数字信号处理_实验报告__实验二_应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析

数字信号处理_实验报告__实验⼆_应⽤快速傅⽴叶变换对信号进⾏频谱分析
数字信号处理
实验报告
实验⼆应⽤快速傅⽴叶变换对信号进⾏频谱分析
2011年12⽉7⽇
⼀、实验⽬的
1、通过本实验，进⼀步加深对DFT 算法原理合基本性质的理解，熟悉FFT 算法原理和FFT ⼦程序的应⽤。

2、掌握应⽤FFT 对信号进⾏频谱分析的⽅法。

3、通过本实验进⼀步掌握频域采样定理。

4、了解应⽤FFT 进⾏信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应⽤FFT 。

⼆、实验原理与⽅法
1、⼀个连续时间信号)(t x a 的频谱可以⽤它的傅⽴叶变换表⽰
()()j t a a X j x t e dt +∞-Ω-∞
Ω=?
2、对信号进⾏理想采样，得到采样序列
()()a x n x nT =
3、以T 为采样周期，对)(n x 进⾏Z 变换
()()n X z x n z +∞
--∞
=∑
4、当ω
j e
z =时，得到序列傅⽴叶变换SFT
()()j j n X e x n e ω
ω+∞
--∞
=∑
5、ω为数字⾓频率
s
T F ωΩ=Ω=
6、已经知道：
12()[()]j a m X e X j T T T
ωπ
+∞-∞=-
∑ ( 2-6 ) 7、序列的频谱是原模拟信号的周期延拓，即可以通过分析序列的频谱，得到相
应连续信号的频谱。

（信号为有限带宽，采样满⾜Nyquist 定理）
8、⽆线长序列可以⽤有限长序列来逼近，对于有限长序列可以使⽤离散傅⽴叶变换（DFT ）。

可以很好的反映序列的频域特性，且易于快速算法在计算机上实现。

当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅⾥叶变换为：
1
()[()]()N kn N n X k DFT x n x n W -===∑
其中2j
N
N W e
π-=，它的反变换定义为：
1
1
()[()]()N kn N
k x n IDFT X k X k W
N
--===
∑
⽐较Z 变换式 ( 2-3 ) 和DFT 式 ( 2-7 )，令k
N z W -=则
1
()
()[()]|
k
N
N nk
N N Z W X z x n W DFT x n ---====∑ 因此有()()
|
k
N
z W X k X z -==
k
N W -是Z 平⾯单位圆上幅⾓为2k
的点，也即是将单位圆N 等分后的第k 点。

所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上等距采样，或者说是序列傅⾥叶变
换的等距采样。

9、DFT 是对序列傅⾥叶变换的等距采样，因此可以⽤于序列的频谱分析。

在运⽤DFT 进⾏频谱分析的过程中有可能产⽣三种误差，这⾥给出三种误差的定性讨论。

三种误差：混叠现象、泄露现象、栅栏效应
1) 混叠现象
( 2-6 )式说明序列的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，周期为2T
π。

因此当采样频率1
s F T
=
⼩于两倍信号（这⾥指是信号）最⼤频率时，经过采样就会发⽣频谱混叠，这使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。

所以在利⽤DFT 分析连续信号的频谱时，必须注意这⼀问题。

避免混叠现象的唯⼀⽅法是保证采样速率⾜够⾼，使频谱交叠现象不致出现。

也就是说，在确定采样频率之前，必须对信号的性质有所了解，⼀般在采样前，信号通过⼀个防混叠低通滤波器。

2) 泄漏现象
实际中的信号序列往往很长，为了⽅便我们往往⽤截短的序列来近似它们，这样可以使⽤较短的DFT 来对信号进⾏频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以⼀个矩形窗函数。

泄漏是不能与混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩散，从⽽造成混叠，为了减⼩泄漏的影响，可以选择适当的窗函数，是频谱的扩散减到最⼩。

3) 栅栏效应
因为DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以他不可能将频谱视为⼀个连续函数。

这样就产⽣了栅栏效应，就⼀定意义上看，DFT 来观看频谱就好像通过⼀个尖桩的栅栏来观看⼀个图景⼀样，只能在离散点上看到真实频谱，这样就可能发⽣⼀些频谱的峰点或⾕点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

