
．．．l 斜率的取值范围.
本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则
A （-2，0），
B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2
222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2
=2,b 2
=c 2
-a 2
=2.
∴曲线C 的方程为12
22
2=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为a b
y a x (122
22=-＞0，b ＞0）.
则由⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-41132222
22
b a b
a ）（解得a 2=
b 2
=2, ∴曲线C 的方程为.12
22
2=-y x
而原点O 到直线l 的距离d ＝
2
12k
+，
∴S △DEF =.1322132211221212222
22k
k k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有
　解得.22,022********
2
≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③
综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2
）x 2
-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.
+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =
.2
1
)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝
,2
1
21x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =
.13222
2
k
k --
若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S
.22,022*******
2
≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④
综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
2007年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
(2007上海理)
11、已知圆的方程()2
2
11x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。

直线OP 的倾斜
角为θ弧度，OP d =，则()d f θ=的图象大致为_____
【答案】2sin θ 正弦函数 (2007山东理)
（15）与直线20x y +-=和曲线22
1212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
(2007江西理)
16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．
经过原点 其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
【答案】B D ， (2007湖南理)
11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ． 【答案】22(1)(1)2x y -+-=
2007年高考数学试题汇编
线性规划问题 1、（2007湖北）设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≥，
≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值
为 ．
2、（2007福建）已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
【答案】[]57-，
4、（2007全国I ）下面给出四个点中，位于1010
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，
表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ．(02)， Ｂ．(20)-，
Ｃ．(02)-，
Ｄ．(20)，
【答案】C
5、（2007陕西）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值
为 . 【答案】8
6、（2007重庆）已知23000.x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≤≥，≥则3z x y =-的最小值为 ．
【答案】9 7、（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
3
2
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元 【答案】B
8、（2007浙江）2z x y =+中的x y ，满足约束条件250
300x y x x y -+=⎧⎪
-⎨⎪+⎩
，≥，≥，则z 的最小值
是 ． 【答案】53
-
9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
联立30052900.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得100200x y ==，．
10、（2007北京）若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪
⎨⎪⎩
≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范
围是（ ） Ａ．5a < Ｂ．7a ≥
Ｃ．57a <≤
Ｄ．5a <或7a ≥
【答案】C
11、（2007安徽）如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，
那么PQ 的最小值为（ ）
Ａ．
32
1-
Ｃ．1
1
【答案】A
12、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且
0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为
A ．2
B ．1
C ．12
D ．1
4
【答案】B
2006年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
1．（2006年北京卷）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且
交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A) （A ）一条直线 （B ）一个圆
（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支 2．（2006年北京卷）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11
a b
+的值等于___
1
2
_________. 3．（2006年陕西卷）设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆2
2
2x y +=相切，则a 的值为（ B ）
（Ａ）4±
（Ｂ）± （Ｃ）2±
（Ｄ）
4. （2006年上海春卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 4 .
5．（2006年全国卷II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2
＝4分成两段弧，当劣弧
所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ 2
2 ．
6．（2006年江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是
（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0 解：圆心为（1
，，半径为1，故此圆必与y 轴（x=0）相切，选C 点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系
7．（2006年江西卷）已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2
＝1， 直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：
（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
（C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切 （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
解：圆心坐标为（－cos θ，sin θ）d ＝
|sin |1
θϕ≤－－＝（＋）故选（B ）（D ）
8．（2006年上海卷）已知圆2
x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是
2
． 9. ( 2006年湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线
l :0ax by +=
的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( B )
A.[,124ππ]
B.[5,1212ππ]
C.[,]63
ππ D.[0,]2π
10．（2006年福建卷）已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，则______.
a =1
4
11．（2006年上海卷）在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，
3
π），B （5，－65π
），则
△OAB 的面积是 5 ．
12．（2006年上海卷）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离
坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题： ①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为
（p ，q ）的点有且仅有2个；
③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q 4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．
1
l 2l
O
M （p ，q ）
13．（2006年安徽卷）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为
（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

