2020年高考理科数学一轮复习：第5章 第2讲 等差数列及其前n项和
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□08 1
2.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列． (2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn＝2dn2＋a1－d2n.当 d≠0 时，它是 关于 n 的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
□ ，可推广为 an＝ 02 am＋(n－m)d
.
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
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3．等差数列的相关性质 已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和． (1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即 a1＋an＝
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答案 解析
(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则{an} 的通项公式为________．
答案 an＝6n－3(n∈N*)
解析 由已知，设{an}的公差为 d，则 a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d ＝36，
又 a1＝3，所以 d＝6，所以{an}的通项公式为 an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 □06 A＝a＋2 b ， 其中 A 叫做 a，b 的 □07 等差中项．
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2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝
□01 a1＋(n－1)d
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答案 解析
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答案 解析
(4)在等差数列 {an}中，若 a3＋a4 ＋a5＋ a6＋a7＝450 ，则 a2＋ a8＝ ________.
答案 180
解析 由等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， 又因为 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 所以 5a5＝450，a5＝90，所以 a2＋a8＝2a5＝180.
□ □ □ 01 a2＋an－1 ＝ 02 a3＋an－2 ＝…＝ 03 ak＋an－k＋1 ＝…. □ (2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时， 04 am＋an＝ap＋aq (m，n，
p，q∈N*)．
□ 特别地，若 m＋n＝2p，则 05 2ap＝am＋an (m，n，p∈N*)．
基础知识过关
[考纲解读] 1.理解等差数列的概念及 等差数列与一次函数的关系．(重点) 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和 公式，并熟练掌握其推导方法，能在具 体的问题情境中识别数列的等差关系， 并能用等差数列的有关知识解决相应 的问题．(重点、难点)
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
[考向预测] 从近三年高考情况来看， 本讲一直是高考的热点．预测 2020 年 高考将会以等差数列的通项公式及其 性质、等差数列的前 n 项和为考查重点， 也可能将等差数列的通项、前 n 项和及 性质综合考查，题型以客观题或解答题 的形式呈现，试题难度一般不大，属中 档题型.
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基础知识过关
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1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从 □01 第 2 项 起，每一项与它前一 项的 □02 差 等于 □03 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的 □04 公差 ，公差通常用字母 d 表示．数学语言表示 □ 为 05 an＋1－an＝d (n∈N*)，d 为常数．
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答案 解析
(2)在等差数列{an}中，已知 a2＝2，前 7 项和 S7＝56，则公差 d＝( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 B
解析
a1＋d＝2， 由题意可得7a1＋7×2 6d＝56，
即aa11＋＋3dd＝＝28，， 解得ad＝1＝3－. 1，
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(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是
等差数列，公差为 □06 md (k，m∈N*)． □ (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 07 n2d .
(5)Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的
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2．小题热身 (1)(2018·日照模拟)由公差为 d 的等差数列 a1，a2，a3，…组成的新数列 a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为 3d 的等差数列 D．非等差数列 答案 B
解析 由题意得，新数列{an＋an＋3}是公差为 2d 的等差数列，理由：(an ＋1＋an＋4)－(an＋an＋3)＝(an＋1－an)＋(an＋4－an＋3)＝d＋d＝2d.
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5．等差数列Βιβλιοθήκη 前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最
则 Sn 存在最 □02 小 值．
□01 大 值；若 a1<0，d>0，
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1．概念辨析 (1)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an} 一定是等差数列．( √ ) (2) 数 列 {an} 为 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 其 通 项 公 式 为 n 的 一 次 函 数．( × ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an ＋2.( √ )
2.
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4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列． (2)等差数列前 n 项和公式可变形为 Sn＝2dn2＋a1－d2n.当 d≠0 时，它是 关于 n 的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
□ ，可推广为 an＝ 02 am＋(n－m)d
.
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
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3．等差数列的相关性质 已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和． (1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即 a1＋an＝
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(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝3，a2＋a5＝36，则{an} 的通项公式为________．
答案 an＝6n－3(n∈N*)
解析 由已知，设{an}的公差为 d，则 a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d ＝36，
又 a1＝3，所以 d＝6，所以{an}的通项公式为 an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 □06 A＝a＋2 b ， 其中 A 叫做 a，b 的 □07 等差中项．
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2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝
□01 a1＋(n－1)d
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(4)在等差数列 {an}中，若 a3＋a4 ＋a5＋ a6＋a7＝450 ，则 a2＋ a8＝ ________.
答案 180
解析 由等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， 又因为 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 所以 5a5＝450，a5＝90，所以 a2＋a8＝2a5＝180.
□ □ □ 01 a2＋an－1 ＝ 02 a3＋an－2 ＝…＝ 03 ak＋an－k＋1 ＝…. □ (2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时， 04 am＋an＝ap＋aq (m，n，
p，q∈N*)．
□ 特别地，若 m＋n＝2p，则 05 2ap＝am＋an (m，n，p∈N*)．
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[考向预测] 从近三年高考情况来看， 本讲一直是高考的热点．预测 2020 年 高考将会以等差数列的通项公式及其 性质、等差数列的前 n 项和为考查重点， 也可能将等差数列的通项、前 n 项和及 性质综合考查，题型以客观题或解答题 的形式呈现，试题难度一般不大，属中 档题型.
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1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从 □01 第 2 项 起，每一项与它前一 项的 □02 差 等于 □03 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的 □04 公差 ，公差通常用字母 d 表示．数学语言表示 □ 为 05 an＋1－an＝d (n∈N*)，d 为常数．
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(2)在等差数列{an}中，已知 a2＝2，前 7 项和 S7＝56，则公差 d＝( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 B
解析
a1＋d＝2， 由题意可得7a1＋7×2 6d＝56，
即aa11＋＋3dd＝＝28，， 解得ad＝1＝3－. 1，
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(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是
等差数列，公差为 □06 md (k，m∈N*)． □ (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 07 n2d .
(5)Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的
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2．小题热身 (1)(2018·日照模拟)由公差为 d 的等差数列 a1，a2，a3，…组成的新数列 a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．公差为 3d 的等差数列 D．非等差数列 答案 B
解析 由题意得，新数列{an＋an＋3}是公差为 2d 的等差数列，理由：(an ＋1＋an＋4)－(an＋an＋3)＝(an＋1－an)＋(an＋4－an＋3)＝d＋d＝2d.
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5．等差数列Βιβλιοθήκη 前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最
则 Sn 存在最 □02 小 值．
□01 大 值；若 a1<0，d>0，
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1．概念辨析 (1)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an} 一定是等差数列．( √ ) (2) 数 列 {an} 为 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 其 通 项 公 式 为 n 的 一 次 函 数．( × ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an ＋2.( √ )