新北师大版九年级数学上册期末考试复习卷含答案解析(1)

一、选择题（共10题）
1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相校于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，若
EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为( )
A．4√7B．2√7C．4D．28
2.若一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1B．m≤1C．m>1D．m<1
3.将正方形ABCD与正方形BEFG如图摆放，点G恰好落在线段AE上．已知AB=√5，AG=
1，连接CE，则CE长为( )
A．√13B．√17−1C．√7+1D．3.5
4.方程x2+4x+4=0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
与y=−kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
5.函数y=k
x
A．B．C．D．
6.如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线
于点E，F，AE=3，则四边形AECF的周长为( )
A．22B．18C．14D．11
7.正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90∘，连接AF交CD于点M，有下列结论：① EC=BP；② AP=
AM；③ ∠BAP=∠GFP；④ AB2+CE2=1
2AF2；⑤ S
正方形ABCD
+S
正方形CGFE
=2S△APF，其中
正确的是( )
A．①②③B．①③④C．①②④⑤D．①③④⑤
8.如图，点E是正方形ABCD外一点，EA=4，EB=3，且∠AEB=45∘，则ED的长为
( )
A．√23B．2√10C．√41D．5√2
9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是( )
①平行四边形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③B．②③C．③④D．②④
10.如图，菱形ABCD的周长为16，∠C=120∘，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为
( )
A．2√2B．2√3C．4D．8
二、填空题（共7题）
的图象分别经过AB的中点11.如图所示，四边形OABC和ADEF均为正方形，反比例函数y=8
x
M及DE的中点N，则正方形ADEF的边长为．
12.方程(x+3)2+7=(2x−1)2化为一般式为，其中二次项系数为，一次项系数为，
常数项为．
13.如图，直线L1，L2，L3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若L1，L2
的距离为1，L2，L3的距离为2，则正方形的边长为．
(k>0)与直线y=x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象14.设双曲线y=k
x
限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时称平移后的两条曲线所围部分
(k>0)的眸径为（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线y=k
x
6时，k的值为．
15.箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰
好为1个黑球和1个红球的概率是．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=6，在AC上取一点D，使AD=4，将线
段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是，在旋转过程中，CF的最大长度是．
17.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点
C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF 上的点H处，有下列结论：
① ∠EBG=45∘；
② △DEF∽△ABG；
③ S△ABG=S△FGH；
④ AG+DF=FG．
其中正确的是（填写正确结论的序号）．
三、解答题（共8题）
18.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，
垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解
题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故EP
BP =PF
PA
=EF
BA
=1
2
，
设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．
(1) 请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
(2) 利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的
交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．
(x<0) 19.如图1，一次函数y=kx−4(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=−12
x 的图象交于点B(−6,b)．
(1) b=；k=．
(2) 点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例
