中考数学复习 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形数学课件

A,C,E 在同一条直线上,可以说明△ ABC≌△EDC,得 AB=DE,因
是:BC=CD,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,
此测得 DE 的长就是 AB 的长,判定△ ABC≌△EDC,最恰当的理
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等
由是 (
的三角形是全等三角形,即 ASA 这一方法.
)
图 18-14
)
(2)有两边和一角对应相等的两个三角形全等; (
)
(3)三个角对应相等的两个三角形全等; (
)
(4)面积相等,且有一边相等的两个三角形全等;
(5)两个等边三角形一定全等;
(
(6)两个等腰直角三角形一定全等. (
(
)
)
)
第十四页，共二十八页。
(2)× (3)× (4)×
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[方法模型] 全等三角形的基本模型
5.下列结论错误的是 (
)
[答案]B
A.全等三角形对应边上的中线相等
B.两个直角三角形中,两个锐角相等,则这两个三角形全等
C.全等三角形对应边上的高相等
D.两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,则这两个三角
形全等
第十二页，共二十八页。
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6.如图 18-5,△ ABC 的两条高 AD,BE 相交于点 F,请添加一个条
第二页，共二十八页。
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考点(kǎo diǎn)二
全等三角形的性质
全等三角形的对应边①
相等(xiāngděng)
,
全等三角形的对应角②
相等
.
第三页，共二十八页。
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考点(kǎo diǎn)三
全等三角形的判定
对应相等的元素
一
般
三
角
三角形是否全等
两边
两边及其夹角
全等(SAS)
一角
两边及其中一边的对角
∴PA=PD=4,∴PE=4.
第二十四页，共二十八页。
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针对(zhēnduì)训练
1.[2017·枣庄] 如图 18-17,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,以顶点 A 为圆心,
适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于 M,N,再分别以 M,N 为圆心,以
1
大于 MN 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 D,若
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.边边角
第二十二页，共二十八页。
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探究(tànjiū)三
【命题角度
角平分线
[答案] 8
[解析]作 DE⊥AB 于 E,
(jiǎodù)】
(1)利用角平分线的性质解决线段的位置与数量关系;
∵AD 是△ ABC 的一条角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
(2)角平分线的判定.
又∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即 AC=DF.
∠ = ∠,
在△ ABC 与△ DEF 中, = ,
∠ = ∠,
∴△ ABC≌△DEF(ASA),∴AB=DE.
图 18-9
第十六页，共二十八页。
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2.[2017·广州] 如图 18-10,点 E,F 在 AB 上,AD=BC,∠A=∠
1.已知两边 找直角→HL 或 SAS
找另一边→SSS
全等三角形的判定思路
2.已
知一边
和一角
边为角的对边→找任意一角→AAS
边为 找已知角的另一邻边→SAS
角的 找已知边的另一邻角→ASA
邻边 找已知边的对角→AAS
3.已知两角
找夹边→ASA
找其中一角的对边→AAS
第五页，共二十八页。
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4.已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图 18-12 所示,AB=AC,
AD=AE,∠1=∠2.
= ,
证明:(1)在△ ABD 和△ ACE 中, ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(1) 求证:BD=CE;
(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
证明:∵∠1=∠2,
BC=EC.求证:AB=DE.
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ACE,
即∠ACB=∠DCE.
= ,
在△ ABC 和△ DEC 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE.
图 18-2
第九页，共二十八页。
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3.[八上 P44 习题 12.2 第 11 题] 如图 18-3,点 B,F,C,E 在一条直
证明:∵AE=BF,
B,AE=BF.求证:△ ADF≌△BCE.
∴AE+EF=BF+EF,
即 AF=BE.
图 18-10
= ,
在△ ADF 和△ BCE 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ ADF≌△BCE(SAS).
第十七页，共二十八页。
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3.[2018·陕西] 如图 18-11,AB∥CD,E,F 分别为 AB,CD 上的
(2)求证:∠M=∠N.
即∠BAN=∠CAM,
由(1)得:△ ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.
∠ = ∠,
在△ ACM 和△ ABN 中, = ,
∠ = ∠,
图 18-12
∴△ ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.
第十九页，共二十八页。
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探究二 利用(lìyòng)全等三角形解决实际问题
2
CD=4,AB=15,则△ ABD 的面积为
(
)
[答案] B
[解析] 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线,
过点 D 作 DE⊥AB 于 E,又∵∠C=90°,
1
∴DE=CD,∴△ ABD 的面积=2AB·DE=
1
2
图 18-17
A.15
B.30
C.45
D.60
第二十五页，共二十八页。
×15×4=30.故选 B.
件,使得△ ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的
条件是
.
图 18-5
第十三页，共二十八页。
[答案] 答案不唯一,如 CA=CB,CE=CD 等.
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探究一
全等三角形性质与判定(pàndìng)的综合运用
[答案](1)√
例 1 判断正误:
(5)× (6)×
(1)有一边和两角对应相等的两个三角形全等; (
“SSA”与“SAS”易混淆,对判定
(pàndìng)三角形全等要求至少有一组边相等易忽略.
