【一轮参考】高优指导2022版高三数学一轮课件：6.1 数列的概念与表示

答案
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考点一 考点二 考点三
考点三由递推关系式求数列的通项公式★★★分类深度研析
考情分析高考对递推公式的考查难度适中,一般不会出现关于三 项的关系式,也不会要求直接由递推公式求出通项公式,一般是通 过变换转化成特殊的数列求解.常见的命题角度有:(1)形如 an+1=anf(n),求an;(2)形如an+1=an+f(n),求an;(3)形如an+1=Aan+B(A≠0, 且A≠1),求an.
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第六章 数列
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6.1 数列的概念与表示
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1.数列的概念
(1)数列的定义:按照 一 定 顺 序 排列的一列数称为数列,数列中
的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,
排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做 首 项 .
(2)数列的分类:
类型一 形如an+1=anf(n),求an
例1在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥Байду номын сангаас),求数列{an}的通 关闭
项公式.
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类型二 形如an+1=an+f(n),求an
例2在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公 式.
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4.求数列最大项的方法:①判断{an}的单调性;②解不等式组
满分策略
1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整 数.
2.数列的通项公式不一定唯一. 3.注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
对点练习根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:
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用函数的观点解决数列问题
数列是一种特殊的函数,在函数的观点下指导数列学习,通过函 数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思
①数列{an}中有多少项是负数? ②当n为何值时,an取最小值?并求出最小值.
(2)若an=n2+kn+4,且对于n∈ N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
思想方法 核心规律
解:(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4. ∵ n∈ N+,∴ n=2,3. ∴ 数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3.
2.由Sn求an时,利用
求出an后,要注意验证a1是
否适合求出的an的关系式.
3.已知递推关系求通项,一般有三种常见思路:
(1)算出前几项,再归纳、猜想;
(2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待 定系数法求出λ,再化为等比数列;
(3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为 型,则采用累乘法.
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3.前5项分别为
的数列的一个通项公式是 .
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4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,则a6+a7+a8= .
a6+a7+a8=S8-S5=88-40=48. 48
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如果已知数列{an}的首项(或前几项),且 任 一 项 a n 与它的 前 一 项 a n- 1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,
那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.
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3.数列的函数特征:数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1,2,…,n})的函数an=f(n)当自变量按照由小到大的顺序 依次取值时所对应的一列函数值.
2.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应 的位置序号.求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函 数关系式.根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一.
3.数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列. 4.已知Sn求an,要对n=1和n≥2两种情况进行讨论.
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(6)通项公式为an=2n-1(n∈ N*)的数列{an}的前4项分别是1,3,7,15.
( √ )
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2.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的
通项公式的是( )
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考点一由数列的前几项求数列的通项★自助训练过关 1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
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2.写出下列数列的一个通项公式:
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方法总结根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析, 抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征、相邻项的变 化特征、拆项后的各部分特征、符号特征.应多进行对比、分析, 从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数 列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、 等比数列;③若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,则可以分别
通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式.
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想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数 列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供 了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应 函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不 连续.
典例已知数列{an}. (1)若an=n2-5n+4,
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类型三 形如an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1),求an
例3已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.
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方法总结数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初 始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列
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对点训练2已知数列{an}是递增数列,且对于任意的
n∈ N+,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是 .
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1.求数列通项或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数的关 系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(1)n+1来区分奇偶项的符号.
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考点二由an与Sn的关系求通项an★★师生互动探究
例题已知下面数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式:
(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.
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方法总结an与其前n项和Sn的关系是
当n=1时,
4.数列{an}的an与Sn的关系:
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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列. ( × ) (2)数列可看作是函数,项数看作函数的自变量,项看作函数值. ( )√ (3)数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点. ( √ ) (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( × ) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列. ( × )
若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;当n=1时,若a1
不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
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对点练习(2015安徽合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为
Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式an= .
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又n∈ N*,∴ 当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.
(2)由an+1>an知,该数列是一个递增数列.通项公式an=n2+kn+4,可 以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈ N*,故
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思想方法 核心规律
对点训练1设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( )
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(3)数列的通项公式:如果数列{an}的第n项与 序 号 n 之间的关系
可以用一个式子来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公 式.
(4)数列的前n项和:在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an} 的前n项和.
(5)数列的表示方法有:列表法、图象法、公式法. 2.数列的递推公式
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5.(2014课标全国Ⅱ,文16)数列{an}满足an+1= .
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,a8=2,则a1=
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自测点评1.数列是按一定顺序排列的一列数,因此,一个数列不仅 与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.