2018～2019学年度贵州省遵义市凤冈二中高一第2学期第一次月考数学试题试题解析

2018～2019学年度贵州省遵义市凤冈二中高一第二学期第一
次月考数学试题
一、单选题
1.在等差数列{}n a 中,45a =,915a =,则14a =( ) A.25
B.22
C.12
D.11
【参考答案】：A
【试题解答】：由等差数列的性质有4a ,9a ,14a 也成等差数列,则有92a ＝4a ＋14a ,可得答案.
在等差数列{}n a 中,4a ,9a ,14a 也成等差数列. 所以92a ＝4a ＋14a ,即 142155a ⨯=+。

则1425a =. 故选：A
本题考查等差数列的性质,观察出下标的关系是关键,属于基础题.
2.在ABC ∆中,已知2222a c b ac +-=
,则角B 为( ) A.6
π
B.
6π或
56
π
C.
3
π
D.
3π
或
23
π 【参考答案】：A
【试题解答】：直接由余弦定理可得cos B 的值,根据角B 为ABC ∆的内角,可得答案.
在ABC ∆中,由余弦定理有222cos 22
a c
b B a
c +-==
, 又因为角B 为ABC ∆的内角,所以=6
B π
.
故选: A.
本题考查余弦定理的直接应用,属于基础题.
3.1的等差中项是( )
A.23
B.3
C.2
D.1
【参考答案】：B
【试题解答】：由等差中项的定义:b 是,a c 的等差中项,则2
a c
b +=,可得答案.
由等差中项的定义有：3-1与31+的等差中项是：(3-1)(31)
32
++=.
故选: B.
本题考查等差数列的基本性质,是基础题. 4.已知等差数列
的前项和为,若,,则( )
A.45
B.90
C.120
D.75 【参考答案】：B 【试题解答】：因为
是等差数列,设公差为,在
,解得
,
,故选B.
5.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,,a b c 若3
A π
=,3a =
1b =,则c =( )
A.1
B.2
31
D.3
【参考答案】：B
【试题解答】：根据条件由正弦定理得出角B ,再算出角C ,即可得出边c 的值.
由正弦定理有；
sin sin a b
A B
=
. 有
1sin
sin 13sin 23
b A
B a π
⨯=
==.
又31a b =>=,所以=3
A B π
>,
所以6
B π
=
,则2
C π
=
.
所以ABC V 为直角三角形,则222c a b +=. 故选：B.
本题考查正弦定理,在解三角形的相关问题中是正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.
6.在ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C 的对边,60,1A b ==o ,,则
a =( )
A.2
C.【参考答案】：D
【试题解答】：依题意11
sin 1sin 6022
S bc A c =
=⋅⋅=o ,解得4c =,由余弦定理得
a ==本题主要考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边,还给了三角形的面积,由此建立方程可求出AB 边的长,再用余弦定理即可求得
BC 边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时,主要根据题目所给的条件选择恰当的公
式解列方程.
7.已知{}n a 为等差数列,1a ＋3a ＋5a ＝105,246a a a ++＝99,以n S 表示{}n a 的前n 项和则使得n S 达到最大值的n 是( ) A.22
B.20
C.18
D.16
【参考答案】：B
【试题解答】：由条件求出{}n a 的通项公式,然后求出前n 项和的表达式,根据表达式求解最值,得到对应的n 的值.
设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . 由1a ＋3a ＋5a ＝105,得3=35a .
246a a a ++＝99,得4
33a =.
所以公差2d =-,则13239a a d =-=. 所以21(1)
402
n n n S na d n n -=+
⨯=-. 则当20n = 时,n S 有最大值. 故选：B
本题考查等数列的通项公式的求法,前n 项和的最大值,本题也可不求出n S 的表达式,根据n a 的符号进行分析,属于中档题. 8.在
中,
,那么
一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形 【参考答案】：D
【试题解答】：tanAsin 2B ＝tanBsin 2A 即
,化简得
,得
所以2A ＝2B 或
即
或
所以△ABC 是等腰或直角三角形,选D
9.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =,那么这个三角形最大角的度数是( ) A.135︒ B.90︒
C.120︒
D.150︒
【参考答案】：C
【试题解答】：利用边角互化思想得::3:5:7a b c =,利用大边对大角定理得出角C 是该三角形的最大内角,然后利用余弦定理求出cos C 的值,可得出角C 的值.
sin :sin :sin 3:5:7A B C =Q ,::3:5:7a b c ∴=,设()30a k k =>,则
5b k =,7c k =.
由大边对大角定理可知,角C 是最大角,由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-,
0180C <<o o Q ,因此,120C =o ,故选：C.
本题考查边角互化思想的应用,考查利用余弦定理解三角形,解题时要熟悉余弦定理所适用的基本类型,并根据已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理来解三角形. 10.在锐角中,角所对的边分别为,若,,则的值
为( )
A.6
B.3
C.2
D.2或3 【参考答案】：D
【试题解答】：试题分析：因为
, 所以,又因为,所
以又,由余弦定理得, ,可得,
或
,故选D.
【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式.
11.在ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C 的对边,如果,,a b c 成等差数列,30B =︒,ABC ∆的面积为
3
2
,那么b =( ) 13
+ B.1323
+ D.23
【参考答案】：B
【试题解答】：试题分析：由余弦定理得
22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--,又面积1
sin 2
ABC S ac B ∆=
13
642
ac ac =
=⇒=,因为a b c ，
，成等差数列,所以2a c b +=,代入上式可得2241263b b =--整理得2423b =+,解得13b =+故选B.
【考点】余弦定理；三角形的面积公式.
12.已知数列{}n a 满足112a =
,111()
n n
a n a +=-∈*N ,则使12100
k a a a +++<L 成立的最大正整数k 的值为 A.198 B.199 C.200
D.201
【参考答案】：C
【试题解答】：通过前6项的计算可发现该数列为周期数列且周期为3,故可以计算其前
198项和、前199项和、前200项和和前201项和后得到最大正整数k 的值.
因为112a =
,111()
n n
a n a +=-∈*N ,所以
2121a =-=-,3112a =+=,41
2
a =
,5121a =-=-,6112a =+=……故数列{}n a 是周期为3的周期数列,且每个周期内的三个数的和为3
2
,所以当198366
k ==⨯时,1231983
66991002
a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=<,
故1231991199
9910022a a a a +++⋅⋅⋅+=+=
<,
123200199197
110022a a a a +++⋅⋅⋅+=
-=<, 123201197201
210022
a a a a +++⋅⋅⋅+=+=>,
故使12100k a a a +++<L 成立的最大正整数k 的值为200,故选C.
若数列的递推关系比较复杂,我们可以先计算该数列的前若干项,通过前若干项归纳出数列的通项或数列具有的性质(如周期性、单调性等),然后再进行通项公式的推导或数列性质的证明.
二、填空题
13.在等差数列{}n a 中,已知7153,27a a ==,则11a ＝_______. 【参考答案】：15
【试题解答】：由条件求出{}n a 的通项公式,再求11a .
设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .
由7153,27a a ==有：7115
1=+63
1427a a d a a d =⎧⎨
=+=⎩. 解得：115,3a d =-=,则318n a n =-. 所以11=3111815a ⨯-=. 故答案为：15.
本题考查等差数列的通项公式的求法,本题也可由等差数列的性质有117152a a a =+直接求出答案,考查等差数列的性质,属于基础题. 14.在
中,若
,那么角C ＝______.
【参考答案】：
【试题解答】：利用三角形面积公式整理,即可得到,问题得解。