减⼩栅栏效应的⼀个⽅法就是借助在原序列的末端添补⼀些零值，从⽽变动DFT 的点数。

这⼀⽅法实际上是⼈为地改变了对真实谱采样的点数和位置，相当于搬动了每⼀根“尖桩栅栏”的位置，从⽽使得频谱的峰点或者⾕点暴露出来。

当然，这是每根谱线所对应的频率和原来的不同了。

综上所述，DFT 可以⽤于信号的频谱分析，但必须注意可能产⽣的误差，在应⽤过程中要尽可能减少和消除这些误差的影响。

快速傅⾥叶变换FFT 是为了减少DFT 运算次数的⼀种算法，常⽤的FFT 是以2为基数的，其长度2M N =，它的效率⾼，程序简单，使⽤也⼗分⽅便，当要变换的序列长度不等于2的正整数次⽅时，可以⽤末尾补零的⽅法，使其长度延长到2的整数次⽅。

三、实验内容及步骤
1）观察⾼斯序列的时域及幅频特性
⾼斯序列为：
-≤≤--=else
N n q
p n n x a 01
0/)(exp[)(2
观察时域特性及幅频特性（FFT 点数>=256）当q 取不同值时，对信号时域及频域特性的影响。

q=2 FFT
q=10 FFT
q=30 FFT
时域：q取值的增⼤，信号波形变宽，变矮，在最⼤值处过度变的平缓。

频域：信号的频谱向低频靠近。

⽅差q=2 时，信号变化相对快，⾼频分量⼤。

⽅差q=30时，信号变化相对慢，低频分量⼤。

因为随着q取值的增⼤，⾼斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从⽽低频分量增加，⾼频分量减少。

●固定信号中的参数q=10、N=32.
p=25、30、32
观察p变换对信号时域及频域特性的影响（注意：p等于多少时，会发⽣较为明显的泄露现象，混叠是否也随之出现？）
p=25 FFT
p=30 FFT
p=32 FFT
时域：p取值的增⼤，信号波形逐渐向右平移。

频域：信号的频谱中⾼频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。

当p=32时，能⼒泄漏⾄旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。

随着p值增⼤，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产⽣⾼频分量增多，⽽造成频谱泄漏与混叠。

2）观察正弦序列
截断正弦序列为：
-≤≤=else
N n fn n x b 0
1
0)
2sin()(π
（1）f =0.0625,N=32,FFT 点数=32
检查谱峰出现位置是否正确？谱峰的形状如何？
当FFT 点数为32时，频谱为单线谱，只在谱峰处有值，其他位置都为0。

（2）f =0.0625,N=32,FFT 点数=512 谱的形状如何？
⽤频域采样定理分析该现象并分别绘出其幅频特性曲线。

FFT 点数为512时除谱峰以外，其他位置也有值。

出现这种现象是由于栅栏效应引起的，导致采样时只采到谱峰与零值点。

利
⽤频谱估计频率时，N
m
f =，m 为谱峰的位置，估计值与实际值⼀致，所以谱峰
的位置正确。

（3）f=0.265625 N=32、64 FFT 点数=32、64
观察幅频特性曲线，何时从幅频特性曲线上可以观测到原正弦信号的模拟频率？
N=32
时域波形 FFT 点数=32 FFT 点数=64
N=64
时域波形 FFT 点数=32 FFT 点数=64
N=FFT 点数=32、64时没有出现单线谱 N=FFT 点数=64的时候出现单线谱
因为当点数为32时，FFT 对频域采样点没有采到谱峰位置，⽽有⼀定的相位差，其他点采到了各个旁瓣的峰值。

⽽当点数为64点时，正好采样采到谱峰
和旁瓣的零点。

要使频谱正好采到谱峰，满⾜
N
k Fs f =。

此处，64
17
265625.0==f ，所以64点FFT 可以采到谱峰，⽽32点FFT 不
可以。

（4）f =0.245 N=256
观察时域曲线（注意由于采样引起的假调制现象）
通过选择FFT 点数，是否能使该信号频谱出现单线谱？
时域波形
（5）f=1.96kHz 采样频率Fs=8kHz N=256 此时频谱分辨率是多少?
通过FFT 离散谱观察到的的信号模拟频率与实际频率相差多少？
1、当f=0.245时，正弦序列的时域波形发⽣了假调制现象，这是因为时域点数
为)2,1,0m 2m =（，⽽只有当为整数）k m k
f m ,(2
=时，对正弦函数的采样才能在
每个周期内采到最⼤值点，从⽽出现等幅波。

⽽当245.0=f 时不能写成这种⽅式，造成在⼀个周期内采样时与最⼤值点有⼀定的相位差，由于相位的累积，从⽽造成每个周期内采样最⼤值的周期性变化，从整体上看即呈现出假调制现象。

