2011年西安电子科技大学自主招生试题数学题

1.填空（24分）
（1）某人给5位朋友分别写信，若将这5封不同的信件随机地装入已
写好朋友姓名的5个信封．请问恰好装错1个信封的概率是 .
（2）给定一个矩形，从中裁掉一个最大的正方形，若剩下的矩形与原
矩形相似，则原矩形的宽与长之比是 . （3）如图所示，已知圆的外切正方形的面积是2平方单位，
问这个圆的内接正方形的面积是 .
（4）用9根火柴连接成7
（不折断火柴），示意图为 .
2.（10分）某年级有369名学生，能否肯定至少有两名学生的生日相同？为什么？每23名学生中，至少有两名学生生日相同的概率是多少？
3.（11分）在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由.
4.（11分）
设
111,2,,
n a a n +=== 试问数
列
{}n a 是否单调？是否有界？是否有极限？证明自己的结论.
（3）题图
5. (11分)早晨8点多钟有两辆班车先后离开老校区开往新校区．两辆车的速度都是每小时60公里。

8点32分的时候，第一辆班车离开老校区的距离是第二辆班车的3倍，到了8点39分的时候，第一辆班车离开老校区的距离是第二辆班车的2倍．那么，第一辆班车是8点几分离开老校区的？
6. （11分）在棱长为8公分的正四面体上，能否打出一个圆洞，使得直径为5 公分的圆柱能够顺利穿过？若认为不能，请说明理由，若认为可以，请写出打洞方法（指出圆洞的中心轴线位置）和可行性论证.
7．（11分）甲班的A,B,C,D 四人与乙班的a,b,c,d 四人进行象棋比赛．每班参赛的每一个人都要与另一班参赛的每一个人各赛一场且只赛一场，４天赛完，恰好每人每天都有一场比赛．比赛日程表（表1）中已经排好了一些场次，另一些场次中甲班的A,B,C,D 已经排出，请你把尚未排好的场次中的129,,,x x x 填成乙班的a,b,c,d ，
并说明
你填写时的推理过程．
表1
8．（11分）某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组．甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子．现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），问7天中这四个小组最多能缝制多少套衣服？。