因为
,
所以,即：
所以,又
,
所以
本题主要考查了余弦定理及计算能力,属于基础题
15.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,推测第10行的第
3个数字为_______.
【参考答案】：45
【试题解答】：将每一行中的第三个数抽出来排成一列,观察其规律,计算出其通项公式,从而求出答案.
将每一行中的第三个数抽出来排成一列1,3,6,10…… 该数列的递推关系为：1+1n n a a n +-=.
∴ 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L L
＝(1)21n n +-+++L L ＝
(1)
2
n n +. 又第10行的第3个数字为该数列的第9项：945a =. 故答案为：45.
本题考查了杨辉三角中数的排列规律,解题时要通过观察、分析和归纳,发现其中的规律,从而解决问题.本题还可以由组合数的性质解决,属于中档题.
16.已知数列{}n a 满足：112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
,若167a =,则2019a ＝_________；
【参考答案】：
3
7
【试题解答】：通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即
可求得2019a .
因为数列{}n a 中167a =,满足112,02
121,12n n n n
n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨
⎪-≤<⎪⎩
所以2165
212177a a =-=⨯
-= 3253
212177
a a =-=⨯-=
4336
2277
a a ==⨯=
546521277
a a =-=⨯
= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列 所以2019673333
7
a a a ⨯=== 故答案为: 37
本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.
三、解答题
17.已知{}n a 是一个等差数列且21072,1a a a +=-=. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求{}n a 的前n 项和n S .
【参考答案】：(1)213n a n =-; (2) n S 212n n =-
【试题解答】：(1)由条件21072,1a a a +=-=,将通项公式代入,得到关于1a d ， 的方程,解出1a d ，即可得到答案.
(2)由等差数列的前n 项和公式1(1)
2
n n n S na d -=+⨯将1a d ，代入即可.
(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .
由2107
2,1a a a +=-=有：210171+=2+102
61
a a a d a a d =-⎧⎨=+=⎩. 解得：111,2a d =-=,则213n a n =-. 所以{}n a 的通项公式213n a n =-. (2)由等差数列的前n 项和公式有：
21(1)(1)
1121222
n n n n n S na d n n n --=+
⨯=-+⨯=-. 所以{}n a 的前n 项和n S 212n n =-.
本题考查等差数列的通项公式和数列的前n 项和的求法,属于基础题. 18.设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、,
.
(1)求角的大小. (2)若
,
,求.
【参考答案】：(1)
；(2)
【试题解答】：本试题主要是考查了解三角形的运用。

