道路卵形曲线上点坐标的严密算法

Ｙ ２ ＝ Ｌ ｓ １ ／ ２ ／ Ｃ １ Ｊ 一
： Ｌ ｑ ／ ２ ／ Ｃ １ ｝ （ ５ ）
作者简介 ：王兵 （ １ ９ ９ ０年 ２月），男 ，汉，贵州湄潭 ，本科，测绘，贵州地矿测绘院
ｙ ２ ） 与Ｂ 、ｐ 即可求 得卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 转角为 ｐ 、弦 ￣ ｔ ｆ ｌ — Ｈ Ｙ ２的长度 ｓ以 及弦 Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 与导线 Ｊ Ｄ Ｉ － Ｊ Ｄ ２（ 即独立坐标系中 Ｙ Ｈ Ｉ 处切线 ）的夹角 ８，再根 据不对称道路平面曲线的计算方法【 ２ ］ 可求得卵形 曲线要素 （ 切线增长 ｑ 、圆心 内移 值Ｐ 、切线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素解析
Ｕ 刖 吾
道路平 曲线设计 中，不可避免地会运用到 了卵形 曲线 ，其要素 （ 转角 １ ３ 、切
线增 长 ｑ 、圆心内移值 Ｐ 、 切线 长 Ｔ等 ） 以及卵形线上任意点 高斯坐标 的计算是道
路 平曲线设计与测设 过程中的难点 ，有关文献 给出的计算方法有利用复化 辛普 森 公 式计算ｎ】 、利用双交点法计算等 ，双交点 法是将卵形线分为长度相等 的两段分 别看作等长完 整缓和曲线来进行解算 ，为一种近似算法 ，存在着误差 较大或未能 求 解卵形 曲线要 素的不足。本文给 出了一种补 全卵形线后利用几何性质将 其独 立
，
＝
Ｌ ／ 。 ２ Ｃ
＋－
Ｉ
Ｉ
】 （ ＝ （ ＿ １ ）
ｐ － Ｒ Ｏ－Ｃ ｏ ２ ） ［ ４ ］ ｑ ＝ — Ｒ Ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｌ
２ ・ ｝ （ １ ） 【
Ｉ
坐标转换为高斯坐标 的计算方法可有效提高计算精度和准确计算 曲线要素 。
摘要 ：针对道路勘 测设计 中卵形曲线的计算 ， 依据 卵形 曲线的特性 ， 将其补全为 完整的缓和 曲线 ， 并利 用缓和 曲线的几何性质
解 求 卵 形 曲 线要 素 以及 卵 形 曲 线上 任 意 点 高 斯 坐标 。 关键 词 ：道 路勘 测 设 计 ；卵 形 曲 线 ；缓 和 曲 线 ；高 斯 坐 标
以Ｒ 。 ＞ 弛右转路线为例 ， 设卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 转角 为 Ｂ。 立坐标 Ｙ （ ｘ 、Ｙ 在计算中常取前三项 ）
Ｐ ：完整缓 和曲线 圆心 内移值 ｑ ： 完 整缓和曲线切线增长值 图１ 中， 将卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 补全 ， 其增补长度为 ， 总长 为 。 则据式 （ １ ） 完整缓 和曲线常数可建立方程 ：
Ｒ：完整缓和曲线终 点曲率半径
掘
