第六章 §6.4 数列求和、数列的综合应用
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(2) 若 bn =log2(an +1)ꎬ求数列{(an +1)������bn }的前 n 项和 Tn . 1-1 解析 (1) ∵ 点( an ꎬan+1 ) ( n∈N∗ ) 均在直线 y = 2x+1 上ꎬ
∴ an+1 = 2an +1ꎬ变形为 an+1 +1 = 2( an +1) ꎬ又 a1 +1 = 2ꎬ
2Tn = 3×2+7×22 +������+(4n-5) ������2n-1 +(4n-1) ������2n ②ꎬ
②-①得 Tn = (4n-1) ������2n -[3+4×(2+22 +������+2n-1 ) ]
[ ] = (4n-1)������2n -
3
+
4
×
2(
1-2n-1 1-2
0ꎬ其前 n 项和为 Sn( n∈N∗ ) ꎬ{ bn } 是等差数列.已知 a1 = 1ꎬa3 =
a2 +2ꎬa4 = b3 +b5 ꎬa5 = b4 +2b6 .
( 1) 求{ an } 和{ bn } 的通项公式ꎻ
(2)设数列{Sn}的前 n 项和为 Tn(n∈N∗).
(i)求 Tnꎻ
∑ ( ii) 证明:
由 a4 = b3 +b5 ꎬ可得 b1 +3d = 4.
由 a5 = b4 +2b6 ꎬ可得 3b1 +13d = 16ꎬ
从而 b1 = 1ꎬd = 1ꎬ故 bn = n.
所以ꎬ数列{ an } 的通项公式为 an = 2n-1 ꎬ数列{ bn } 的通项公
式为 bn = n.
(2)
(
i)
由(1)
n k=1
( Tk +bk+2 ) bk ( k+ 1) ( k+ 2)
=
2n+2 n+2
-
2(
n∈N∗
)
.
解析 (1)设等比数列{an}的公比为 q.
由 a1 = 1ꎬa3 = a2 +2ꎬ可得 q2 -q-2 = 0.
因为 q>0ꎬ可得 q = 2ꎬ故 an = 2n-1 .
设等差数列{bn}的公差为 d.
2.用错位相减法求和时ꎬ应注意: ( 1) 要善于 识 别 题 目 类 型ꎬ 特 别 是 等 比 数 列 公 比 为 负 数 的 情形. (2) 在写出“ Sn ” 与“ qSn ” 的表达式时应特别注意将两式“ 错 项对齐” ꎬ便于下一步准确地写出“ Sn -qSn ” 的表达式. (3)应用等比数列的求和公式时ꎬ必须注意公比 q≠1 这一 前提条件ꎬ如果不能确定公比 q 是不是 1ꎬ应分两种情况进行
1 1) (
n+2)
=
1 2
n(
1 n+
1)
- (
1 n+ 1) (
n+
2)
ꎻ
(6)
(2n
2n -1) (2n+1
-1)
=
1 2n -
1
- 2
1 - n+1
ꎻ 1
( ) (7)loga
1+
1 n
= loga( n+1) -loga n( a>0 且 a≠1) .
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
n( n+ 1) 2
2
.
考点二 数列的综合应用
高频考点
1.主要是等差数列、等比数列、通项、数列的求和之间的综 合以及数列与其他章节如不等式、几何等的综合应用. 这种题需 要掌握好各章节的基本知识、基本方法ꎬ然后采用化整为零的方 法去解决即可.
2.数列的实际应用 ( 1) 数列应用题的常见模型 ①等差模型:当增加( 或减少) 的量是一个固定量时ꎬ该模型 是等差模型ꎬ增加( 或减少) 的量就是公差. ②等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时ꎬ该模型是等比模型ꎬ这个固定的数就是公比. ③递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关 系式ꎬ可由递推关系入手解决实际问题ꎬ该模型是递推模型.等差 模型、等比模型是该模型的两个特例. ( 2) 解答数列应用题的基本步骤 实际问题中蕴含着递推关系ꎬ可考虑用数列知识解决ꎬ其基 本步骤如下: ①数列表示:分析前后两个变化过程ꎬ找到联系这两个过程 的量( 这个量起到承上启下的作用) ꎬ选择这个量组成一个数列. 有时这种量不止一个ꎬ可表示为多个数列. ②递推关系:利用条件得到递推公式. ③解数列问题:由递推关系求通项公式或前 n 项和公式等. ④回答实际问题:根据实际问题的要求得到实际问题的解.
