人教B版高中数学必修第三册8.2.2第2课时两角和与差的正切
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知识点 二 两角差的正切公式 tanα－tanβ
tan(α － β) ＝ 01 __1_＋__ta_n_α_t_a_n_β__ ， 记 作 Tα － β. 它 成 立 的 条 件 是 02 __________α_≠__k_π_＋__π2_，__β_≠__k_π_＋__π2_，__α_－__β_≠__k_π_＋__π2_(k_∈__Z_)______________.
A．－ 3
B. 3
3 C. 3 解析
D．－
3 3
tan32°＋tan88° tan32°＋tan88° 1＋tan32°tan92°＝1－tan32°tan88°＝tan(32°＋88°)＝tan120°＝－
3.
解析 答案
4．已知 M＝sin100°－cos100°，N＝ 2(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)，
∵tanβ＝－17，β∈(0，π)，∴β∈π2，π，∴－π<α－β<0.
解析 答案
而 tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1t－ antaαn－αβ－＋βttaannαα＝1－12＋12×31 31＝1，∴2α －β＝－34π.
因为 0<α<π2，π<β<32π，
所以 π<α＋β<2π，所以 α＋β＝54π.
解
题型三 公式的综合应用
例 3 已知在△ABC 中，满足 tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanAtanB，且 sinAcosA
＝ 43，判断△ABC 的形状．
tanA＋tanB
[解] 由 tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanAtanB，得1－tanAtanB＝－ 3，
第八章 向量的数量积与三角 恒等变换
8．2 三角恒等变换 8．2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切
(教师独具内容) 课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2. 能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换． 教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用．
解
题型二 给值求值或求角
例 2 已知 tanα＝13，tanβ＝－20<α<π2，2π<β<π.求：(1)tan(α－β)；(2)α ＋β.
[解] (1)∵tanα＝13，tanβ＝－2， ∴tan(α－β)＝1ta＋nαta－nαttaannββ＝113＋ －223＝7.
解
(2)tan(α＋β)＝1ta－nαta＋nαtatannββ＝113－ ＋223＝－1. ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π， ∴α＋β＝34π.
1－tan10°
tan22°＋tan23°
P＝1＋tan10°，Q＝1－tan22°tan23°，那么 M，N，P，Q 之间的大小顺序是
() A．M<N<P<Q
B．P<Q<M<N
C．N<M<Q<P
D．Q<P<N<M
答案
解析 M＝sin100°－cos100°＝ 2sin(100°－45°)＝ 2sin55°>1， N＝ 2(cos46°cos78°＋cos44°cos12°) ＝ 2(sin44°cos78°＋cos44°sin78°) ＝ 2sin122°＝ 2sin58°>M，
3 3.
解
给角化简求值的策略 (1)分析式子的结构，正确选用公式形式． Tα±β 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先 从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意 整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用． 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所 对应的特殊角的正切值去代换．
即 tan(A＋B)＝－ 3.∴tanC＝－tan(A＋B)＝ 3，从而 C＝60°.
由 sinAcosA＝ 43，得 sin2Acos2A＝136化为 16cos4A－16cos2A＋3＝0，
解得 cos2A＝34或 cos2A＝14，
∴cosA＝± 23或 cosA＝±12.
解
又 A∈(0，π)，∴A＝30°或 150°或 60°或 120°. 当 A＝150°或 120°时，A＋C≥180°，舍去． 当 A＝30°时，C＝60°， ∴B＝90°，与 tanB 有意义矛盾，舍去． ∴A＝60°，B＝60°，C＝60°， 即△ABC 为正三角形．
证明
3
PART THREE
随堂水平达标
1＋tan15° 1.1－tan15°的值为( )
A. 3
B．1
C.
3 3
D.
2 2
tan45°＋tan15° 解析 上式化为1－tan45°tan15°＝tan60°＝ 3.
解析 答案
2．已知 tan1°＝a，则 tan44°等于( )
A．1－a
B．1＋a
A．2
B．2＋ 3
C．4
43 D. 3
解析 tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)
tan45°－tan30° tan45°＋tan30° ＝1＋tan45°tan30°＋1－tan45°tan30°＝4.
解析 答案
tan32°＋tan88° 3.1＋tan32°tan92°等于( )
[跟踪训练 2] 已知 tanα，tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根，且 0<α<π2，
π<β<32π，求 α＋β 的值．
解 因为 tanα，tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根，
所以 tanα＋tanβ＝56，
5 tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝1ta－nαta＋nαtatannββ＝1－6 16＝1，
解
在三角形中，应用和、差角公式解题的注意点 (1)三角形的内角和等于 180°； (2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式； (3)记住常用结论：在△ABC 中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC， tan(A＋B)＝－tanC，sinA＋2 B＝cosC2等．
[跟踪训练 3] 证明：在△ABC 中,tanA2tanB2＋tanB2·tanC2＋tanC2tanA2＝1. 证明 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π，得A2＋B2＝π2－C2，且A2，B2，C2，A2
[跟踪训练 1] 求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°tan43°；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)． 解 (1)原式＝tan(2°＋43°)(1－tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝tan45°(1－ tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝1. (2)(1＋tan1°)(1＋tan44°) ＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋tan45°(1－tan1°tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋1＝2， 同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2， … 依次类推，得原式＝222×(1＋tan45°)＝223.
