高等数学A(二)船2009-2010(A)

高等数学A(二)船2009-2010(A)
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上 海 海 事 大 学 试 卷
2009 — 2010 学年第二学期期末考试 《 高等数学A （二）(船)》（A 卷）
（本次考试不得使用计算器）
班级 学号 姓名 总分 (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
1、设L 为下半圆周1
2
2
=+y
x
)
0(<y 将曲线积分
⎰+L
ds y x )2(化为定积分的
正确结果是 （ ）
dt t t A )sin 2(cos )(0
+⎰-π
dt t t B )sin 2(cos )(0
+⎰π
dt
t t C )cos 2(sin )(0
+⎰-π
dt
t t D )cos 2(sin )(2
32
+⎰ππ
2、设∑为平面14
32=++z
y x 在第一卦限的部分，则⎰⎰∑
+
+dS y x z )3
4
2(=（ ）
⎰⎰-⋅)21(302043
61
)(x
dy
dx A 、
⎰⎰⋅302043
61
)(dy
dx B 、
⎰⎰-⋅30)13(2043
61
)(dy
dx C y
、
⎰
⎰-)
21(30
2
4)(x
dy
dx D 、
题 目 一 二
三 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分 阅卷人
------------------------------------------------------------------
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3、设f r ()具有二阶连续导函数，而r x y u f r =+=22,()
，
则
∂∂∂∂2222
u x u
y +=
(A) ''f r ()
(B)
''-'f r r
f r ()()1
(C) ''+
'f r r
f r ()()1
(D) r f r 2''()
答（ ）
4、设n ϖ
是曲面6
32222
=++z y x
在点P(1,1,1)处指向内侧的
法向量,
则xyz u =在点P 沿n ϖ
方向的方向导数为（ ）
(A)
14
6
(B)
14
6-
(C) 12 (
D) -12
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
1、级数∑∞
=-1
24)1(n n n x 的收敛半径为
2、微分方程''+=+y y x 164sin()
(αα
为常数）用待定系
数法确定的特解（系数值不必求）形式是
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3、设函数),(y x z z =由方程xy
e z z
=+所确定，则=dz
4、设f x x x x (),,=-<≤---<<⎧
⎨
⎪⎩
⎪02220
ππππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周
期的
正弦级数展开式的和函数，则S 94π⎛⎝ ⎫
⎭
⎪= 三 计算题（必须有解题过程）
（本大题分10小题，共 68分）
1、(本小题7分)
设),(y x f 连续函数，化二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(
为极坐标系下的累次积分(先r )其中D ：x
y x
≤+22
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设xy z ln =，求x
z '。

3、(本小题8分) 求函数z x xy y x y
=-++-3
233612的极大值点或极小值点。

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设有可微函数f x ()>0满足⎰-+=x t x x
t
t f e e x f 0
)
(d )()(22，求f x ()所
满足的微分方程并求解。

5、(本小题5分)
判别级数∑∞
=1
2 sin
n n
的敛散性
6、(本小题5分)
判别级数∑∞
=+
1
1 cos
n n
nπ的敛散性，若收敛，说明其是绝对
收敛还是条件收敛
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7、(本小题8分)
试将函数2
arctan x y =展开为x 的幂级数。

8、(本小题8分)
2
2()()2x
yz dydz y zx dzdx zdxdy
∑
-+-+⎰⎰，22
:1z x y ∑=+被z=0所截
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上侧。

9、(本小题7分)
若对平面上任何简单闭曲线L ，恒有
⎰=-+L
y x x f x x xyf 0}d ])([d )(2{2
，
其中f x ()在(,)-∞+∞内具有连续的一阶导数，且f ()02=，试求f x ()。

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10、(本小题6分) 已知
∑∑+∞
=+++∞=⋅=--=12
112,11)(n n n n n n
n a a a x a x x x f 证明：收敛。