ꎬ有
Sn
=
1-2n 1-2
=
2n
-1ꎬ
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
b.当
q≠1
时ꎬSn
=
a1( 1-qn 1-q
)
=
a1 -an 1-q
q .
(2) 分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
( 3) 裂项相消法:把一个数列的通项 分 成 两 项 差 的 形 式ꎬ相
加过程中消去中间项ꎬ只剩有限项再求和.
( 4) 错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应
.
解析 (1) 当 n≥2 时ꎬ
an = Sn -Sn-1 = 2n2 -2( n-1) 2 = 4n-2ꎬ 当 n = 1 时ꎬa1 = S1 = 2 满足上式ꎬ
第六章 数列 5 9
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1-2 已知数列{ an } 的前 n 项和为 Snꎬ且 Sn = 2n2 +nꎬn∈
N∗ ꎬ数列{ bn } 满足 an = 4log2 bn +3ꎬn∈N∗ .
(1) 求 an ꎬbn ꎻ
(2) 求数列{ an ������bn } 的前 n 项和 Tn .
1-2 解析 (1) 由 Sn = 2n2 +nꎬ得 n = 1 时ꎬa1 = S1 = 3ꎻ
项相乘构成的数列求和.
( 5) 倒序相加法:把数列正着写和倒 着 写 再 相 加ꎬ例 如 等 差
数列前 n 项和公式的推导方法.
( 6) 并项求和法:将某些具有某种特殊性质的项放在一起先
求和ꎬ再求整体的和.
2.常见的裂项公式
(1) 若{ an } 为各项都不为 0 的等差数列ꎬ公差为 d( d≠0) ꎬ
2n ꎬ2Tn = 22 +2×23 +������+( n-1) ������2n +n������2n+1 ꎬ
两式相减可得-Tn = 2+22 +������+2n -n������2n+1
=
2( 1- 2n 1-2
)
-
n������2
n+1
ꎬ∴
Tn
= ( n-1) ������2n+1 +2.
n≥2 时ꎬan = Sn -Sn-1 = 4n-1ꎬ
a1 = 3 满足上式ꎬ所以 an = 4n-1ꎬn∈N∗ .
由 4n-1 = an = 4log2 bn +3ꎬ得 bn = 2n-1 ꎬn∈N∗ .
(2) 由(1) 知 an bn = (4n-1) ������2n-1 ꎬn∈N∗ .
所以 Tn = 3+7×2+11×22 +������+(4n-1) ������2n-1 ①ꎬ
对应学生用书起始页码 P107
一、错位相减法求和
������������������������������������������������
1.一般地ꎬ如果数列{ an } 是等差数列ꎬ{ bn } 是等比数列ꎬ求 数列{ an ������bn } 的前 n 项和时ꎬ可采用错位相减法.
故{an}的通项公式为 an = 4n-2. 设{bn}的公比为 qꎬ由 a1 = b1ꎬb2( a2 - a1 ) = b1 知ꎬb1 = 2ꎬb2 = 1ꎬ 2
∴
q=
1 4
ꎬ
∴
bn
= b1 qn-1
=
2
× 4
1
n-1
ꎬ即
bn
=
4
2
n-1
.
( 2) 由( 1) 知
cn
=
an bn
=
4n- 2
2
=
(
(2)根据(1)可知数列{an}和{ bn } 的通项公式ꎬ进而可得数 列{ cn } 的通项公式ꎬ再运用错位相减法求其前 n 项和. 1-1 设数列{ an } 满足:a1 = 1ꎬ点( anꎬan+1 ) ( n∈N∗ ) 均在 直线 y = 2x+1 上.