3tanα＋ 3 1－tanα ＝
3tanα＋π4.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.( × )
tanα＋tanβ (2)对任意的 α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tanαtanβ.( × )
tan16°＋tan44° (3)1＋tan16°tan44°＝
3.(
×)
2．做一做 tan75°－tan15°
(1)1＋tan75°tan15°＝( A．－ 2 C．－ 3
) B. 2 D. 3
答案
(2)已知 tanα＝1，tanβ＝2，则 tan(α＋β)＝_____－__3_____. (3)若 tanα－π4＝2，则 tanα＝_____－__3_____.
课后课时精练
A级 “四基”巩固训练
一、选择题
1．已知 cosα＝－45，且 α∈π2，π，则 tanα＋π4等于(
)
A．－17
B．－7
1 C.7
D．7
解析 由 cosα＝－45，且 α∈π2，π，得 tanα＝－34， ∴tanα＋π4＝1－－－34＋341×1＝17.
解析 答案
2．tan15°＋tan75°＝( )
解析 答案
4．已知 tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且 α，β∈(0，π)，则 2α－β 的值为 ____________.
答案 解析
－34π tanα＝tan[(α－β)＋β]＝1ta－ntaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－1212－ ×71－17＝13，而 α
∈(0，π)，∴α∈0，π2.
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 给角化简求值
1－tan75° 例 1 求值：(1)tan105°；(2)1＋tan75°.
tan60°＋tan45° 3＋1
[解]
(1)原式＝tan(60°＋45°)＝1－tan60°tan45°＝1－
＝－(2＋ 3
3)．
tan45°－tan75° (2) 原 式 ＝ 1＋tan45°tan75°＝ tan(45°－ 75°) ＝ tan( － 30°) ＝ － tan30°＝ －
解析
tan55°－tan385° 5．求值：1－tan－305°tan－25°.
tan55°－tan360°＋25° 解 原式＝1＋tan－360°＋55°tan25°
tan55°－tan25° ＝1＋tan55°tan25°＝tan(55°－25°)＝tan30°＝
3 3.
解
4
PART FOUR
1．公式 Tα±β 的结构特征和符号规律 (1)公式 Tα±β 的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分 母为 1 与 tanαtanβ 的差或和． (2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．公式 Tα±β 的角的范围 (1)公式中的 α，β，α＋β，α－β 都不能等于 kπ＋π2，k∈Z. (2)当 tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题， 但可以改用诱导公式或其他方法．
1＋a C.1－a
1－a D.1＋a
tan1°＋tan44° 解析 利用 1°＋44°＝45°可得 tan45°＝1－tan1°tan44°.将 tan1°＝a 代入
1－a 上式，解得 tan44°＝1＋a.故选 D.
解析 答案
3．计算 tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝____________. 答案 3 解析 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋ 3tan20°tan40°＝ 3.
＋B2都不等于π2，
∴tanA2＋B2＝tanπ2－C2 ， ∴1ta－nAt2a＋nA2tatannB2B2＝ta1nC2 ，
∴tanC2 tanA2＋tanB2＝1－tanA2tanB2，
证明
∴tanC2 tanA2 ＋tanB2 tanC2 ＝1－tanA2 tanB2， ∴tanA2tanB2 ＋tanB2 tanC2 ＋tanC2 tanA2＝1.
解
给值求值或求角问题的解题策略 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函 数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的 关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数 与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． (3)在给值求角的过程中把握好两点： ①限定角的范围． ②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点 一 两角和的正切公式 tanα＋tanβ
tan(α ＋ β) ＝ 01 _1_－__t_a_n_α_ta_n_β__ ， 记 作 Tα ＋ β. 它 成 立 的 条 件 是 02 ____________α_＋__β_≠__k_π_＋__π2_，__α_≠__k_π_＋__π2_，__β_≠__k_π_＋__π2_(_k∈__Z__) ___________.
3．公式灵活变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
tanα＋tanβ tanα－tanβ (2)tanαtanβ＝1－ tanα＋β ＝ tanα－β －1.
