八年级数学人教版(上册)11.1.2三角形的高、中线与角平分线

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当堂练习
8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小.
A
解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )B
DE
C
=180°－90°－40°=50°.
三条中线， 交于一点
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(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流.
要点归纳 三角形的三条中线交于一点，这个交点
就是三角形的重心.
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典例精析 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的 中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm， 则BA＝__7_c_m____. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为 边长的差.
24
边AC上移动，则BP的最小值为__5__．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
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如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE 是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°， 求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°.
归纳
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边上的高.
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三角形的三条高的特性：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交
高所在的直线是否相交
3 相交 相交
1 相交 相交
1 不相交
相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= 1∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
A
E B
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－ 60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
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C C
D B
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三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内
角的平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫三角形的角 B 平分线.
A 12
D
C
∠1=∠2
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
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做一做 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角 形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
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典例精析 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正 确的是( D )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在 该边的延长线上．
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如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD B
DC
＝180°－36°－34°＝110°.
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知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
从三角形的一个顶点
三角形 向它的对边所在的直
的高线 线作垂线,顶点和垂足
之间的线段
B
A
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
D C ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 三角形中,连结一个顶 的中线 点和它对边中的线段
B
A
D
C
∵ AD是△ABC的BC上 的中线. ∴ BD=CD= ½ BC.
三角形一个内角的平
三角形的 分线与它的对边相交,
角平分线 这个角顶点与交点之
间的线段
B
A ∵.AD是△ABC的∠BAC 2 1 的平分线
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
DC
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当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
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当堂练习
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
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当堂练习
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在
以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；
③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ D ）
角平分线
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第十一章 三角形
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
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学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
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新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
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新课导入
回顾旧知
垂线的定义：
当两条直线相交所 成的四个角巾，有一个 角是直角时，就说这两 条直线互相垂直， 其 中一条直线叫做另一条 直线的垂线.
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是
B
在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
A F
OE C
D
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直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
A
直角边BC边上的高是__A_B___;
直角边AB边上的高是__C_B___; 斜边AC边上的高是__B_D____. (2)它们有怎样的位置关系？
D
B●
C
将你的结果与同伴进行交流.
直角三角形的三条高交于直角顶点.
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钝角三角形的三条高
A
(1) 钝角三角形的三条高交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于 D 一点.
(2)它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流. 钝角三角形的三条高所在直线
交于一点.
O
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F
B
C
E
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知识点 2 三角形的中线
三角形的“中线”
在三角形中，连接一个顶
点与它对边中点的线段，叫作
这个三角形的中线(median).
AE是BC边上的中线.
B
A
C E BE=EC
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议一议 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系?
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知识点 3 三角形的角平分线 思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设 法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折 纸的方法得到它吗?
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A
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个 B 一个三角形并剪下，将它 的一个角对折，使其两边 重合.
A
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
线段中点的定义：
把一条线段分成两条 相等的线段的点.
角平分线的定义：
一条射线把一个角分 成两个相等的角，这条射 线叫做这个角的平分线.
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✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
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知识点 1 三角形的高
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
你能过三角形的一个顶点，你能画出它的
对边的垂线吗?
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
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课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
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课堂小结
高
钝角三角形两短边上的高的画法
三角形重 中 线 要线段
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两 个三角形，这两个三角形的周长 差等于原三角形其余两边的差
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
A E
B
D
C
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当堂练习
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段
中可以作为△ABC的高的有
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
（ B）
4.
D
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当堂练习
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿AF＿,BD= ＿D＿C ，AE=
位置关系 ?
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三角形角平分线的性质
三角形的三条角平分线交于同一点.
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如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°， AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
A
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
D
∴BD＝AD，
B
C
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
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当堂练习
7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. C
A
B
C
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归纳
从三角形的一个顶线段叫做三角形
这边上的高，简称三角形的高.
如图所示.
B
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A DC
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A
如图, 线段AD是BC边上的高.
注意：标明垂直的记号和垂足
的字母.
B
D
C
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锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
1＿A＿C 2
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，
则∠1=
＿∠2＿，
1 ∠3=__2_∠__A_B_C__，
∠ACB=2_2_∠_4___.
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图①
图②
当堂练习
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
解：∵CD是△ABC的中线，