§2-2 简谐运动的描述 (备作业)-(解析版)

第二章机械振动
第2课时简谐运动的描述
一、单选题：
1．一质点做简谐振动,从平衡位置运动到最远点需要周期,则从平衡位置走过该距离的一半所需时间为 ( )
A.周期
B.周期
C.周期
D.周期
【答案】D
【解析】由简谐振动的表达式有A=Asin t,解得t=,D正确。

故选D。

2.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O。

质点经过a点(x a=-5 cm)和b
点(x b=5 cm)时速度相同,时间t ab=0.2 s;质点从b点回到a点所用的最短时间t ba=0.4 s;则该质点做简谐运动的频率为 ( )
A.1 Hz
B.1.25 Hz
C.2 Hz
D.2.5 Hz
【答案】B
【解析】由题意可知:a、b点在O点的两侧,相对于O点对称,通过a、b点时速度大小相等、方向相同;质点由a到b所用时间t ab=0.2 s,由b点回到a所用最短时间t ba=0.4 s,表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动,振幅大于5 cm;设质点做简谐运动的四分之一周期为T=t ab+(t ba-t ab),解得周期T=2[t ab+(t ba-t ab)]=2×[0.2s+(0.4 s-0.2 s)]=0.8 s。

频率f== Hz=1.25 Hz。

故选B。

3.如图所示,虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象。

已知甲、乙两个振子质量相等,则( )
A.甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B.甲、乙两个振子的相位差总为π
C.前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D.第2秒内甲、乙振子速度方向相同,都指向平衡位置
【答案】A
【解析】根据振动图象,甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm,A正确。

由于两个振子的周期和频率不同,其相位差亦会变化,B错。

前2秒内,甲在平衡位置的上方,加速度指向平衡位置,方向为负方向;而乙在平衡位置的下方,加速度指向平衡位置,方向为正方向,C错。

第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动,速度方向为负方向,指向平衡位置;乙向负向位移最大处运动,速度方向为负方向,但指向负向最大位移处,D错。

故选A。

4.(2019·河南洛阳模拟)简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图甲所示,在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象。

取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向,纸带运动的距离代表时间,得到的振动图线如图乙所示。

则下列说法中正确的是()
A.弹簧振子的周期为2 s
B.弹簧振子的振幅为10 cm
C.t=17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
D.2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
【答案】B
【解析】周期是振子完成一次全振动的时间,由题图知,弹簧振子的周期为
T=4s,故A错误;振幅是振子离开平衡位置的最大距离,由图知,弹簧振子的振幅为10cm,故B正确;振子的周期为4s,由周期性知,t=17s时振子相对平衡位置的位移与t=1s时振子相对平衡位置的位移相同,故C错误;由图乙可知2.5s时振子正在向x 轴负方向运动,故D错误。

故选B。

5.(2019·辽宁鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.3 s,第一次到达点M,再经过0.2 s,第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为()
A.0.53 s
B.1.4 s
C.3 s
D.2 s
【答案】A
【解析】如图甲所示,设O为平衡位置,OB(OC)代表振幅,振子从O→C所需时间为T
4。

因为简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时
间相等,故T
4=0.3s+0.2
2
s=0.4s,解得T=1.6s。

如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向
点B运动,设点M'与点M关于点O对称,则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等,即0.2s。

振子从点O到点M'、
从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等,为0.3s-0.2s
3=1
30
s,故周期为
T=0.5s+1
30
s≈0.53s,所以A正确。

故选A。

6.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin(2.5πt),位移y的单位为m,时间t的单位为s。

则()
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零
D.在任意0.2 s时间内,振子的位移均为0.1 m
【答案】C
【解析】由y=0.1sin(2.5πt )知,弹簧振子的振幅为0.1m,选项A 错误;弹簧振子的周期为T=
2πω
=
2π
2.5π
s =0.8s,选项B 错误;在t=0.2s 时,y=0.1m,即振子到达最高点,
此时振子的运动速度为零,选项C 正确;只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时,经过0.2s,振子的位移才为A=0.1m,选项D 错误。

故选C 。

7.有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时刻具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是( ) A.x=8×10-3sin (4πt +π
2) m
B.x=8×10-3sin (4πt -π2) m
C.x=8×10-1sin (πt +32π) m
D.x=8×10-1sin (π4t +π
2) m
【答案】A
【解析】A=8×10-3m,T=0.5s,ω=2π
T =4π,初始时刻具有负方向的最大加速度,则
初相位为φ=π2,故振动方程应为x=8×10-3sin (4πt +π
2
)m,故选项A 正确。

故选A 。

8.一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是()
A.质点振动频率是4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程是20 cm
C.第4 s末质点的速度是零
D.在t=1 s和t=3 s两时刻,质点位移大小相等,方向相同
【答案】B
【解析】由振动图象可知,质点振动的周期是4s,频率是0.25Hz,故选项A错误;振幅为2cm,一个周期内质点经过的路程为4A,10s为2.5个周期,经过的路程为
2.5×4A=10A=20cm,选项B正确;4s末质点在平衡位置,且速度最大,故选项C错误;在t=1s和t=3s两时刻,质点分别在正最大位移和负最大位移处,质点位移大小相等、方向相反,故选项D错误。