(3)在 Tα±β 中，如果分子中出现“1”，常利用 1＝tan45°来代换，以达到 化简求值的目的，
如11－ ＋ttaannαα＝tanπ4－α；
tan(α － β) ＝ 01 __1_＋__ta_n_α_t_a_n_β__ ， 记 作 Tα － β. 它 成 立 的 条 件 是 02 __________α_≠__k_π_＋__π2_，__β_≠__k_π_＋__π2_，__α_－__β_≠__k_π_＋__π2_(k_∈__Z_)______________.
A．－ 3
B. 3
3 C. 3 解析
D．－
3 3
tan32°＋tan88° tan32°＋tan88° 1＋tan32°tan92°＝1－tan32°tan88°＝tan(32°＋88°)＝tan120°＝－
3.
解析 答案
4．已知 M＝sin100°－cos100°，N＝ 2(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)，
∵tanβ＝－17，β∈(0，π)，∴β∈π2，π，∴－π<α－β<0.
解析 答案
而 tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， 又 tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1t－ antaαn－αβ－＋βttaannαα＝1－12＋12×31 31＝1，∴2α －β＝－34π.
因为 0<α<π2，π<β<32π，
所以 π<α＋β<2π，所以 α＋β＝54π.
解
题型三 公式的综合应用
例 3 已知在△ABC 中，满足 tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanAtanB，且 sinAcosA
＝ 43，判断△ABC 的形状．
tanA＋tanB
[解] 由 tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanAtanB，得1－tanAtanB＝－ 3，
第八章 向量的数量积与三角 恒等变换
8．2 三角恒等变换 8．2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切
(教师独具内容) 课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2. 能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换． 教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用．
解
题型二 给值求值或求角
例 2 已知 tanα＝13，tanβ＝－20<α<π2，2π<β<π.求：(1)tan(α－β)；(2)α ＋β.
[解] (1)∵tanα＝13，tanβ＝－2， ∴tan(α－β)＝1ta＋nαta－nαttaannββ＝113＋ －223＝7.
解
(2)tan(α＋β)＝1ta－nαta＋nαtatannββ＝113－ ＋223＝－1. ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π， ∴α＋β＝34π.
1－tan10°
tan22°＋tan23°
P＝1＋tan10°，Q＝1－tan22°tan23°，那么 M，N，P，Q 之间的大小顺序是
() A．M<N<P<Q
B．P<Q<M<N
C．N<M<Q<P
D．Q<P<N<M
答案
解析 M＝sin100°－cos100°＝ 2sin(100°－45°)＝ 2sin55°>1， N＝ 2(cos46°cos78°＋cos44°cos12°) ＝ 2(sin44°cos78°＋cos44°sin78°) ＝ 2sin122°＝ 2sin58°>M，
3 3.
解
给角化简求值的策略 (1)分析式子的结构，正确选用公式形式． Tα±β 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先 从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意 整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用． 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所 对应的特殊角的正切值去代换．
即 tan(A＋B)＝－ 3.∴tanC＝－tan(A＋B)＝ 3，从而 C＝60°.
由 sinAcosA＝ 43，得 sin2Acos2A＝136化为 16cos4A－16cos2A＋3＝0，
解得 cos2A＝34或 cos2A＝14，
∴cosA＝± 23或 cosA＝±12.
解
又 A∈(0，π)，∴A＝30°或 150°或 60°或 120°. 当 A＝150°或 120°时，A＋C≥180°，舍去． 当 A＝30°时，C＝60°， ∴B＝90°，与 tanB 有意义矛盾，舍去． ∴A＝60°，B＝60°，C＝60°， 即△ABC 为正三角形．
证明
3
PART THREE
随堂水平达标
1＋tan15° 1.1－tan15°的值为( )
A. 3
B．1
C.
3 3
D.
2 2
tan45°＋tan15° 解析 上式化为1－tan45°tan15°＝tan60°＝ 3.
解析 答案
2．已知 tan1°＝a，则 tan44°等于( )
A．1－a
B．1＋a
A．2
B．2＋ 3
C．4
43 D. 3
解析 tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)
tan45°－tan30° tan45°＋tan30° ＝1＋tan45°tan30°＋1－tan45°tan30°＝4.
解析 答案
tan32°＋tan88° 3.1＋tan32°tan92°等于( )
[跟踪训练 2] 已知 tanα，tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根，且 0<α<π2，
π<β<32π，求 α＋β 的值．
解 因为 tanα，tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根，
所以 tanα＋tanβ＝56，
5 tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝1ta－nαta＋nαtatannββ＝1－6 16＝1，
解
在三角形中，应用和、差角公式解题的注意点 (1)三角形的内角和等于 180°； (2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式； (3)记住常用结论：在△ABC 中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC， tan(A＋B)＝－tanC，sinA＋2 B＝cosC2等．
[跟踪训练 3] 证明：在△ABC 中,tanA2tanB2＋tanB2·tanC2＋tanC2tanA2＝1. 证明 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π，得A2＋B2＝π2－C2，且A2，B2，C2，A2
[跟踪训练 1] 求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°tan43°；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)． 解 (1)原式＝tan(2°＋43°)(1－tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝tan45°(1－ tan2°tan43°)＋tan2°tan43°＝1. (2)(1＋tan1°)(1＋tan44°) ＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋tan45°(1－tan1°tan44°)＋tan1°tan44° ＝1＋1＝2， 同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2， … 依次类推，得原式＝222×(1＋tan45°)＝223.
