2020-2021学年高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(14)双曲线的简单几何性质

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业
（14）双曲线的简单几何性质
1.已知双曲线
22
2=1(0)4x y b b
->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A B C D 、、、四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )
A.22
3=144x y - B.22
4=143x y - C.22
144x y -= D.
22
=1412
x y - 2.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>,若存在过右焦点F 的直线与双曲线 C 相交于
,A B 两点且3AF BF =,则双曲线离心率的最小值为( )
2
3
C.2
D.2
3.已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为( ) 30
7 30
7 D.
5
6
或7 4.设12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
12129
3,4
PF PF b PF PF ab +=⋅=
，则双曲线的离心率为( ) A.
4
3
B.
53
C.9
4
D.3
5.已知00(,)M x y 是双曲线2
2:12
x C y -=上一点，12,F F 是双曲线C 的两个焦点.若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是( )
A.33⎛ ⎝⎭
B.33⎛ ⎝⎭
C.2222⎛ ⎝
⎭
D.2323⎛ ⎝
⎭
6.已知点2F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，P 为双曲线右支上的一点.O 为坐
标原点.若21
()2
OM OP OF =+,2222OF F M =,且22222OF F M a b ⋅=+，则该双曲线的离心率为( ) A.
31
2
+ B.
32
C.3
D.23
7.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是( )
A.2
2
14y x -=
B.2
214
x y -= C.2214
y x -=
D.22
14
x y -=
8.已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>的离心率为2,则C 的渐近线的斜率为( )
A.3
±
B.3±
C.13
±
D.3±
9.已知双曲线2
2
1(0)y x m m
-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于
M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( ) A.1
B.3
C.2
D.3
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点O 为坐标原点,点P 在双曲
线右支上,12PF F △内切圆的圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B ,则OA 与OB 的长度依次为( ) A.,a a
B.22,a a b +
C.3
,22
a a D.,2
a a 11.如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线1C 以,A B 为焦点,且过
,C D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线1C 的离心率为_________.
12.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线
左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率e 的取值范围为__________.
13.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F ,直线1y x =-与其相交于,M N 两点,MN 的中点的横坐标为2
3
-,则此双曲线的标准方程是_________.
14.如果双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>两渐近线的夹角是60︒,则该双曲线的离心率是
__________.
15.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦距为4，且过点(3,-.
1.求双曲线的方程及其渐近线方程；
2.若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为
2b y x =±，圆的方程为224x y +=.不妨设交点A 在第一象限，由22,42b
y x x y =+=得
2
2
,44A A x y b b =
=
++，故四边形ABCD 的面积为2
32424A A b
x y b b
=
=+，解得2
12b =，故所求的双曲线方程为22
1412
x y -
=，故选D 2.答案：C
解析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =, 故直线与双曲线相交只能如图所示的情况, 即A 点在双曲线的左支,B 点在右支,
设()()1122,,,A x y B x y ,右焦点()(),00F c c >, 因为3AF BF =,所以()12212,32c x c x x x c -=--=, 由图可知,12,x a x a ≤-≥, 所以12,33x a x a -≥≥, 故2134x x a -≥, 即24,
2c
c a a
≥≥, 即2e ≥,故选C.
