线性代数技巧窍门分析

行列式
主要有以下3种： ①具体行列式的计算 ②抽象型行列式的的计算 ③行列式值的判定
1）一般的行列式常用变换技巧 把每一行（列）都加到第一行（列）
3
4753445
3542333322212223
212
)(---------------=
x x x x
x x x x x x x x x x x x x f
把第一行（列）的k 倍加到其他行（列）上
x
x
x x x x a a a x a ---+0
00004321
把第一行（列）的k 倍加到第二行（列）上，再将新的第二行（列）加到第三行（列）上，依次进行此项操作......
x
a x a x a a 0
10010014
321---
2）爪形行列式
通过将中间的那个爪子上的数字乘以相应的倍数然后加到某一边的爪子上以实现到上下三角行列式的变化
4
001030100211111
3)直接展开型（公式法）
如何判断是按行展开还是按列展开呢？ 答：按两头不为零中间都是零的格式展开。

1
10000010000100001121Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λn
n a a a a -
4）三对角线行列式 数学归纳法(主要就是降阶)
410034100
3410
034 =
41
034
100341300
034 = 4
1
031340
000
341300034 =
40
1210
3134000034130
0034 =
12140
12113404134=⨯⨯⨯
如果上面各步反过来就可以将分数约去
5）证明
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a A 2121212122222O O O ，证n a n A )1(+=
行列式的值：n
n a n D )1(+=
证明方法：数学归纳法 第一归纳法：
1>验证n=1时命题正确 2>设n=k 时命题正确 3>证明n=k+1时命题也正确
第二归纳法：
1>验证n=1和n=2时命题都正确 2>设n<k 时命题正确 3>证明n=k 时命题正确
321-=-n n f f
这个n 阶命题只和一个低阶命题有关，那么只需要一个归纳假设，此时选择归纳法1
75321++=--n n n f f f
对于这种情况，通过观察我们可以发现fn 不仅与其n-1阶命题有关，还与n-2阶命题有关，那么在这里我们则要使用归纳法2
6）特征值的求解
3
1
1
1
5
1113
-----λλλ = 0，则λ=
解：
31
1
1
5
1113
-----λλλ =
31
1
1
5
1202
-----λλλλ =
4
1
1
2
5
1002
----λλλ
然后按行展开即可得λ。

首先通过观察（主对角线上的数不看）可以发现，剩下的几个数可以通过变换变成0，关于如何去变换，这个需要自己去验证，一般试个几次就出来了，目的很简单：通过变换让一行（列）出现两个0即可。

111111
--+----λλλa
a
a
= 0,则λ=
1
1
111
1
--+----λλλa
a
a = 11
1
11
01
--+-----λλλλa
a
a a =
1
1
2
1001
-+-+---a a
a
a λλλ =
1
1
2
)
1(-++--a a
a λλλ
在这里，我们可以发现，最后的式子比较复杂，直接计算有可能会出现错误，那么我们不妨将λ+a 进行变量代换，这样，既保证了计算的正确性，又节省了时间，当然，别忘了换回去。

7）求抽象行列式的值
关键：记住并会灵活的运用各种公式 下面是两个比较重要的公式：
332211321a a a ++=++λλλ 321λλλ=A
“主对角线元素之和等于特征值之和” “特征值之积等于行列式的值”
8）抽象型行列式的计算
B A +没有运算法则；E 的恒等变形意思就是通过增添E （可以是一个矩阵与这个矩阵的逆
矩阵的乘积）使得里面的形式发生变化（进行结合之类的），使得计算可以进行下去 举几个例子：
A-3阶，|A|=4，则*
12)5
1
(A A -- = 由1111
5)5
1
(1)
(----=⇒=
A A A k kA 由1
*
*-=⇒=A A A E A AA
4
27)3(852)51(1311*1-=-=-=-----A A A A A A ，B 为3阶，|A|=3，|B|=2，21=+-B A ，则=+-1B A
=+-1B A )()(1111A A B A B B E B EA ----+=+A A B B A A B B 1111)(----+=+=
最后代数，结束。