4.如图 18-4,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ ABC
≌△DCB 的是
(
)
图 18-4
A.∠A=∠D
B.∠ACB=∠DBC
C.AC=DB
D.AB=DC
第十一页，共二十八页。
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不一定全等
两角
两角及其夹边
全等(ASA)
一边
两角及其中一角的对边
全等(AAS)
形
直角三角形
总结
三角
不一定全等
三边
全等(SSS)
斜边、直角边
全等(HL)
判定一般三角形全等,无论用哪种方法,都要有三组元素对应相等,
且其中最少要有一组对应边相等
第四页，共二十八页。
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全等三角形的判定思路:
找夹角→SAS
= ,
∴△ CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=2.5 cm.
∵DC=CE-DE,DE=1.7 cm,
图 18-1
∴DC=2.5-1.7=0.8 (cm),∴BE=DC=0.8 cm.
第八页，共二十八页。
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2.[八上 P55 复习题 12 第 3 题] 如图 18-2,CA=CD,∠1=∠2,
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
图 18-13
(2)∵一块墙砖的厚度为 a cm,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得:△ ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,
在 Rt△ ACD 中,AD2+CD2=AC2,∴(4a)2+(3a)2=252,∵a>0,∴a=5,
∠DCB,AD 过点 P,且与 AB 垂直.若 AD=8,则点 P 到 BC
的距离是
[答案] 4
[解析]过点 P 作 PE⊥BC 于 E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,
.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,
图 18-16
答:砌墙砖块的厚度 a 为 5 cm.
第二十一页，共二十八页。
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(zhēnduì)训练
针对
如图 18-14,要测量河两岸相对的两点 A,B 间的距离,先在 AB 的
[答案] B
垂线 BF 上取两点 C,D,使 BC=CD,再作出 BF 的垂线 DE,使点
[解析] 因为证明△ ABC≌△EDC 用到的条件
考点(kǎo diǎn)五
角平分线的性质
性质
判定
角平分线上的点到角两边的① 距离( jùlí)
相等
角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的② 平分线 上
第七页，共二十八页。
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对点演练(yǎn
liàn)
[答案] 0.8 cm
题组一 教材(jiàocái)题
[解析] ∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+
证明:∵AB∥CD,∴∠A=∠D.
点,且 EC∥BF,连接 AD,分别与 EC,BF 相交于点 G,H.若
∵EC∥BF,∴∠CGD=∠AHB.
AB=CD,求证:AG=DH.
∵AB=CD,∴△ ABH≌△DCG.
∴AH=DG.∴AH-GH=DG-GH,
即 AG=DH.
图 18-11
第十八页，共二十八页。
证明:∵AB∥DE,
线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证:AB=DE,AC=DF.
∴∠B=∠E.
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵BF=CE,∴BC=EF,
图 18-3
∴△ ABC≌△DEF,
∴AB=DE,AC=DF.
第十页，共二十八页。
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题组二
易错题
[答案] C
【失分点】
∴DE=DC=2,
例 3 (1)如图 18-15 所示,在△ ABC 中,∠C=90°,AB=8,AD
∴△ ABD 的面积=2×AB×DE=8.
是△ ABC 的一条角平分线.若 CD=2,则△ ABD 的面积
为
;
图 18-15
第二十三页，共二十八页。
1
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例 3 (2)如图 18-16,AB∥CD,BP 和 CP 分别平分∠ABC 和
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2.[2018·广安] 如图 18-18,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥
[答案] 2
OB 于 C,若 EC=1,则 OF=
[解析] 过点 E 作 ED⊥OA 于点 D.
.
∵EF∥CO,∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCEB 中, ∠ = ∠,∴△ ADC≌△CEB(AAS).
= ,
第二十页，共二十八页。
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例 2 课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图 18-13.
UNIT FOUR
第四单元(dānyuán)
第 18 课时(kèshí) 全等三角形
第一页，共二十八页。
三角形
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考点(kǎo
diǎn)聚焦
考点(kǎo diǎn)一
全等图形及全等三角形的概念
1.全等图形:能够 完全重合
的两个图形就是全等图形.
2.全等三角形:能够完全重合的两个三角形就是全等三角形.
一、轴对称型
图 18-6
二、旋转对称型(中心对称型)
图 18-7
三、平移型
图 18-8
第十五页，共二十八页。
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针对(zhēnduì)训练
1.[2017·泸州] 如图 18-9,点 A,F,C,D 在同一条直线上,已知
AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF.
求证:AB=DE.
证明:∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE,
例 2 课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图 18-13.
(1)求证:△ ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知 AC=25 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a(单位:cm)的大小(每块砖的厚度相等).
图 18-13
解:(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,
1.[八上 P56 复习题 12 第 9 题改编] 如图 18-1,∠ACB=90°,AC=BC,AD
⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,若 AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,则 BE 的长
为
.
∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
∠ = ∠,
在△ CEB 和△ ADC 中, ∠ = ∠,
考点(kǎo diǎn)四
利用“尺规”作三角形的类型
(1)
已知三角形的三边,求作三角形
(2)
已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
(3)
已知三角形的两角及其夹边,求作三角形
(4)
已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形
(5)
已知直角三角形一条直角边和斜边,求作三角形
第六页，共二十八页。
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