【河北省衡水中学年】2017届高三下学年期第三次摸底考试数学年(理科)试题

们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第 i i N* 次划拳小华赢”为 Ai ；事件“第 i 次划拳小华平”为 Bi ；
事件“第
i
次划拳小华输”为
Ci
，所以
P
Ai


P

Bi


P
Ci


3 9

1 3
．
因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；
易知
0

x2

1
，要证
2

4
x1

x2


3
，即证

1 2

x1


1 4
．
所以
t


1 2


0

t

x1


1 e

t


1 4

，又函数
y

t

x

在

,1
上单调递增，
所以

1 2

x1
Leabharlann 1 4，所以2

4
x1

x2


3
．
22．解：(1)因为直线 l1 的倾斜角为 ，且经过点 P1, 1 ，
所以
x1、x2、x3
是方程 t1

2x e x 1

e
*
t2

2x e x 1

e
** 的根．
由(1)知 t

2x e x 1

e
在
,1
单调递增，在 1,
上单调递减．
且当 x 时， t ，当 x 时， t e ， tmax t 1 2 e ，
可取平面 BDA 的一个法向量为 0,1,0 ，
所以 cos u,
u 41 u 5 82
82 10 ，
所以二面角 B AD O 的正弦值为 3 2 ． 10
19．解：(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有 3 3 9 个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他
a2 b2 a2

32 3 ； 33
(2)依题知圆 F 的圆心为原点，半径为 r 2 ， AB 2 3 ，
所以原点到直线 AB 的距离为 d
r2


AB
2

2

22

23 2
2
1，
因为点 P 坐标为
6 2
,1
，所以直线
AB
的斜率存在，设为
k
．
所以直线 AB 的方程为 y 1 k x
6 2

，即
kx

y

6 k 1 0， 2
1 6 k
所以
2
，解得 k 0 或 k 2 6 ．
d
1
1 k2
①当 k 0 时，此时直线 PQ 的方程为 x 6 ， 2
-3-/6
所以 PQ 的值为点 P 纵坐标的两倍，即 PQ 21 2 ；
1 ab

1 4
3
1 ab

1 2 2

0．
当且仅当 ab 2 时取等号，
所以
1 a2

1 b2

3 4
所以 cos B AB2 BE2 AE2 49 32 25 2 ，
2AB BE
274 2 2
所以 sin B 2 ，因为 tan BAC 1 ，
2
2
所以 sin BAC 5 ， cos BAC 2 5 ，
5
5
所以 cosBAC cosBAC B
A1 P C2
P A3
P C4
P C5


29 243
，
所以游戏结束时小华在第
2
个台阶的概率为
p

p1

p2

7 81

29 243

50 243
．
-2-/6
(2)依题可知 X 的可能取值为 2、3、4、5，
PX

5

2P A1 PC2
P A3
PC4

sin Bsin BAC cos B cosBAC 2 5 2 2 5 10 ．
25 2 5
10
18．解：(1)依题易知，圆锥的高为 h 5 2 2 52 5 ，又圆柱的高为 AB 6.4 ， AO AD ，
所以 OD2 OA2 AD2 ， 因为 AB BD ，所以 AD2 AB2 BD2 ， 连接 OO1、O1O2、DO2 ，易知 O、O1、O2 三点共线， OO2 DO2 ，
河北省衡水中学 2017 届高三下学期第三次摸底考试数学（理科）试卷
答案
一、选择题
1~5．DAADB 6~10．ACBAB 11~12．CC
二、填空题
13．39；4
14． π 6
15．6
16． 9 2
三、解答题
17．解：(1)因为
tan
BAC

1 2
，所以
tan BAE

2 tan BAC 1 tan2 BAC
②当 k 2
6
时，直线
PQ
的方程为
y

1


2
1 6

x

6 2

，
将它代入椭圆 E 的方程 x2 y2 1，消去 y 并整理，得 34x2 10 6x 21 0 ， 32
设 Q 点坐标为 x1, y1 ，所以
6 2

x1

10 6 34
，解得
x1


76 34
9 27 81 81 所以 X 的数学期望为：
E X 2 2 3 13 4 22 5 2 251 ．
9 27 81 81 81
20．解：(1)依题知
6 4a2

1 b2
1， a2
b2
5，a
b0，
解得 a2 3 ， b2 2 ，所以椭圆 E 的离心率 e
所以 0 a b2 4 ，即 2 a b 2 ；
(2)由(1)知 0 ab 3，
因为
1 a2

