高中数学 2.1《数列(2)》教案(苏教版必修5)

第 2 课时：§2.1 数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3.理解数列的前n 项和与n a 的关系；掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．
4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
二、过程与方法
经历数列知识的感受及理解运用的过程。

三、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：
重点：数列的递推公式的理解与应用；
难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.
2.提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩
，能写出这个数列的前5项吗？ 思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
二、研探新知
1．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a
依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），以及任一项n a 与前面一项n a （或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{}n a 的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n （2）数列的前n 项的和
数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .
1S 表示前1项之和：1S =1a
2S 表示前2项之和：2S =21a a +
……
1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a
n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.
∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.
（3）n S 与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即11(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意
验证1n =的情况． 证明：显然1=n 时 ，
11S a = 当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21，1211--+++=n n a a a S
∴n n n a S S =--1∴⎩⎨⎧-=-1
1S S S a n n n )1()2(=≥n n 注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a
（4）数列的单调性：
设D 是由连续的正整数构成的集合，若对于D 中的每一个n 都有n n a a >+1（或n n a a <+1），则数列}{n a 在D 内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
①);()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ②.1
23121-⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a 注意：1．求数列的通项公式与求数列的前n 项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对)(n f a n =求导，应先对函数)(x f y =求导，然后再分析)(n f 的单调性.
3．n a 与n S 的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“2≥n ”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩
写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：11
1-+=n n a a 解：据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，5
8,3511534==+=a a a 变题：已知数列{}n a 的首项1112,1(1)n n a a n a -==
->，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例2已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a
变题：若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的第几项？
例3已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由n n a a 21=+∴12-=n n a a 即
21=-n n a a ∴11
2322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴n n n a a 2211=⋅=- 变题：若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，写出该数列的前四项．
例4已知数列{}n a 的前n 项和为①n n S n -=22；②12++=n n S n 。

求数列{}n a 的通项公式。

解：①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时
11=a 也适合 34-=n a n
②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=
∴⎩
⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n 思考题：已知数列{}n a 为3,7,11,15
，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通
项公式.
例5已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的通项公式．
解：（1）当1n =时，2
11222a S ==-=；
当2n ≥时，11122(22)222n n n n n n n n a S S ++-=-=---=-=；所以2n n a =．
（2）因为1n n n b a a +=+，且2n n a =，112n n a ++=，所以12232n n n n b +=+= 说明：由数列{}n a 的前n 项和n S 求n a 时，要注意分1n =和2n ≥讨论，然后将1n =代入2n ≥所得的通项公式，看结果是否符合1n =的情况，不是则需要写成分段形式．
四、巩固深化，反馈矫正
1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1)1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2)1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).
(3) 1a ＝1, 1+n a ＝2
2+n n a a (n ∈N)； 2.已知数列{}n a 满足11a =，122
n n n a a a +=
+*()n N ∈，写出它的前5项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式． 3.数列{}n a 的前n 项和n S 满足lg(1)1n S n +=+，求该数列的通项公式．
4.解答下述问题：（I ）数列 1
41,21,}{211-=-=+n a a a a n n n 中，求数列}{n a 的通项公式. （II ）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.
五、归纳整理，整体认识
1．递推公式及其用法；递推公式（简单阶差、阶商法）
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系. 3．n S 的定义及与n a 之间的关系，由数列的前n 项的和n S 求数列的通项公式的过程．
六、承上启下，留下悬念
１．数列{}n a 中，10a =，113n n n
a a a ++=
-，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
２．数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++*()n N ∈，求该数列的通项公式． 3．根据数列1a =1,n a =1-n a +11
-n a （n ≥2）的首项和递推公式，写出它的前五项
七、板书设计（略）
八、课后记：
1.重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。

了解递推公式也是数列的一种表示方法。