9)下面这种情况，有两种套路 一：行列式的性质 二：相似
首先是行列式的性质：
例：A-3阶，
3321-ααα维无关，3112ααα+=A ，3222ααα+=A ，321322αααα-+=A ，则=A
)
22,2,2(),,(3213231321αααααααααα-+++=A
3
2133231332313213231321,,9,2,299,2,222,2,2,,ααααααααααααααααααααααα-=++-=-++=-+++=A
这是利用相似来做（此方法很重要！）
)22,2,2(),,(3213231321αααααααααα-+++=A
()⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=122210201,,321ααα
==P PB AP ,()321,,ααα可逆B AP P =⇒-1
所以=-==12221
2
1B A 9- 另外，由于此题的特殊性，还可以用特征值的方法来做：
)(3)(321321αααααα++=++A
2121)(αααα-=-A
)
2(3633)2(321321321ααααααααα-+-=+--=-+A 因为321,,ααα无关，所以321ααα++02,0,032121≠-+≠-≠ααααα 再利用特征值之积为行列式的值即可算出
A α=λα（特征值定义）对比上式，可得|A|=3×1×（-3）=-9
10）A-3阶，E-3阶单位矩阵，如A ，A-2E ，3A+2E 均不可逆，则|A+E|= 分析：由上面已知三个矩阵均不可逆可得对应的三个行列式都为0. 特征值法：
1
3
1
313
1,
3,1:32,2,0:03
2
)3()
32
(32300
23,02,03=⋅⋅=+∴+-
=---=---=+⇒=-=+=-=E A E A A A
E A E E A A E E A E A A λλ
剩下两个同理
11）证|A|=0 AX=0有非0解
反证法 （由1
-A 找矛盾） r(A)<n
0是特征值（∏=i
A λ）
|A| = -|A|
第一条：克拉默法则的运用
第二条：假设|A|不等于0，那么A 是可逆的，用
A
1
-去找与已知条件的矛盾之处
第三条：A 是n 阶的，如果A 的秩小于n ，说明A 里面存在元素全为0的行（列），也即行列式的值为0
第四条：因为行列式的值为特征值的乘积，所以只要证明|A|存在特征值为0即得证
第五条：行列式表示的是一个数，若这个数等于其相反数，那么这个数为0，也得证
12)矩阵A 的秩
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=c b a A 115031，遮住A 的第二列第三行，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡5031，可以快速的推断：A 的秩大于等
于2.
相关知识：
矩阵A 中非0子式的最高阶数
A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-000062001321，r （A ）=2；
r （A ）=r ：A 中有r 阶子式不为0；每r+1阶（若还有）子式全为0. r （A ）=3⇔A 中有3阶子式不为0，且每四阶子式全为0. r （A ）<4⇔A 中4阶子全为0. r （A ）≥2⇔A 中有2阶子式不为0. A ≠0⇔r （A ）≥1
A-n 阶，r （A ）=n ⇔|A|≠0⇔A 可逆
r （A ）<n ⇔|A|=0⇔A 不可逆
例子：
0,2=⇒≠=A E A A A
1）反证法
若E A A A A A A ,0-12-1===≠可逆，则A
2）（Ax=0有非0解）
00A 0
E -A 0AX 0)(2==∴≠=-=-⇒=A X E A E A A A A 解，故有非又的解
的列向量是
3）（用秩）
A ,)(1)(0)()(0
)(=<∴≥-⇒≠-≤⋅+∴=-故n A r E A r E A n
E A r A r E A A ΘΘ
（4）特征值法
此题易错点：先矩阵乘法再两边取行列式之后，直接由矩阵关系得到行列式的关系。