(1)证明数列{an +1} 是等比数列ꎬ并求出数列{ an } 的通项 公式ꎻ
5 8 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
§ 6.4 数列求和、数列的综合应用
考点一 数列求和
高频考点
1.求数列的前 n 项和的方法
( 1) 公式法
①等差数列的前 n 项和公式
Sn
=
n(
a1 +an 2
)
=
na1
+n(
n- 2
1)
d.
②等比数列的前 n 项和公式
a.当 q = 1 时ꎬSn = na1 ꎻ
2n
-
1)
4
n-1
ꎬ
4n-1
∴ Tn = c1 +c2 +������+cn = 1+3×41 +5×42 +������+(2n-1)4n-1 ꎬ 4Tn = 1×4+3×42 +5×43 +������+(2n-3) ������4n-1 +(2n-1)4n . 两式相减得 3Tn = -1-2(41 +42 +43 +������+4n-1 ) +(2n-1)4n
)
= (4n-5) ������2n +5.
二、裂项相消法求和
一般情况下ꎬ通项是分式类型的求和题ꎬ宜采用裂项相消法.
1.裂项原则:一般是前边裂几项ꎬ后边就裂几项ꎬ直到发现
被消去项的规律为止.
2.消项规律:消项后前边剩几项ꎬ后边就剩几项ꎬ前边剩第
几项ꎬ后边就剩倒数第几项.
(2018 天津ꎬ18ꎬ13 分) 设{ an } 是等比数列ꎬ公比大于
∑ ∑ 故 Tn =
n
(2k - 1)
k=1
=
n
2k
k=1
-
n
=
2
×
(1-2 1-2
n
)
-n
=
2
n+1
-n
-
2.
(
ii)
证明:因为
对应学生用书起始页码 P106
3.常见数列的前 n 项和
(
1)
1+
2+
3+������+n
=
n(
n+1) 2
ꎻ
(2)2+4+6+������+2n = n2 +nꎻ
(3)1+3+5+������+(2n-1) = n2 ꎻ
(
4)
12
+
2
2
+
32
+������
+
n2
=
n(
n
+
1) ( 6
2n
+
1)
ꎻ
[ ] (5)13 +23 +33 +������+n3 =
∴ 数列{ an +1} 是等比数列ꎬ首项与公比都为 2.
∴ an +1 = 2n ꎬ故 an = 2n -1.
(2) 由(1) 知 bn = log2( an +1) = nꎬ∴ ( an +1) ������bn = n������2n .
数列{ ( an +1) ������bn } 的前 n 项和 Tn = 2+ 2× 22 + 3× 23 +������+n������
=
1 3
[(6n-5)4n +5].
∴
Tn =
1 9
[(6n-5)4n +5].
思路分析 (1) 已知数列{ an } 的前 n 项和 Sn ꎬ则通项为 an = Sn -Sn-1( n≥2) ꎬa1 = S1 = 2 = b1 ꎬ再根据 b2( a2 -a1 ) = b1 可求得数 列{ bn } 的通项公式.
( ) 则 1 = 1 1 - 1 ꎻ an ������an+1 d an an+1
( ) (
2)
n(
1 n+k)
=
1 k
1- 1 n n+k
ꎻ
( ) (
3)
(
1 2n- 1) (
2n+
1)
=
1 2
1-1 2n-1 2n+1
ꎻ
(4) 1 = n+1 - n ꎻ n + n+1
[ ] (
5)
n(Βιβλιοθήκη n+讨论.(2019 天津南开中学第一次月考ꎬ18) 设数列{ an } 的前
n 项和 Sn = 2n2 ꎬ{ bn } 为等比数列ꎬ且 a1 = b1 ꎬb2( a2 -a1 )= b1 .
( 1) 求数列{ an } 和{ bn } 的通项公式ꎻ
(2)
设
cn
=
an bn
ꎬ求数列{
cn
}
的前
n
项和
Tn