加乘原理与容斥原理

加乘原理与容斥原理The document was prepared on January 2, 2021
专题五1 加乘原理
一、加乘原理
1、加法原理：为了完成一件事,有几类方法.第一类方法中有1m 种不同的方法,第二类方法中有2m 种不同的方法…….第n 类方法中有n m 种不同的方法.那么,完成这件事共有：12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法.
2、乘法原理：为了完成一件事,需要n 个步骤.做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么,完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法.
二、应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．
⑵乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．
⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步．
4加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”． 5乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．
来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．
,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”
例题1、如下图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有4条路,从甲地到丁地有3条路可走,从丁地到丙地也有3条路,请问从甲地到丙地共有多少种不同走法
例题2、有一个三层书架,第一层放了15本书,第二层放了10本漫画书,第三层放了5本科普书,并且这些书各不相同,请问：
（1）如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法
（2）如果从每一层中各取一本,共有多少种不同的取法
（3）如果从中取2本不同类别的书,共有多少种不同的取法
例题2、运动会中有4个跑步的比赛项目,分别为50米、100米、200米、400米,规
定每个参赛只能参加其中的一项,甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目,请问：
（1）如果每名同学都可以任意报这4个项目,一共有多少种报名方法
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同,一共有多少种报名方法
例题4、用数字0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的自然数
例题5、用0,1,2,3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数
例题6、如右图,有A、B、C、D、E五个区域,现用五种颜色给区域染色,染色要求：每相邻两个区域不同色,每个区域染一色．有多少种不同的染色方式
1、王老师从重庆到南京,他可以乘飞机、汽车直接到达,也可以先到武汉,再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船,也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机,如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢2级
2、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择
3、四张卡片上写有2、
4、7、8,从中任取三张卡片,排成一行,就可以组成一个三位数,请问：一共可以组成多少个不同的三位数其中有多少个不同的三位奇数
4、由数字0,1,3,9可以组成多少个无重复数字的自然数
5、地图上有A,B,C,D四个国家如下图,现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色,使相邻
国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法
6、用4种不同的颜色给下图涂色,使相邻的长方形颜色不同,有多少种不同的涂色方
法
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏.为了使重叠部分不被重复计算,中公教育专家研究出一种新的计数方法.这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次.
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次.
例题1、在一个办公室中,有7个人爱喝茶,10个人爱喝咖啡,3个人既爱喝茶又爱喝咖啡.如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种,那么这个办公室共有多少人
例题2、某餐厅有27道招牌菜,小明吃过其中的13道,小红吃过其中的7道,而且有2道菜是两个人都吃过的,请问：有多少道菜招牌菜是两人都没有吃过的
例题3、五年级二班有40名同学,其中有25人没参加数学小组,有18人参加航模小组,有10人两个小组都参加,那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人
例题4、三位基金经理投资若干只股票,张经理买过其中66只,王经理买过其中40只,
李经理买过其中23只.张经理和王经理都买过的有17只,王经理和李经理都买过的有
13只,李经理和张经理都买过的有9只,三个人都买过的有6只,请问：这三位经理一共买过多少只股票
例题5、森林里住着一群小白兔,每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或几种,爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只,那么这
群小白兔一共有多少只
例题6、渔乡小学举行长跑和游泳比赛,共305人参加.参加长跑的有150名男生和90名女生,参加游泳比赛的有120名男生和70名女生,有110名男生两项比赛都参加了,请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人
1、暑假里,萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”,他们发现十八景中的每一处都有人
去过,而且有五处是两个人都去过的.如果萱萱去过其中的十二景,那么小高去过其中
的几景
2、在一群小朋友中,有12人看过动画片黑猫警长,有21人看过动画片大闹天宫,并且有8个两部动画片都看过,请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人
3、一群小朋友共有40人,他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或两种,喜欢吃馒头的
有30人,两种都喜欢吃的有7人,那么喜欢吃米饭的有多少人
4、五年级一班有45个学生参加期末考试,成绩公布后,数学满分的有10人,数学及语文均得满分的有3人,这两门课都没有的满分的有29人,请问：语文成绩得满分的有多少
人
5、在一个有30人组成的合唱队中,每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或几种,
其中有10个人爱喝红茶,12个人不爱红茶却爱喝绿茶,请问：只爱喝花茶的有多少人
6、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组,参加的人数分别是54人、46人、36人.同时参加体育小组和音乐小组的有4人,同时参加体育小组和书法小组的
有7人,同时参加音乐小组和书法小组有10人,三个小组都参加的有2人.光明小学五年
级参加课外活动的一共有多少人。