3.答案：C
解析：∵4,,9m 构成等比数列，∴2
36,6m m ==±.当6m =时，圆锥曲线方程为2
216
x y +=，
其离心率为6；当6m =-时，圆锥曲线方程为22
16
x y -
=.故选C 4.答案：B
解析：根据双曲线的定义122PF PF a -=，可得2
2
2112224PF PF PF PF a -+=.由已
知可得2
2
21122
29PF PF PF PF b ++=.两式作差得2212449PF PF a b -=-.又
129
4
PF PF ab =
，所以224990a ab b +-=，即(43)(3)0a b a b -+=，得43a b =.两边平方得2
2
169a b =，即2
2
2
169()a c a =-，即2
2
259a c =，则2225
9
c a =，所以双曲线的离心率
5
3
e =，故选B
5.答案：A
解析：根据双曲线的标准方程，可知12(F F .因为00(,)M x y 在双曲线上，所
以2
20012
x y -=，即22
0022x y =+，所以
120000(,),)MF MF x y x y ⋅=--⋅-220
03x y =-+2031y =-.由20310y -<得
2
01
3
y <
，解得0y <<. 6.答案：A 解析：∵21
()2
OM OP OF =
+,∴M 是2PF 的中点.∵2
2
22OF F M =,∴22OF F M c ==,∴222222222cos()OF F M c OF M a b c ⋅=π-∠=+=，
∴223OF M π
∠=
.∴32c M ⎛ ⎝⎭
.∵2(,0)F c ，M 是2PF 的中点，∴(2)P c .∵点P 在双曲线上，∴2222431c c a b
-=，即222222430b c a c a b --=.∵222
b c a =-，
∴22222222
4()3()0c c a a c a c a ----=，即4224480c a c a -+=，∵c e a
=
，∴424810e e -+=，
解得2
1e =+
或2
1e =(舍)，
∴e ==，故选A 7.答案：C
解析：由题意，选项A,B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A,B ；选项C 表示的双曲线
的渐近线方程为2
204
y x -=，即2y x =±，故选C 8.答案：A
解析：∵双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2,∴2c
a
=,∴224c a =,∴2224a b a +=,
∴
a b =,∴C
的渐近线方程为y x =,∴C
的渐近线的斜率为,故选A. 9.答案：D
解析：
不妨设1212:,:,(l y l y F F ==,所以过点2F 且与渐近线1l 平
行的直线方程为y x ,
由y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
所以
M ,
所以12(1)31
(1,),(22m m F M m F M +=+-=-.因为120F M F M ⋅=,所以3(1)(1)044m m m +-++=,即3(1)()044m
m +-+=,解得3m =或1m =-(舍
去).故选D. 10.答案：A
解析：由题意,可知12(,0),(,0)F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A ,由122PF PF a -=及圆的知识,知122AF AF a -=,设内切圆的圆心Q 的横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=,所以x a =,所以
OA a =.延长2F B 交1PF 于点C ,则2PF C △为等腰三角形,且22,PC PF CB F B ==,在12F CF △中,111
21111
()()22222
OB CF PF PC PF PF a a =
=-=-=⨯=,故选A. 11.1
解析：连接AC ,设,2BAC AB R θ∠==,作CE AB ⊥于点E ,则
22sin ,cos(90)2sin BC R EB BC R θθθ==︒-=,所以224sin CD R R θ=-,梯形的周长
221224sin 24sin 4(sin )52l AB BC CD R R R R R R θθθ=++=++-=--+.当1
sin 2
θ=,即
30θ=︒时,l 有最大值5R ,这
时
,11,,()1),122c
BC R AC a AC BC R e a
==-===.
12.
答案：
解析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b
y x a
=±.由过双曲线的右焦点、且斜率为1的直线
与双曲线左、右两支各有一个交点,得1b
a
>,即22b a >,所以222c a >,
可得e >由过双曲线的
右焦点、且斜率为3的直线与双曲线右支有两个不同的交点,得3b
a
<,即229b a <,所以2210c a <,
可得e <综上,双曲线的离心率e
的取值范围为.
13.答案：22
125
x y -=
解析：由题意,设双曲线的方程为2
2
1(0,0)x y m n m n -=>>,由22
11
x y m n
y x ⎧-
=⎪⎨⎪=-⎩
,得2()20n m x mx m mn -+--=,所以222()3M N m x x n m +=-
=⨯--,解得2
5
m n =.
又2m n +=,所以2,5m n ==,即双曲线的标准方程为22
125
x y -=.
14.
2 解析：易知双曲线的渐近线的斜率是b a ±.又两渐近线的夹角为60︒,则tan 30b a =︒或tan 60b
a
=︒,
即21
13
e -=
或213e -=,又1e >,
所以e =或2e =,
2.
15.答案：1.由题意得22224
9241
a b a b
⎧+=⎪
⎨-=⎪⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩
∴双曲线的方程为2
2
13
y x -=
，其渐近线方程为y =. 2.由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
得22
(3)470k x kx ---=.
由题意得222
30
1628(3)0
k k k ⎧-≠⎨∆=+-=⎩∴27k =，∴k =
当直线l 与双曲线C 的渐近线y =平行，即k =
直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k =k =解析：
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚
的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。