《复变函数与积分变换A》期末考试题A-A

北 京 交 通 大 学
2008-2009学年第一学期《复变函数与积分变换》期末考试试卷A 学院_______________ 专业_______________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_______________
一．填空题（本题满分16分，每空1分），请将合适的答案填在空中. 1．复数i
i i z 2)
52)(43(-+=
，则=)Re(z _______；=)Im(z _______；=||z _______；
=)arg(z ___________；复数z 的三角表达式为_______________________；
指数表达式为___________________________________________________. 2．=-61_________________________________________.
3．=i i ________________________________________________________. 4. =-)1(Ln ________________________________________________________. 5．函数z arg 在复平面上的连续性为___________________________________.
6．幂级数∑∞
=12
n n n
nz 的收敛半径为_______.
7．映射z e w =将带形域π2)Im(0<<z 映照成___________________________. 8．幂函数3z w =，把角形域6
)arg(0π
<
<z 映照为w 平面的_______________.
9． =]0,[Re 1
z
e s _________________________________________.
10．变换52+=z w 在i z +=1的旋转角为__________，伸缩率为______________.
二．判断下列命题的真假（本题满分10分，每道小题1分），对的填“∨”，错
的填“⨯”.
1．z i k z e e =+π2. ( ) 2．当z 为复数时，1|sin |≤z 仍然成立. ( ) 3．
0=z 是z
z f 1sin 1)(=
的孤立奇点. ( )
4．如果)(0'z f 存在，则)(z f 在0z 解析. ( ) 5．解析函数一定是调和函数，但调和函数不一定是解析函数. ( ) 6．当C 是一条不通过原点的简单闭曲线时，积分⎰
=C
dz z 01
. ( ) 7．每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. ( ) 8．Lnz Lnz 22=. ( ) 9．如果幂级数
∑∞
=-0
)2(n n n
z c
在0=z 收敛，则在3=z 也收敛.
( )
10．映射2z w =在z 平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性. ( )
三．（本题满分6分）讨论函数)Re()(z z z f = 的连续性、可导性、解析性.
四．（本题满分6分） 将函数1
1
+-z z 在10=z 展成泰勒级数，并求出泰勒级数的收敛半径.
五．（本题满分8分）在扩充复平面上找出函数4
4
2)
(sin )2)(1()(z z z z f π--=的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其级数.
六．（本题满分18分）
1．分别沿x y =与2
x y =计算积分⎰++i
dz iy x 220
2
)(（6分）；
2．计算积分⎰
+-C
n dz z z 1
0)(1
，其中C 为包含0z 的任意一条正向简单闭曲线， n 为整数.（6分）
；
3．已知调和函数 y x u )1(2-=，求解析函数iv u z f +=)(，且i f -=)2(. （6分）
七．（本题满分6分）将函数)
2()1(1
)(--=
z z z f 分别在圆环1|1|0<-<z 与
+∞<-<|2|1z 内展成洛朗级数.
八．（本题满分6分）计算dz z z z z ⎰=-+3||3
4215
)2)(1(.
九．（本题满分6分）计算)0(,sin 1
2
2>+⎰a d a θθπ
.
十．（本题满分6分）计算)0,0(,cos 0
22>>+⎰+∞
a m dx x a mx
十一. （本题满分6分）讨论在映射iz w 2=下，以1,1,321=-==z z i z 为顶点的
三角形被映成什么图形.
十二．（本题满分6分）求把右半平面0)Re(>z 映射成单位圆1||<w 的映射.。