=24，求点函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S
四边形OCBD C的坐标．
(3) 将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△OʹCʹDʹ，若点O的
对应点Oʹ恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点Dʹ的坐标．
20.用适当的方法解下列方程：
(1) (3x−2)(2x+1)−x(3x−2)=0．
=8．
(2) 2(3x+1)2
5
=0．
(3) 2y2−(√7+√5)y+√35
2
(4) 2x(x−2)=x2+5．
(5) (x−3)(x+4)=8．
(6) 4(x+3)2=25(x−2)2．
21.已知：如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且
∠AEC=∠BED=90∘．求证：四边形ABCD是矩形．
22.已知关于x的方程(k+1)x k2+1+(k−3)x−1=0．
(1) 当实数k取何值时，它是一元一次方程？
(2) 当实数k取何值时，它是一元二次方程？
23.如图，正三角形ABC的边长为3+√3．
(1) 如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形
ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EʹFʹPʹNʹ，且使正方形EʹFʹPʹNʹ的面积最大（不要求写作法）；
(2) 求（1）中作出的正方形EʹFʹPʹNʹ的边长；
(3) 如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB
上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值，并说明理由．
24.某公司组织部分员工到一博览会的A，B，C，D，E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘
制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题．
(1) 将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；
(2) 若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，
规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机同时抽出两张牌，若牌面数字和为偶数时，门票给小明，否则给小华．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平？
25.如图，在△ABC中，D为边AB上的点，连接CD，且∠B=∠ACD．
(1) 求证：△ABC∽△ACD．
(2) 若AC=6，AD=4，求AB的长．
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】A
【解析】 ∵E ，F 分别是 AB ，BC 边上的中点，EF =√3， ∴AC =2EF =2√3， ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA =1
2AC =√3，OB =1
2BD =2， ∴AB =√OA 2+OB 2=√7，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4×√7=4√7． 故选：A ．
【知识点】菱形的性质
2. 【答案】D
【解析】 ∵ 方程 x 2−2x +m =0 有两个不相等的实数根， ∴Δ=(−2)2−4m >0，解得 m <1． 【知识点】一元二次方程根的判别式
3. 【答案】A
【解析】如图 1 所示，分别过点 A ，C 作 EB 的垂线，交 EB 的延长线于点 K ，M ， 过点 B 作 BH 垂直 AE ，交 AE 于点 H ，
设 BH =GH =a ，则有 a 2+(1+a )2=(√5)2
，解得 a =1， ∴BG =√2，AE =3， ∴AK =EK =
3√22
，BK =
√22
， ∵∠AKB =∠M =90∘，∠MBC =∠BAK ，BC =AB ， ∴△ABK ≌△BCM (AAS )， ∴CM =
√2
2
，EM =
5√2
2
， ∴CE =√13．
【知识点】正方形的性质
4. 【答案】B
【解析】 ∵Δ=b 2−4ac =16−16=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【知识点】一元二次方程根的判别式
5. 【答案】B
的图象位于第一、三象限，函数y=−kx2+k的图象开口向【解析】当k>0时，函数y=k
x
下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
的图象位于第二、四象限，函数y=−kx2+k的图象开口向上，顶点当k<0时，函数y=k
x
在y轴负半轴上，无选项符合题意．
故选B．
【知识点】k对反比例函数的图象及性质的影响
6. 【答案】A
【解析】易得∠BAE=∠E，
∴BE=AB=4，
∴EC=BE+BC=4+4=8．
∴四边形AECF的周长=2(AE+EC)=2×(3+8)=22．
【知识点】平行四边形的判定、等腰三角形的判定、菱形的性质
7. 【答案】D
【知识点】正方形的性质
8. 【答案】C
【知识点】勾股定理、矩形的判定、正方形的性质
9. 【答案】D
【解析】如图，
点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90∘，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，
