干旱区绿洲植被退化模型的定性分析

干旱区绿洲植被退化模型的定性分析
冯建纲;阿布都热西提·阿布都外力
【摘要】考虑水资源对绿洲植被的影响，参考捕食模型，根据数学物理原理建立干旱区绿洲数学模型，并利用常微分方程稳定性理论对该模型进行定性分析，证明了模型在第一象限内无闭轨及平衡解的稳定性。

该研究为保护干旱区绿洲植被、实现可持续发展战略提供了基础资料和理论依据。

%In this paper ,we considerd the influence of the water resources on the desert diffusion , refered to predator-prey model ,and established a mathematical model of oases in arid areas ac-cording to the principle of mathematical physics .We analyzed the mathematical model using the dynamical systems theory in the ordinary differential equation ,and proved that there is no closed orbit and the stability of equilibrium solutions in the first quadrant model .This paper provides some basic information and data for protecting the vegetation in arid areas .
【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)001
【总页数】3页(P35-37)
【关键词】常微分方程;奇点;特征值;稳定性
【作者】冯建纲;阿布都热西提·阿布都外力
【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046
【正文语种】中文
【中图分类】O193
干旱区天然植被作为生物生态系统中的重要部分，是生态系统中物质循环和能量流动的枢纽，作为生态环境治理的一项重要措施，是退化生态系统恢复的关键所在[1]，在抑制沙漠化过程和保护生物多样性等方面有着重要的生态意义.水作为干旱区最重要的生态环境因子，不仅是干旱区绿洲生态系统构成、发展和稳定的基础和依据，而且决定着干旱区绿洲化过程与荒漠化过程这两类极具对立与冲突性的生态环境演化过程[2] .水资源是干旱区绿洲系统形成、存在和发展的基础[3] ，干旱区植被的需水来源主要来自于降水，在干旱区，植物对水的依存性更大，由于降雨量稀少,水资源的有限性，加之日照强烈，缺水使分布于绿洲周边地区的耐旱植被退化严重，植被分散而且稀疏，地表覆盖率很低甚至大面积死亡、消失[4]，造成环境进一步恶化，特别是在干旱、半干旱地区往往是灾难性的[5].基于以上的情况，考虑水分胁迫条件下植被的生长模型，在捕食模型的基础上，根据数学物理原理,给出了如下模型[6-10]：
(1)
式中：a,b,c,n,r,β皆为正常数；x(t)表示t时刻区域内地下水资源(土壤含水量)；y(t)表示t时刻区域内植被密度；r表示地下水的增量(主要是降雨量)；c表示因土壤渗透而导致的水的损失率；n表示单位密度植被蒸散量；β表示因缺水而导致的植被死亡率；bxy表示植被对水的吸收量；axy表示植被的生长量.
1 预备知识
为了研究模型的稳定性态，我们需要用到如下知识点.
定义1 形如=g(x,y),y∈R n的方程组称为非线性方程组.
定义2 如果对任意给定的ε>0，存在δ>0(δ一般与ε和t0有关)，使当任一x0满足‖x0‖≤δ时，方程组的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)，对一切t≥t0均有‖x(t)‖<ε，则称方程组的零解x=0为稳定的.如果零解x=0稳定，且存在这样的δ0>0,使当‖x0‖≤δ0时，恒有则称零解x=0为渐近稳定的.
定义3 对驻定微分方程组=f(y)，y∈D⊆Rn，方程组f(y)=0的解y=y*表示为相空间中的点，它满足微分方程组，故称为平衡解(驻定解、常数解)，又称为奇点(平衡点).
定理1[11] (Bendixson-Dulac判别法)若在单连通域G内存在函数,B(x,y)∈C1(G)使得(x,y)∈G且不在G的任一子区域内恒为零，则系统不存在全部位于G内的闭轨线.函数B(x,y)常称为Dulac函数.
定理2[12] 非线性微分方程组其中R(0)=0且满足条件：(当‖X‖→0),我们称常系数线性微分方程组是与相对应的一次近似方程组；若矩阵A的特征根均具有负实部或至少有一个特征根具有正实部，则非线性方程组与其一次近似方程组的零解的稳定性态一致.
定理3 [13] 对应于矩阵A的特征根的不同情况，关于微分方程组的零解的稳定性态有以下结论：
(1)若特征根均具有负实部，则方程组的零解是渐进稳定的.
(2)若有正实部的特征根，则方程组的零解是不稳定的.
2 主要结果
定理4 系统(1)在第一象限内无闭轨.
证明取Dulac函数B(x,y)=xkym，其中k,m为待定常数.则
krxk-1ym-(k+1)cxkym-(k+1)bxkym+1+
amxk+1ym-1-(m+1)βxkym
取k=m=-1，则D=-rx-2y-1-ay-2.因为r>0，a>0,在第一象限内x>0,y>0，故
D<0.由Dulac准则，系统(1)在第一象限内无闭轨.
定理5 说明植被的退化是不会周期发生的.
下面我们考虑系统(1)的平衡点的稳定性情况，考虑如下方程
(2)
求得系统的两个平衡点和
定理6 当时,系统(1)在是渐近稳定的.
证明做变换系统(1)变为
(3)
其一次近似系统上的Jacobi矩阵为
模型(3)对应的一次渐近模型的Jacobi矩阵特征值为:所以当由定理3可知：系统(1)在是渐近稳定的.
定理7 说明当降雨量过少即此时植被对水的消耗过少，植被将不能生存.
定理8 当时，系统(1)的唯一正解是渐近稳定的.
证明记做变换x*=x-x0，y*=y-y0，系统(1)变为
(4)
其一次近似系统上的Jacobi矩阵为
λ2+(c+by0)λ+ar-βc=0
当时，模型(4)对应的一次渐近模型的Jacobi矩阵特征值为
显然λ1<0,λ2<0，由定理8可知：系统(1)在是渐近稳定的.
定理9 说明当降雨量充足时，植被密度取决于水的供给数量.
3 结束语
水是干旱区各种资源中最为重要的资源之一，是植被生存极其重要的因子.通过对模型的定性分析可知：当干旱区的降雨过少，土壤渗透和蒸腾作用过强时，植被的生长受到抑制，将导致植被大量死亡，植被稀疏，出现地表裸露.干旱区植被密度取决于水的数量，有水成绿洲，无水成荒漠.因此，增加干旱区水的供给，如对干旱区采取人工灌溉等输水工程，植被密度将会增加，这也是防止植被退化和保护绿洲规模的主要手段之一.
【相关文献】
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[4] 阿布都热合曼·哈力克.基于生态环境保护的且末绿洲生态需水量研究[J].干旱区资源与环境，2012,26(7):20-25.
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