3tanα＋ 3 1－tanα ＝
3tanα＋π4.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.( × )
tanα＋tanβ (2)对任意的 α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tanαtanβ.( × )
tan16°＋tan44° (3)1＋tan16°tan44°＝
3.(
×)
2．做一做 tan75°－tan15°
(1)1＋tan75°tan15°＝( A．－ 2 C．－ 3
) B. 2 D. 3
答案
(2)已知 tanα＝1，tanβ＝2，则 tan(α＋β)＝_____－__3_____. (3)若 tanα－π4＝2，则 tanα＝_____－__3_____.
课后课时精练
A级 “四基”巩固训练
一、选择题
1．已知 cosα＝－45，且 α∈π2，π，则 tanα＋π4等于(
)
A．－17
B．－7
1 C.7
D．7
解析 由 cosα＝－45，且 α∈π2，π，得 tanα＝－34， ∴tanα＋π4＝1－－－34＋341×1＝17.
解析 答案
2．tan15°＋tan75°＝( )
解析 答案
4．已知 tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且 α，β∈(0，π)，则 2α－β 的值为 ____________.
答案 解析
－34π tanα＝tan[(α－β)＋β]＝1ta－ntaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－1212－ ×71－17＝13，而 α
∈(0，π)，∴α∈0，π2.
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 给角化简求值
1－tan75° 例 1 求值：(1)tan105°；(2)1＋tan75°.
tan60°＋tan45° 3＋1
[解]
(1)原式＝tan(60°＋45°)＝1－tan60°tan45°＝1－
＝－(2＋ 3
3)．
tan45°－tan75° (2) 原 式 ＝ 1＋tan45°tan75°＝ tan(45°－ 75°) ＝ tan( － 30°) ＝ － tan30°＝ －
解析
tan55°－tan385° 5．求值：1－tan－305°tan－25°.
tan55°－tan360°＋25° 解 原式＝1＋tan－360°＋55°tan25°
tan55°－tan25° ＝1＋tan55°tan25°＝tan(55°－25°)＝tan30°＝
3 3.
解
4
PART FOUR
1．公式 Tα±β 的结构特征和符号规律 (1)公式 Tα±β 的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分 母为 1 与 tanαtanβ 的差或和． (2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．公式 Tα±β 的角的范围 (1)公式中的 α，β，α＋β，α－β 都不能等于 kπ＋π2，k∈Z. (2)当 tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题， 但可以改用诱导公式或其他方法．
1＋a C.1－a
1－a D.1＋a
tan1°＋tan44° 解析 利用 1°＋44°＝45°可得 tan45°＝1－tan1°tan44°.将 tan1°＝a 代入
1－a 上式，解得 tan44°＝1＋a.故选 D.
解析 答案
3．计算 tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝____________. 答案 3 解析 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋ 3tan20°tan40°＝ 3.
＋B2都不等于π2，
∴tanA2＋B2＝tanπ2－C2 ， ∴1ta－nAt2a＋nA2tatannB2B2＝ta1nC2 ，
∴tanC2 tanA2＋tanB2＝1－tanA2tanB2，
证明
∴tanC2 tanA2 ＋tanB2 tanC2 ＝1－tanA2 tanB2， ∴tanA2tanB2 ＋tanB2 tanC2 ＋tanC2 tanA2＝1.
解
给值求值或求角问题的解题策略 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函 数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的 关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数 与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． (3)在给值求角的过程中把握好两点： ①限定角的范围． ②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点 一 两角和的正切公式 tanα＋tanβ
tan(α ＋ β) ＝ 01 _1_－__t_a_n_α_ta_n_β__ ， 记 作 Tα ＋ β. 它 成 立 的 条 件 是 02 ____________α_＋__β_≠__k_π_＋__π2_，__α_≠__k_π_＋__π2_，__β_≠__k_π_＋__π2_(_k∈__Z__) ___________.
3．公式灵活变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
tanα＋tanβ tanα－tanβ (2)tanαtanβ＝1－ tanα＋β ＝ tanα－β －1.
(3)在 Tα±β 中，如果分子中出现“1”，常利用 1＝tan45°来代换，以达到 化简求值的目的，
如11－ ＋ttaannαα＝tanπ4－α；