∴AC⊥BD．
①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；
②菱形的对角线互相垂直，故②正确；
③对角线相等的四边形的对角线不一定垂直，故③错误；
④对角线互相垂直的四边形，故④正确．
综上所述，正确的结论是②④．
【知识点】菱形的性质
10. 【答案】B
【知识点】菱形的性质
二、填空题（共7题）
11. 【答案】2√5−2
【解析】可设M(2a,a)，则2a2=8，故a=2．
∴M(4,2)．
b)，
设N(4+b,1
2
b(4+b)=8，故b=2√5−2，
∴1
2
即正方形ADEF的边长为2√5−2．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的解析式、正方形的性质12. 【答案】−3x2+10x+15=0；−3；10；15
【知识点】一元二次方程的概念
13. 【答案】√5
【解析】如图，过D作EF⊥L2于D，交L1于E，交L2于F，
因为L1∥L2∥L3，
所以EF⊥L1，EF⊥L3，
所以由同角的余角相等得，∠CDF=∠DAE，
又因为AD=CD，∠AED=∠CFD=90∘，
所以△AED≌△DFC(AAS)，
所以ED=CF=1，AE=DF=2，
所以AD=√AE2+ED2=√22+12=√5．
【知识点】正方形的性质
14. 【答案】3
2
【解析】由题意得，P(−3√2
2,3√2
2
)．
∵A，B点是y=k
x
(k>0)与y=x的交点，∴A(−√k,−√k)，B(√k,√k)，
∴点P在第一象限的对应点为Pʹ(−3√2
2+2√k,3√2
2
+2√k)，
将Pʹ坐标代入y=k
x (k>0)得(−3√2
2
+2√k)(3√2
2
+2√k)=k，
解得k=3
2
．
【知识点】反比例函数的解析式
15. 【答案】2
3
【知识点】树状图法求概率
16. 【答案】√26；√10+2
【解析】当点P旋转至CA的延长线上时，如图1．
∵在直角△BCP中，∠BCP=90∘，CP=AC+AP=6+4=10，BC=2，∴BP=√CP2+BC2=√102+22=2√26，
∵BP的中点是F，
BP=√26．
∴CF=1
2
取AB的中点M，连接MF和CM，如图2．
∵在直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=2，
∴AB=√AC2+BC2=2√10．
∵M为AB中点，
AB=√10，
∴CM=1
2
∵将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，∴AP=AD=4，
∵M为AB中点，F为BP中点，
AP=2．
∴FM=1
2
当且仅当M，F，C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=√10+2．
【知识点】旋转及其性质、直角三角形斜边的中线
17. 【答案】①④
【解析】∵根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC=90∘，
×90∘=45∘，
∴∠EBG=1
2
∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=10，∠A=∠C=∠D=90∘，
∴根据折叠得∠BFE=∠C=90∘，
∴∠ABG+∠BGA=90∘，∠EFD+∠BFA=90∘，
∵∠BGA>∠BFA，
∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB=∠A=90∘，∠EFB=∠C=90∘，
∴∠GHB=∠EFB，
∴GH∥EF，
∴∠EFD=∠HGF，
根据已知不能推出∠AGB=∠HGF，
∴∠AGB≠∠EFD，即△DEF和△ABG不全等，
∴②错误；
∵根据折叠得：AB=BH=6，BC=BF=10，
∴由勾股定理得：AF=√102−62=8，
∴DF=10−8=2，HF=10−6=4，
设AG=HG=x，
在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2=GF2，
即x2+42=(8−x)2，解得：x=3，即AG=HG=3，
∴S△ABG=1
2×AB×AG=1
2
×6×3=9，
S△FHG=1
2×GH×HF=1
2
×3×4=6，
∴③错误；
∵AG+DF=3+2=5，GF=10−3−2=5，∴④正确．
【知识点】轴对称的性质、矩形的性质
三、解答题（共8题）
18. 【答案】
(1) 设PF=m，PE=n，连接EF，如图1，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，AE=1
2b，BF=1
2
a，
∴EF∥AB，EF=1
2
c，∴△EFP∽△BPA，
∴，EP
BP =PF
PA
=EF
BA
=1
2
，即n
PB
=m
PA
=1
2
．
∴PB=2n，PA=2m，
在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，
∴n2+4m2=1
4
b2①，
在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，
∴m2+4n2=1
4
a2②，
① +②得5(n2+m2)=1
4
(a2+b2)，在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，
∴n2+m2=EF2=1
4
c2，
∴5⋅1
4c2=1
4
(a2+b2)，
∴a2+b2=5c2．
(2) ∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴AG
BC =AE
CE
=1
3
，
∴AG=1，
同理可得DH=1，∴GH=1，
∴GH∥BC，
∴MG
MB =MH
MC
=GH
BC
=1
3
，
∴MB=3GM，MC=3MH，
∴9MG2+9MH2=45，
∴MG2+MH2=5.