比如：A ≠E ⇒|A-E|≠0；A ≠E ⇒|A|≠1
n
B r A r 20AX B 10
AB s n ),(≤+==⨯⨯）（）（）的解的列向量是）若阶）（阶B n m A
13）证明：
AB n m m n B )(=⇒>⨯⨯阶），（，阶n m A
1)(用秩)AB 为m 阶 m n B r AB r <≤≤)()( 所需知识：
)
()()()(A .2))(),(min()(.1B r BA r B r AB r B r A r AB r ==>≤>可逆如
2）（用齐次方程组有非0解） ABX=0
①
BX=0 ②
{}
的解
必是则的解如果0ABX 0A0AB 0B 0BX ===⇒==∈αααα（此处证明方式数三出现过）
3)(方程数小于未知数个数，必有非0解)
AB 00ABX 00=∴=∴=⇒<解有非解有非BX m
n Θ
用到的定理：
解必有非，阶00AX n m )(=⇒<⨯n m A
矩阵
包括：运算，伴随，可逆，初等，正交，秩。

一.矩阵的乘法
一般的，有
C B 0A AC AB 30B 0A 0)2)1=⇒≠===⇒=≠不能，）或不能AB BA
AB
二．证明
n
B r A r 20AX B 10AB )s n ()n m (≤+==⨯⨯）（）（）的解的列向量是），若，B A 解：⎪⎩⎪
⎨
⎧=+++=+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯⨯m n mn m m n n m n mn m m n n a a a a a a a a a a a a a a a C AB s n B n m A α
βββαβββαααβββΛΛΛΛΛM M ΛΛΛΛΛΛΛ2
211112121112121212222111211),(),( C 的行向量可以由B 的行向量线性表出（C 的列向量可以由A 的列向量线性表出）
下面介绍一个重要的性质：
[][][][]A
x A A a x xA A 1
A r A
8-A A 8-A -8A A A A -8A
3-21412-83-214123-21412A 3-21412A A 12-843-216-42A 1
A r 1A 1-n n ii 21-n n 2232n n =⇒====⇒=⋅=⋅==⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==∑的迹）（，）（如果综上，得：）（）（，则）（）矩阵Θ
2）型⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000c b a 例：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0060000000310020000310020000310020002
在这里，左下角的6=2×3；另外
00310020003
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡， ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000
0000
000024000
00006000540032103
， 规律同上，右上角24=1×4×6；另外，
000006000540032104
=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡。

由此可知，对于此种类型的n 阶方阵，其n-1次幂只有一个角上存在非零值，其值为最外层的几个数之积；而其n 次幂的值必为0。

（依据的是矩阵乘积关于行与列的关系）
例：=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n
A A 则,100410321
由B E A +=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=040320111
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++++=+=---141421000000800)1(21000400320111)(23
332221n n n n n n n B E C B E C B nE E B E A n n n n n n n n Λ
3）相似
n
n B P A P B
P A P B AP P AP P B AP P =⇒=⇒==-----12
2
1
2111))((如
（考试时的B 为对角矩阵，根据相似对角化计算A ）
注：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12
31
3
2
111
1a a a a a a ，⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32
11
321
11
1
a a a a a a
三．求的方法*
A ：
1 ）直接法，用定义：
不要丢正负号（代数余子式是正负号与余子式的乘积），不要排错队（伴随矩阵是代数余子式按列来排列的） 2 ）间接法：
1*-=A A A （前提：A 可逆且1-A 易求）
重要公式：E A A A AA ==*
*
例：023132212211133
32
31
232221
13
1211
=++A a A a A a a a a a a a a a a ，证明若。

解：（的大小无关的值与ij ij a A ）
则可以构造一个新的行列式33
32
311312
11
13
1211
a a a a a a a a a ，得
023132212211133
32
31
13121113
1211=++=A a A a A a a a a a a a a a a （按第二行展开，再根据行列式的性质）
重要定理： A-n 阶，
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-===1)(1)()(01)(*n A r n A r n A r n A r
（相关例子见考研试题）。