1 b2

3 4

4 ab

a2 b2 a2b2

4 ab

3 4

3 ab a2b2

4 ab

3 4

3 a2b2

3 ab

3 4

3
1 a2b2


2


1 3
4

2 81
，
PX

2

2P A1 P A2


2


1 3
2


2 9
，
P X 3 2P A1 PB2 P A3 2PB1 P A2 P A3 2PB1 PB2 P B3
2P

其概率为
p1

A22P B1

P
C2

P
B2


P C1

P

A2

P
B4


7 81
，
第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
p2

P B1 PB2
PC3


A33P
A1 P B2
PC3
PC4


A22P
，
所以 PQ
1



2
1
6
2
x1
6 30 ． 2 17
21．解：(1)因为
f
x

ax e x 1

ae
x ex

的定义域为实数 R
，
所以
f
'

x

ae

1 ex
x

．
①当 a 0 时， f x 0 是常数函数，没有单调性．
②当 a 0 时，由 f x 0 ，得 x 1 ；由 f x 0 ，得 x 1 ．
则 D0,0,0 ， A8,0,6.4 ， B8,0,0 ， D4,3,11.4 ．
所以 DA 8,0,6.4 ， DB 8,0,0 ， DO 4,3,11.4 ，
设平面 DAO 的法向理为 u x, y, z ，
所以 DA u 8x 6.4z 0 ， DO u 4x 3y 11.4z 0 ，令 x 12 ，则 u 12,41,15 ．
因为 x cos ， y sin ，所以 x2 y2 4x ．
所以曲线 E 的标准方程为 x 22 y2 4 ．
(2)设直线
l1
的参数方程为
x

y
1 t cos 1 t sin
（
t
为参数），
代入曲线 E 的标准方程为 x 22 y2 4 ，
①当 ab 0 时， 3 ab 2ab ，解得 ab 3，即 0 ab 3； ②当 ab 0 时， 3 ab 2ab ，解得 ab 1，即 1 ab 0 ， 所以 1 ab 3 ，则 0 3 ab 4 ，
而 a b2 a2 b2 2ab 3 ab 2ab 3 ab ，
-4-/6
如图，依据题意，不妨取 e
t2

e 2 ，所以
e
1
2

t1

1 t2

1 e
，
因为 t


1 2


3
e 2

e

1 e e2

1


0
t


1 4


e

1 2
5
e4

e


e2

1 2
1
e4
1

1，
A1

P

B2

P

B3


2P

B1

P

A2

P

B3


2P

B1

P

B2

P

A3


2P
C1

P

A2

P

A3


13 27
P X 4 1 P X 5 P X 2 P X 3 22 ，
81
所以 X 的分布列为：
X2 3 4 5
2 13 22 2 P
-5-/6
同理
CD2
12

4sin
2

π 2

12

4sin
2
，
所以 AB2 CD2 12 4sin 2 12 4sin 2 24 为定值．
23．解：(1)因为 a2 b2 ab 3 ，所以 a2 b2 3 ab 2 ab ．
当 90 时，直线 l1 垂直于 x 轴，所以其一般方程为 x 1 0 ，
当 90 时，直线 l1 的斜率为 tan ，所以其方程为 y 1 tan x 1 ，
即一般方程为 tan x y tan 1 0 ．
因为 E 的极坐标方程为 4cos ，所以 2 4 cos ，
所以 OD2 OO22 O2D2 ，
所以 BD2 OO22 O2D2 AO2 AB2 6.4 52 52 5 2 2 6.42 64 ，
-1-/6
解得 BD 8 ，又因为 DE 6 ，圆 O2 的直径为 10，圆心 O2 在 BDE 内， 所以易知 BDE 90 ，所以 DE BD ． 因为 AB 平面 BDE ，所以 DE AB ，因为 AB BD B ，所以 DE 平面 ABD ． 又因为 DE 平面 ODE ，所以平面 ABD 平面 ODE ． (2)如图，以 D 为原点， DB 、 DE 所在的直线为 x 、 y 轴，建立空间直角坐标系．

4 3
，所以
cos BAE

3 5
．
因为 AB AD AE DE 5 2 7 ，
所以 BE2 AB2 AE2 2AB AE cosBAE 49 25 42 32 ，
所以 BE 4
2
，又
BC CE

AB AE

7 5
，所以
BC

72 3
．
(2)由(1)知 BE 4 2 ，
所以函数 f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
③当 a 0 时，由 f x 0 得， x 1 ；由 f x 0 ，得 x 1 ，
所以函数 f x 在 1, 上单调递减，在 ,1 上单调递增．
(2)因为 a 1， f 2x g x 0 ，
可得 1 t cos 22 1 t sin 2 4 ，即 t2 2cos sin t 2 0 ，
则 t1 t2 2cos sin ， t1t2 2 ，
所以 AB2 t1 t2 2 t1 t2 2 4t1t2 4cos sin 2 8 12 4sin 2 ，
所以 2x e2 x 1

b ex

e1 2x ex
2x 0 ，即 ex1
e x 1 b
2x ex
2x ex1 b
1 2x ex
e x 1
0，
令
t

2x e x 1

e
，则有 t

e

b

1 t

0
，即 t2

b

et
1
0
，
设方程 t2 b et 1 0 的根为 t1、t2 ，则 t1 t2 1，