【知识点】三角形的中位线、勾股定理、基本定理、菱形的性质
19. 【答案】
(1) 2；−1
(2) ∵点C是线段AB上一点，
∴设点C(m,−m−4)(−6<m<0)，则点D(m,−12
m
)，
∴CD=−12
m −(m−4)=4+m−12
m
，
∵S
四边形OCBD
=24，
∴1
2⋅CD⋅∣x B∣=24，即1
2
×(4+m−12
m
)×6=24，
m−12
m
=4，
m2−4m−12=0，(m−6)(m+2)=0，m1=6，m2=−2．∵m<0，
∴m=−2，
∴点C(−2,−8)．(3) ∵m=−2，
∴点D(−2,6)，
由平移可知 OOʹ∥AB ，
∴ 直线 OOʹ 的解析式为 y =−x ，由 {y =−x,
y =−12x
,
解得 {
x =2√3(舍),y =2√3
或 {x =−2√3,
y =2√3.
∴Oʹ(−2√3,2√3)，
∵ 把 Oʹ 向左平移 2 个单位，向上平移 6 个单位得到 Dʹ， ∴Dʹ(−2√3−2,2√3+6)． 【解析】
(1) 把点 B (−6,b ) 代入 y =−12
x 中，b =−
12−6
=2，
∴ 点 B (−6,2)，将 (−6,2) 代入 y =kx −4，2=−6k −4，解得 k =−1， ∴b =2，k =−1．
【知识点】反比例函数与四边形综合、反比例函数与方程、不等式、反比例函数图像上的点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征
20. 【答案】
(1) x 1=2
3，x 2=−1． (2) x 1=2√5−1
3，x 2=
−2√5−1
3
． (3) y 1=
√5
2，y 2=
√7
2
． (4) x 1=5，x 2=−1． (5) x 1=−5，x 2=4． (6) x 1=
163
，x 2=47
．
【知识点】因式分解法、直接开平方法
21. 【答案】连接 EO ，
∵O 是 AC ，BD 的中点， ∴AO =CO ，BO =DO ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠AEC =∠BED =90∘，O 为 BD ，AC 的中点， ∴EO =1
2BD ，EO =1
2AC ， ∴AC =BD ，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
【知识点】直角三角形斜边的中线、矩形的判定
22. 【答案】
(1) 当 k =−1 或 k =0 时，该方程是一元一次方程． (2) 当 k =1 时，该方程是一元二次方程．
【知识点】一元一次方程的概念、一元二次方程的概念
23. 【答案】
(1) 如图①，四边形 EʹFʹPʹNʹ 为所求作图形． (2) 设正方形 EʹFʹPʹNʹ 的边长为 x ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AEʹ=BFʹ=
√3
3
x ， 又 ∵AEʹ+EʹFʹ+BFʹ=AB ，√3
3x +x +√3
3
x =3+√3，
∴x =3√3−3．
(3) 设正方形 DEMN ，正方形 EFPH 的边长分别为 m ，n (m ≥n )，它们的面积和为 S ，则 S =m 2+n 2． 又 AD =√
3
，BF =√3
，且 AD +DE +EF +BF =AB ，
∴
√
3
+m √3
n =3+√3，
∴m +n =3，
∴S =m 2+(3−m )2=2(m −32)2
+9
2，
∵m ≥n ， ∴m ≥3
2，
由（2）可知 m ≤3√3−3，
∴ 当 m =3√3−3 时，S max =2(3√3−3−32)2
+9
2=99−54√3．
【知识点】作图--位似变换、位似图形的性质应用、二次函数的最值、正方形的性质
24. 【答案】
(1) 门票的总数量为 20÷10%=200（张）， ∴B 馆门票为 200×20%=50（张），
C 馆门票数量所占百分比为 30
200×100%=15%， 补全图形如下： (2) 画树状图或列表：12341
345
2
35
634574
5
6
7
共有 12 种可能，其中和为偶数的有 4 种结果，和为奇
数的有8种结果，
∴小明获得门票的概率为4
12=1
3
，
小华获得门票的概率为8
12=2
3
，
∵1
3≠2
3
，
∴这个规则对双方不公．
【知识点】列表法求概率、扇形统计图、条形统计图
25. 【答案】
(1) ∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
(2) ∵△ABC∽△ACD，
∴AC
AB =AD
AC
，
∴AB=AC⋅AC
AD =6×6
4
=9．
【知识点】两角分别相等、对应边成比例。