图 １卵形 曲线 如图 １ 所示 ，已知弧 Ｚ Ｈ— Ｈ Ｙ为 Ｊ Ｄ １ 处前 缓和曲线 ，弧 Ｈ Ｙ — Ｙ Ｈ １ 为Ｊ Ｄ １ 处圆 曲线 ，半径为 Ｒ 。 。弧 Ｈ Ｙ ２ 一 Ｙ Ｈ为 Ｊ Ｄ ２ 处圆曲线 ，半径为 Ｒ ，弧 Ｙ Ｈ — Ｈ Ｚ为 Ｊ Ｄ ２ 处 后缓和 曲线 ，长度 为 ｋ ，卵形线 （ Ｊ Ｄ ２处前缓和曲线 ） Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 曲线长度为 ， 起点 （ Ｙ Ｈ１ ） 处 曲率半径为 Ｒ ， 终点 （ Ｈ Ｙ ２ ）处曲率半径 为 Ｒ ｚ 。交点 Ｊ Ｄ ２ 处路线转 角为 ａ。交点 Ｊ Ｄ １ 高斯坐标 为 （ Ｘ ， ，Ｙ ， ） ，交点 Ｊ Ｄ ２高斯坐标为 （ ， Ｙ ） 。设 Ｊ Ｄ ２ 处 圆曲线 Ｈ Ｙ ２ 一 Ｙ Ｈ圆心位置为 Ｂ ，过 Ｂ点分别作垂 线垂直于 Ｊ Ｄ ２ 处前后导线并连 接 Ｂ与 Ｊ Ｄ ２ 点， 由几何关 系知 ｑ ＋ ｄ ＝ ｎ。 过Ｙ Ｈ２ 点作辅 助线 平行于导线 Ｊ Ｄ Ｉ － Ｊ Ｄ ２ 。
设 独立坐标系中 Ｙ Ｈ１ 处转角为 Ｂ Ⅵ ｎ ，Ｈ Ｙ ２处转角为 Ｂ一，据 （ ｘ 。 ，Ｙ 。 ） （ Ｘ ２ ，
Ⅲ
＝
ｇ
Ｌ ａ ｌ ｌ ＝ Ｌ ＋ Ｌ ＾ ＝ Ｌ ＾ Ｘ Ｒ １ ／ （ Ｒ １ 一 Ｒ ２ ） ｝ （ ４ ） Ｃ ｌ ＝ Ｌ × Ｒ １ ＝ Ｌ 。 × Ｒ ２ ＝ Ｌ ＾ Ｒ １ Ｒ ２ （ Ｒ ｌ — Ｒ ２ ） ｌ
Ｒ ｏ ａ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ Ｂ ｒ ｉ ｄ ｇ ｅ ｓ道路桥梁 ６ ７
道路卵形 曲线上点坐标的严密算法
王 兵
（ 贵州地矿测绘院 ， 贵阳 ５ ５ ０ ０ １ ８ ）
中图分类号 ：Ｕ ４ ５ 文献标识码：Ｂ 文章编号 １ ０ ０ ７ — ６ ３ ４ ４（ ２ ０ １ ７ ）１ 卜０ ０ ６ ７ — ０ ２
（ ｇ ＋ ） × Ｒ ２ ＝ ９ × Ｒ １ （ ）
Ｌ ＾ × Ｒ ２ ／ （ Ｒ １ 一 Ｒ ２ ） Ｉ
角为Ｂ ，弦 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２与导线 Ｊ １ ） ｌ — Ｊ Ｄ ２夹角为 ０， 长度为 Ｓ 。将卵形线 Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 补全 为完整缓 和曲线 ， 因Ｒ ＞ Ｒ ，卵形线增补部分位于 Ｊ Ｄ １ 一侧 ，设增补长度为 ｋ，卵形线补全为完整缓 和曲线后 总长 为 Ｌ ． 】 】 ，起点为 Ｏ，缓和曲线常数为 Ｃ 。在 ０ 点 以补全 卵形线起 点处 的切线 与垂足分别作 为 ｘ轴 、Ｙ轴建立独立坐标系 ，设 Ｙ Ｈ１ 在 独立 坐标 系中坐标 为 （ ｘ ｌ ｜ Ｙ ） ，Ｈ Ｙ ２ 在独立坐标系中坐标为 （ ｘ ，Ｙ ） 。
Ｖ ＝ 两 — （ ２ — ｎ — ＋ — — １ ） — ！ — （ ４ — ， — ２ ＋ — ３ — ） — ２ ＿ — ” — Ｒ — — — — Ｌ — ＿ ‘ １ 、 ｎ Ｕ ， １ ’ ， Ｚ ， ｓ ｊ … ） － 】 Ｊ
１求 解 思 路
ｒ ：完整缓 和曲线任意点 曲率半径