3.3.随机误差的正态分布

例1 经过无数次测定并在消除了系统误差的情况下， 测 得 某 钢 样 中 磷 的 质 量 分 数 为 0.099% 。 已 知 σ=0.002%，问测定值落在区间0.095%-0.103%的概 率是多少？ x 解：根据得 u
0.103 0.099 u1 2 0.002
0.095 0.099 u2 2 0.002


2
2
e
u2 2
du 0.955
概率=面积=
1 2

u
0
e
u2 2
du
u
x

|u| 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
表3-1 正态分布概率积分表 面积 |u| 面积 |u| 面积 0.0000 1.1 0.3643 2.2 0.4821 0.0398 1.2 0.3849 2.2 0.4861 0.0793 1.3 0.4032 2.3 0.4893 0.1179 1.4 0.4192 2.4 0.4918 0.1554 1.5 0.4332 2.5 0.4938 0.1915 1.6 0.4452 2.58 0.4951 0.2258 1.7 0.4554 2.6 0.4953 0.2580 1.8 0.4641 2.7 0.4965 0.2881 1.9 0.4713 2.8 0.4974 0.3159 1.96 0.4950 3.0 0.4987 0.3413 2.0 0.4773 ∞ 0.5000
du 1
欲求测定值或随机误差在某区间出现 的概率 P，可取不同的 u值对上式积分求面 积而得到。 例如随机误差在±σ 区间（ u=±1 ）， （ u=±2 ）即测定值在 μ±σ 区间出现的概 率是：
P(1 u 1) 1 2

1
1
e
u2 2
du 0.683
1 P(2 u 2) 2
1.60 1.59 1.65 1.70 1.53 1.49 1.66 1.60 1.60 1.67 1.64 1.70 1.63 1.56 1.56 1.63 1.63 1.64 1.67 1.74 1.63 1.67 1.58 1.57 1.54 1.62 1.65 1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59 1.58 1.64 1.70 1.70 1.58 1.61 1.64 1.65 1.58 1.64 1.61 1.65 1.63 1.59 1.61 1.64 1.61 1.59 1.67 1.65 1.68 1.57 1.61 1.50 1.64 1.64 1.60 1.62 1.69 1.66 1.59 1.62 1.53 1.62 1.63 1.67 1.57 1.64 1.69 1.62 1.55 1.53 1.62 1.54 1.68 1.60 1.63 1.70 1.60 1.52 1.59 1.65 1.61 1.69
标准正态分布曲线标准正态分布曲线000010020030040321683955997四四随机误差的区间概率随机误差的区间概率正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积就等于概率密度函数从至的积分值
3-3 随机误差的正态分布
一、 频率分布
在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%） 进行重复测定，得到90个测定值如下：
u|=2，由表3-1查得相应的概率为0.4773，则 P（0.095%≤x≤0.103%）=0.4773×2=0.955
例2 对烧结矿样进行 150次全铁含量分析， 已知结果符合正态分布（ 0.4695,0.00202 ）。 求大于0.4735的测定值可能出现的次数。
解：
u
x

0.4735 0.4695 2 0.0020
查表，P=0.4773，故在150次测定中大于 0.4735的测定值出现的概率为： 0.5000-0.4773=0.0227 150×0.0227≈3
例题：
一样品，标准值为1.75%，测得 = 0.10, 求结果落在（1） 1.750.15% 概率；（2）测量值大于2 %的概率。
（1）解：
u
表 3-1 中列出的面积对应于图中的阴影部 分。若区间为±|u|值,则应将所查得的值乘以 2。例如： 随机误差出 现的区间 u=±1 u=±2 u=±3 测定值出 现的区间 x=μ±σ x=μ±2σ x=μ±3σ
概率
0.3413×2=0.6826 0.4773×2=0.9546 0.4987×2=0.9974
三、标准正态分布
令:
u
x
1 y f ( x) e 2
( x )2 2 2

u2 . 2
则：
由于
1 y f ( x) e 2 dx du
故
1 f ( x)dx e 2
u2 2
du (u )du
u2 2
y (u )
1 e 2
经过上述变换，总体平均值为 μ的任一正 态分布均可化为 μ=0 ， σ2=1 的标准正态分布， 以 N （ 0 ， 1 ）表示。标准正态分布曲线如图 3-5所示，曲线的形状与μ和σ的大小无关。
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -3 -2 -1 0 68.3% 95.5% 99.7% 1 2
分析数据的统计处理
1.计算极差： R=1.74% - 1.49%=0.25% 2.确定数据分组数量：90个数据分成9组； 3.计算组距： 0.25% ÷ 9 = 0.03%
4.确定数据区间: 例如，
1.485 ~ 1.515, 1.515 ~ 1.545, 1.545 ~ 1.575等；
5.统计测定值落在每组内的个数（频数）; 6.计算出数据出现在各组内的频率（相对频数）; 7.绘制频率分布直方图。
x

0.15 1.5 0.10
P
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00
查表：u=1.5 时，概率为：2 0.4332 = 0.866 = 86.6 % （2）解：
2 1.75 u 2.5 0.10
y
86.6%
查表：u >2.5 时，概率为：
0.5 – 0.4938 = 0.0062 =0.62% a 显著性水平
P 置信度
½ a
-3 -2 -1 0 1 2
½ a
3
P+ a = 1
u
0.62%
图3-3 频率分布的直方图
二、正态分布 正态分布，又称高斯分布，它的数 学表达式即正态分布函数式为：
1 y f ( x) e 2
( x ) 2
2
2
图3-4 正态分布曲线 （μ相同，σ2>σ1）
μ 和 σ 值确定了正态分布曲线的位置和形 状，这种正态分布用N（μ，σ2）表示。 正态分布曲线具有以下特点： 1.对称性 绝对值大小相等的正负误差出 现的概率相等。 2.单峰性 峰形曲线最高点对应的横坐标 x-μ值等于0，表明随机误差为0的测定值出现 的概率密度最大。 3.有界性 一般认为，误差大于 3 的测 定值并非是由随机误差所引起的。
y
u
3
图3-5 标准正态分布曲线
四、随机误差的区间概率 正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积， 就等于概率密度函数从 -∞ 至 +∞ 的积分值。它表 示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上述 区间出现概率的总和为100%，即为1。
1 ( u ) du 2




e
u2 2
分组（%）
1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755 ∑
频数
2 6 6 17 22 20 10 6 1 90
频率
0.022 0.067 0.067 0.189 0.244 0.222 0.111 0.067 0.011 1.00