14．（2006年广东卷）在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，
目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是
A. ]15,6[
B. ]15,7[
C. ]8,6[
D. ]8,7[
15．（2006年广东卷）由⎩
⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y s
x x y s y x 交点为 )4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--，
（1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z
故选D.
16． ( 2006年重庆卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为____1a >_______. 17. （2006年上海春卷）已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 )10,
0( .
18．（2006年四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11,a b ，生产乙产
品每千克需用原料A 和原料B 分别为22,a b 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为12,d d 元，月初一次性够进本月用原料,A B 各12,c c 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为（C ）
（A ）12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （B ）11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩
（C ）12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （D ）12112200a x a y c b x b y c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 19．（2006年天津卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x
y ，则目标函数y x z +=2的
最小值为（ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
20．（2006年天津卷）设直线30ax y -+=与圆2
2
(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为a =_____0_______．
21. （2006年湖北卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 4
21．解选C 。

由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故
0,0x y >>。

由my x z +=得1z y x m m =-
+，它表示斜率为1m
-。

（1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m
最小，此时需113
31AC k m --==-，
即=m 1；
（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m
最小，此时需112
35BC k m --==-，
即=m 2，与0m <矛盾。

综上可知，=m 1。

22. （2006年湖北卷）已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为
___8或－18_____. 22. 解填8或－18
1=,
解得a =8或－18. 23．（2006年全国卷I ）设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件
1x y -≥- 3223x y +≤
1y ≥
则z 的最大值为____11_________。

23．线性规划的题，做图如右。

解方程组322321x y x y +=⎧⎨
-=⎩得点A 坐标（3，7）
代入
1122y x z
=+，得11z =。

所以max 11z =。

线形规划的题目，最关键的是不等号的处理：“是在直线的上方还是下方？”。

24．（2006年江苏卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲
域时有0003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩。

【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

26．（2006年北京卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，点O 为坐标原点，那么
||PO 的最小值等于
最大值等于
27．（ 2006年浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的
面积是 (B )
28． ( 2006年湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 5 .
2005年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
一、选择题
1．（2005江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△
OAB 的面积达最大值时，=θ
（ D ）
A ．
6π
B ．
4
π C ．
3π D ．2
π
2．（2005江西卷） “a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的
（A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
3. (2005重庆卷)圆(x +2)2+y 2
=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为
(A )
(A) (x -2)2+y 2=5； (B) x 2+(y +2)2
=5；
(C) (x -2)2+(y +2)2=5； (D) x 2+(y +2)2
=5 4 (2005浙江)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( D )
(A)
21 (B) 32
(C) 2
(D)2
5．(2005浙江)设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )
5.（2005天津卷）将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2
+y 2
+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 6. (2005全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1
31x y x y 所表示的平面区域的面积为（C
） （A ）2
（B ）
2
3 （C ）
2
2
3 （D ）2
7. (2005全国卷Ⅰ)设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（D ）
（A ）1±
（B ）2
1
±
（C ）3
3±
（D ）3±
8. (2005全国卷I)已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 22
2
=+有两个交点时，其
斜率k 的取值范围是（B ）
（A ）），（2222-
（B ）），（22-
（C ））
，（4
2
42-
（D ）），（8
1
81-
9. (2005全国卷III)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（B ）
（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 10（2005北京卷）从原点向圆 x 2
＋y 2
－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B )
（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π
11 （2005辽宁卷）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆52
2
=+y x 相切，则c 的值为（ A ） A ．8或－2
B ．6或－4
C ．4或－6
D ．2或－8
12.（2005湖南卷）设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两
个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是
（C ）
A ．20
B ．19
C ．18
D ．
16
填空题
1.( 2005全国卷II)圆心为(1,2)且
与直线512 70x y --=相切的圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=．
2.（2005湖南卷）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦
AB 的垂直平分线方程是 0323=--y x .
3．（2005湖南卷）已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，
则OB OA ⋅ ＝ 2
1
-
. 4．（2005湖北卷）某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，
一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 500 元. 5 (2005福建卷)15．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,0
30
42+⎩⎨
⎧≤-+≤-+则的最大值为 9 .
6（2005江西卷）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-+≤-- 23 .
7（2005上海）3．若x,y 满足条件 x+y ≤3
y ≤2x ,则z=3x+4y 的最大值是 11 ． 8（2005上海）直线y=
2
1
x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 x+2y-2=0 ．。