在这种情况下，由于FFT 点数为)2,1,0m 2m
=（，因此⽆法使频谱出现单载波。

2、●当利⽤64点的FFT 估计频率时，
频谱分辨率为kHz N Fs F 125.064
8===
实际信号频率为
=?=='==?=?=kHz k N F f N f k s 216648
1668.1564245.0 误差为 kHz f f 04.0=-'=δ
●当利⽤256点的FFT 估计频率时：
频谱分辨率为kHz N Fs F 03125.0256
8===
实际信号频率为
=?=='==?=?=kHz k N F f N f k s 96875.1632568
6372.62256245.0 误差为 kHz f f 00875.0=-'=δ。

●当利⽤512点的FFT 估计频率时：频谱分辨率为kHz N Fs F 015625.0512 8
===
实际信号频率为
=?=='==?=?=kHz k N F f N f k s 96875.11265128
12644.125512245.0 误差为 kHz f f 00875.0=-'=δ。

结论：
（1）FFT 的点数越多，信号的频谱分辨率越⾼，利⽤频谱估计得到的信号频率与实际的误差越⼩。

（2）且在增加FFT 点数到512时，频谱分辨率增加，但是实际信号频率与模拟频率误差相等，说明已达取该FFT 点数范围内的最⼤精度。

3）观察衰减正弦序列
衰减正弦序列为：
N n fn e n x n c 0
1
0)
2sin()(πα
令1.0=α f=0.21875、0.4375、0.5625 N=32 FFT 点数=32、256
观察在不同的f 取值情况下，谱峰出现的位置、形状，有⽆频谱混叠和泄漏现象发⽣，并分析产⽣现象的原因。

f=0.21875
时域波形 FFT 点数32 FFT 点数64
f=0.4375
时域波形FFT点数32 FFT点数64
f=0.5625
时域波形FFT点数32 FFT点数64 满⾜Nyquist定理时
s
F
f
f0
=
2f
F
s
≥，即5.0
≤
f
f=0.5625时不满⾜Nyquist定理。

随着f的增⼤，频谱的谱峰逐渐向右平移，两谱峰逐渐向中间靠拢。

因为0625
4375
.0-
=，0625
.0
5.0
5625
.0+
=，
f=0.4375和f=0.5625频谱图关于π
ω=对称
造成观察到的频谱完全相同，但实际上表⽰的意义却不相同。

f=0.4375时的谱峰位于n=113处，
f=0.5625时的谱峰位于n=143处。

由于存在泄漏现象，出现了⾼频分量，虽然在f=0.4375时满⾜Nyquist定理，但实际上已发⽣了频谱混叠。

4）观察三⾓波序列和反三⾓波序列
三⾓波序列为：
≤
≤
-
≤
≤
+
=
else
n
n
n
n
d
7
4
8
3
1
)
(
反三⾓波序列为：
≤≤-≤≤-=else
n n n n n x d 0743
304)(
取FFT 点数=8、256
分析三⾓序列和反三⾓序列的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱的异同点，及对于不同点数FFT 幅频特性曲线的变化。

三⾓序列
时域波形 FFT 点数8 FFT 点数256
反三⾓序列
时域波形 FFT 点数8 FFT 点数256
FFT 点数=8，虽然两者的时域波形不同，但是频域波形却相同，因为⼆者满⾜循环移位关系，即)())4(()(88n R n x n x d e -=，从⽽)()(k X k X e d =，这种现象是栅栏效应引起的。

FFT 点数=256，对两序列后续补零，导致⼆者不再满⾜循环移位关系，
)()(k X k X e d ≠，所以频谱不相同。

四、实验总结与分析
（1）利⽤FFT来估计模拟信号的频率，FFT的点数越多，信号的频谱分辨率越⾼，利⽤频谱估计得到的信号频率与实际的误差越⼩。

要想提⾼估计精度，应当使FFT点数在允许的范围内尽可能的⼤。

（2）当信号发⽣截断效应时，会产⽣⾼频分量，这种情况下会出现频谱混叠和频谱泄漏现象，截断效应越明显，泄漏越⼤。

（4）由于栅栏效应使得有些不同的信号的频谱图相同，这种情况可以通过增加FFT点数来判断。

（5）在正弦信号f=0.245 N=256时，观察时域曲线，会产⽣由采样引起的假调制。

（6）⽅差q=2 时，信号变化相对快，⾼频分量⼤。

⽅差q=30时，信号变化相对慢，低频分量⼤。

因为随着q取值的增⼤，⾼斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从⽽低频分量增加，⾼频分量减少。

（7）随着p值增⼤，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产⽣⾼频分量增多，⽽造成频谱泄漏与混叠。