人教版数学高二A版选修4-5单元整合第三讲柯西不等式与排序不等式

单元整合
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专题探究
专题一 柯西不等式的应用 利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．
应用1已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的取值范围．
提示：由a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2联想到应用柯西不等式．
解：∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2，
即4(16－e 2)≥(8－e )2,64－4e 2≥64－16e ＋e 2，
即5e 2－16e ≤0，∴e (5e －16)≤0，∴0≤e ≤165
. 即e 的取值范围是⎣
⎡⎦⎤0，165. 应用2若n 是不小于2的正整数，试证：
47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22
. 提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．
证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n
＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13
＋…＋12n －2⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n ， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋2n ＋2＋…＋12n ＜22
. 由柯西不等式，有
⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2， 于是，1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n ＞n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n
≥23＋12
＝47， 又由柯西不等式，有
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜ (12＋12＋…＋12)⎣⎡⎦
⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2 ≤n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝22. 综上，原不等式成立．
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．
应用在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c
＜π2. 提示：可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明．
证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C ，由排序不等式，得：
aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，
aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，
aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .
相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c
≥π3，① 又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，
有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b )
＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C )
＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C )
＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )，
得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c
＜π2.② 由①②得原不等式成立．
专题三 利用不等式解决最值问题
利用不等式解决最值问题，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足． 应用设a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．
解：根据柯西不等式，知
(a ＋2b ＋3c )⎣⎡⎦
⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132 ≥⎝⎛⎭
⎫3·a ＋1·2b ＋13·3c 2＝(3a ＋2b ＋c )2， ∴(3a ＋2b ＋c )2≤
132
3， 则3a ＋2b ＋c ≤1333
， 当且仅当a 3
＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13
时， 3a ＋2b ＋c 有最大值1333
. 专题四 利用柯西不等式解决实际问题
数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型．
应用如图，等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.
在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．
解：分别取OA ，OB 为x 轴、y 轴，则AB 的方程为x ＋y ＝1，
记P 点坐标P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12
(1－x P －y P )2，则
2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2.
由柯西不等式，得
[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12)≥
[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2，
即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16
. 当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P 1
时，等号成立， 即x P ＝y P ＝13时，面积S 最小，且最小值为16
.。