2020-2021初中数学反比例函数全集汇编及答案

2020-2021初中数学反比例函数全集汇编及答案
一、选择题
1．当0x <时，反比例函数2y x =-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大
C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小
D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 【答案】B
【解析】
【分析】
反比例函数2y x =-
中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可． 【详解】
解：Q 反比例函数2y x
=-中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；
又0x <Q ，
∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x
=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
2．如图，A ，B 是反比例函数y=
4x
在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12
×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出
S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12
×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3． 【详解】∵A ，B 是反比例函数y=
4x
在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A （2，2），
当x=4时，y=1，即B （4，1），
如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， 则S △AOC =S △BOD =12
×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，
∴S △AOB =S 梯形ABDC ，
∵S 梯形ABDC =
12（BD+AC ）•CD=12
×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，
故选B ．
【点睛】本题考查了反比例函数()0k y k x
=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12
|k|是解题的关键．
3．若函数2m y x
+=
的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞﹣2
B ．m ＜﹣2
C ．m ＞2
D ．m ＜2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围．
【详解】
∵函数2m y x +=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0，
解得m ＜-2．
故选B ．
4．如图，过反比例函数()0k y x x
=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】 根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.
【详解】
解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆=
= 又因图象过第一象限, 122
AOB S k ∆=
=，解得4k = 故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.
5．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x
=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【详解】
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，
∴a ＜0，
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，
∴c=0，
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，
∴a ，b 同号，
∴b ＜0，
∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，
反比例函数y=b x
图象分布在第二、四象限， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
6．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）
A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>
B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80
C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半
D ．当60100V 剟
时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D
【解析】
【分析】
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070
V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解．
【详解】
解：当V=60时，P=100，则PV=6000，
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070
＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．
7．函数21a y x
--=（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 2＜y 3＜y 1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：当x=-4时，y 1=214
a ---； 当x=-1时，y 2=211
a ---， 当x=2时，y 3=212
a --， ∵-a 2-1＜0，
∴y 3＜y 2＜y 1．
故选B.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质数形结合思想解题是关键．
8．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1
(0)k y x x =
>和2(0)k y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．12PM QM k k =
C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称
D ．△POQ 的面积是()1212
k k + 【答案】D
【解析】 【分析】
【详解】
解：根据反比例函数的性质逐一作出判断： A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；
B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正
值，故12
PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误； D ．∵|1k |=PM•MO ，|2k |=MQ•MO ，
∴△POQ 的面积=
12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212
k k +． 故此选项正确．
故选D ．
9．如图，是反比例函数3y x =和7y x
=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）
A ．10
B ．4
C ．5
D ．从小变大再变小
【答案】C
【解析】
【分析】 连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】
连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ．
∵AB ∥x 轴，
∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴，
∵73522
ABO BOC AOC S S S -=+=
+=V V V ， ∴APB △的面积是：5．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．
10．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点()
,0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）
A ．12
B ．1
C ．32
D ．52
【答案】D 【解析】
【分析】
先根据反比例函数解析式求出A ，B 的坐标，然后连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而求出P '的坐标，进而利用面积公式求面积即可．
【详解】
当12
x =时，2y = ，当2x =时，12y = ，
∴
11 (
,2),(2,)
22
A B．
连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P在P'位置时，PA PB AB
-=,即此时AP BP
-的值最大．
设直线AB的解析式为y kx b
=+，
将
11
(,2),(2,)
22
A B代入解析式中得
1
2
2
1
2
2
k b
k b
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
解得
1
5
2
k
b
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线AB解析式为
5
2
y x
=-+．
当0
y=时，
5
2
x=，即
5
(,0)
2
P'，
1155
2
2222
AOP A
S OP y
'
∴=⋅=⨯⨯=
V
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP
-何时取最大值是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，90
ABC
∠=︒，CA x
⊥轴，点C在函数()0
k
y x
x
=>的图象上，若1
AB=，则k的值为（）
A ．1
B ．22
C ．2
D ．2
【答案】A
【解析】 【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的 值，本题得以解决．
【详解】
Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，
45BAC BAO ︒∴∠=∠=，
22
OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝，
Q 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上， 2212
k ∴=⨯=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．反比例函数y=
的图象如图所示，则一次函数y=kx+b （k≠0）的图象的图象大致是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由反比例函数的图象得到k ，b 同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【详解】
∵y=的图象经过第一、三象限，
∴kb ＞0，
∴k ，b 同号，
选项A 图象过二、四象限，则k ＜0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；
选项B 图象过二、四象限，则k ＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k ，b 不同号，故此选项不合题意；
选项C 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴负半轴，则b ＜0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；
选项D 图象过一、三象限，
则k ＞0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 同号，故此选项符合题意； 故选D ．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
13．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x
=
≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．25
D ．6 【答案】B 【解析】
【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，）
，求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值． 【详解】
设E 的坐标是m n k mn =（，），，
， 则C 的坐标是（m ，2n ），
在mn y x = 中，令2y n =，解得：2
m x =， ∵1CDE S =V ，
∴111,12222
m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =
∴4k =
故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．
14．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x
在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【解析】
【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=
k x
的图象在第二四象限，据此即可作出判断.
【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，
∴△=4﹣4（k+1）＞0，
解得k ＜0，
∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，
反比例函数y=k x 的图象在第二四象限， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.
15．已知反比例函数b y x
=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c y x a a
=
+的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数
b c y x a a
=
+的图象所经过的象限． 【详解】 ∵反比例函数b y x
=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0，
∵该交点横坐标为1，
∴y=a+c ＜0，
∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴只有一个交点， ∴240b ac -=，即：240b ac =>，
∴a ＜0，c ＜0，
∴0b a
>，0c a >， ∴b c y x a a
=
+的图象过一、二、三象限． 故选B ．
【点睛】 本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．
16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x
=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）
A 2
B ．12
C ．14
D 3【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函
数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121
＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出
2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，
∠CAO ＝∠BOD ，
∴△ACO ∽△BDO ，
∴2()S OBD OB S AOC OA
∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121
＝12 ， ∴2OB OA = 故选A ．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解
17．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，则
y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.【详解】
∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，
∴
111 44
y=-=
-，
2
11
22
y=-=
-
，
3
1
2
y=-，
又∵﹣1
2
＜
1
4
＜
1
2
，
∴y3＜y1＜y2，
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
18．已知反比例函数y=﹣8
x
，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象
限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】
①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x ＞﹣1，﹣y ＞8，故④错误， 故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
19．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x
（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）
A ．12
B ．﹣12
C ．6
D ．﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】 △ABC 的面积＝12
•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】 解：设：A 、B 点的坐标分别是A （
1k m ，m ）、B （2k m ，m ）， 则：△ABC 的面积＝
12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m ）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝12．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
20．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x
=>的图象上，点C ，D 在反比例函数
(0)k y k x
=>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，列出方程，求解得出答案.
【详解】
把x=1代入1y x
=得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =
得：y=12, ∴B(2, 12
), ∵AC//BD// y 轴,
∴C(1,K),D(2,k 2) ∴AC=k-1,BD=
k 2-12， ∴S △OAC =
12（k-1）×1, S △ABD =12 (k 2-12)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为
32， ∴12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=32
，解得：k=3;
故答案为B.
【点睛】
:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.。