故选B。

9.用余弦函数描述一简谐运动,已知振幅为A,周期为T,初相φ=-1
3
π,则振动曲线是()
【答案】A
【解析】根据题意可以写出振动表达式为x=A cos(ωt+φ)=A cos(2π
T t-π
3
),故选项
A正确。

故选A。

二、多选题：
10.(2020·海口高二检测)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动方程为x=5sin(10πt+) cm。

下列说法正确的是( )
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t=0时,振子位于N点
D.t=0.05 s时,振子具有最大速度
【答案】BCD
【解析】MN间距离为2A=10 cm,选项A错误;因ω=10π rad/s可知振子的运动周期是T== s=0.2 s,选项B正确;由x=5sin(10πt+) cm可知t=0时,x=5 cm,即振子位于N点,选项C正确;由x=5sin(10πt+) cm可知t=0.05 s 时x=0,此时振子在O点,振子速度最大,选项D正确。

故选：BCD。

11．(2020·阜阳高二检测)如图所示,一质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从质点通过O点时开始计时,经过0.9 s质点第一次通过M点,再继续运动,又经过0.6 s质点第二次通过M点,该质点第三次通过M点需再经过的时间可能是( )
A.1.0 s
B.1.2 s
C.2.4 s
D.4.2 s
【答案】AD
【解析】根据题意可以判断质点通过MB之间的距离所用的时间为
0.3 s,质点通过O点时开始计时,经过0.9 s质点第一次通过M点分两种情况考虑:(1)质点由O点向右运动到M点,则OB之间所用的时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s,根据对称性,OA之间所用的时间也为1.2 s,第二次通过M点到第三次通过M点所用的时间为2t MO+2t OA=2×0.9s+2×1.2s=4.2 s。

(2)质点由O点先向左运动再到M点,则从O→A→O→M→B所用的时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s,为个周期,则周期为1.6 s,第三次经过M点所用的时间为1.6 s-2t MB=1.6 s-0.6 s=1.0 s。

故A、D 正确,B、C错误。

故选：AD。

12．一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系曲线如图所示,由图可知
( )
A.质点振动频率是4 Hz
B.t=2 s时,质点的加速度最大
C.质点的振幅为2 cm
D.t=2 s时,质点的位移是2 cm
【答案】BC
【解析】由图象知:质点的周期是4 s,频率是Hz,A错;t=2 s时,质点的加速度最大,B对;由图线知质点的振幅为2 cm,C对;t=2 s时,质点的位移是-2 cm,D 错。

故选：BC。

13．如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。

以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。

t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。

取重力加速度的大小g=10 m/s2。

以下判断正确的是 ( )
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
【答案】AB
【解析】t=0.6 s时,物块的位移为y=0.1sin(2.5π×0.6) m=-0.1 m;则对小球h+|y|=gt2,解得h=1.7 m ,选项A正确;简谐运动的周期是T== s =0.8 s,选项B正确;0.6 s内物块运动的路程是3A=0.3 m,选项C错误;t=0.4 s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。

故选：AB。

14.有两个振子做简谐运动的振动方程分别是:x1=3sin(100πt+)cm,
x2=5sin(100πt+)cm,下列说法正确的是( )
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
【答案】BC
【解析】依据两个振动方程我们知道:方程1代表的振子振动振幅为3 cm;频率为ω1=2πf1=100π,则f1=50 Hz;初相为。

方程2代表的振子振动振幅为5 cm,圆频率为ω2=2πf2=100π,则f2=50 Hz;初相为。

所以,选项A错,B对;由于振子的振动周期相同,所以它们的相位差为-,有确定的值,故选项C正确。

只有两个频率相同的振动,且相位差φ2-φ1=2nπ(n=0,±1,±2,…)时,它们的振动步调才会一致,由于振子的相位差为-=,因此它们的振动步调不一致。

选项D不对。

故选：BC。

15.下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是()
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关
【答案】BD
【解析】振幅是标量,故选项A错误;周期和频率互为倒数,即T=1
,故选项B
f
正确;简谐运动的周期、频率由系统本身决定,与振幅没有关系,故选项C错误,D正确。

故选：BD。

三、非选择题：
16.如图所示,一质点沿水平直线做简谐运动,先后以相同速度通过a、b两点,经历时间t ab=1 s,过b点后再经t′=1 s质点第一次反向通过b点。

若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm,试求该质点的振动周期和振幅。

【答案】4 s 4 cm
【解析】简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动,因为通过a、b两点时的速度相同,所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置。

根据简谐运动的对称性,可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同,即t ba=t ab=1 s,质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间t ada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间t bcb相等,即t ada=t bcb=t′=1 s。

综上所述,质点的振动周期为T=t ab+t bcb+t ba+t ada=4 s。

由图和简谐运动的对称性可知,质点在一个周期内通过的路程为s=2+2+2 =2(+2)=2×8 cm=16 cm。

所以质点的振幅为A==4 cm。

17．弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。

①求弹簧振子振动周期T。

②若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程。

③若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置计时,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图象。

【答案】见解析
【解析】①弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示。

由对称性可得:T=0.5×2 s=1.0 s。

②B、C间的距离为2个振幅,则振幅A=×25 cm=12.5 cm。

振子4.0 s内通过的
路程为:s=4×4×12.5 cm=200 cm。