(1)第一问中利用正弦定理,化边为角,然后化为但一三角函数,解方程得到。

(2)再结合第一问中的结论,运用余弦定理,得到第三边的求解。

解：(1)B ＝300…………………5分 (2)b ＝
……………………5分(多解扣1分)
19.设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 ＝－62, S 6 ＝－75,求： (1)}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； (2)|a 1 |＋|a 2 |＋|a 3 |＋……＋|a 14 |. 【参考答案】：(1)a n ＝3n-23；(2) 147.
【试题解答】：试题分析：(1)由S 4＝-62,S 6＝-75,可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组,
解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ； 由(1)可知a n ,由a n ＜0得n ＜8,
从而|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|＝S 14-2S 7,计算即可.
试题解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d,依题意得1143462265675
2
a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩ , 解得a 1＝-20,d ＝3.
∴a n ＝-20＋(n-1)×3＝3n-23； S n ＝
()2203233432
2
2
n n n n -+-=-.
(2)∵a n ＝3n-23, ∴由a n ＜0得n ＜8,
∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 14|＝-a 1-a 2-…-a 7＋a 8＋…＋a 14 ＝S 14-2S 7＝
2234334314142772222⎛⎫
⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭
＝7(42-43)-7(21-43) ＝-7-7×(-22) ＝147.
【考点】数列的求和；等差数列的前n 项和.
20.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.
(I)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少？ (II)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小
值.
【参考答案】：(Ⅰ)30海里/时 (Ⅱ)10海里/时
【试题解答】：试题分析：(1)先假设相遇时小艇的航行距离为S,根据余弦定理可得到关系式S ＝
整理后运用二次函数的性质可确定答案.
(2)先假设小艇与轮船在某处相遇,根据余弦定理可得到(vt)2＝202＋(30t)2-2•20•30t•cos (90°-30°),再由t 的范围可求得v 的最小值.
(I)设相遇时小艇的航行距离为S 海里,则
, 故t ＝1/3时,S min ＝
,
答:希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇的航行时间为1/3小时. (Ⅱ)设小艇与轮船在B 处相遇
由题意可知,(vt)2＝202＋(30 t)2-2·20·30t·cos(90°-30°), 化简得：
由于0＜t≤1/2,即1/t ≥2 所以当＝2时,取得最小值,
即小艇航行速度的最小值为
海里/小时。

【考点】本试题主要考查了解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力,抽象概括能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想 点评：解决该试题的关键是能结合余弦定理和函数与不等式的思想求解最值。

21.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量
(sin ,sin sin )A B C =-m ,n =(3,)a b b c -+,且m n ⊥.
(1)求角C 的值；
(2)若ABC △为锐角三角形,且1c =,3a b -的取值范围. 【参考答案】：(1)6C π
=
；(2)(2,23)
【试题解答】：(1)根据(3)sin ()(sin sin )0m n a b A b c B C ⋅=-++-=r r
和正弦定理余弦定理求得6
C π
=
.(2)先利用正弦定理求出R ＝1,3a b -化成4sin()6
A π
-
,再利用
三角函数的图像和性质求解.
(1)因为m n ⊥,所以(3)sin ()(sin sin )0m n a b A b c B C ⋅=-++-=r r
, 由正弦定理化角为边可得22230a ab b c +-=, 即2223a b c ab +-=,由余弦定理可得3
cos 2
C =
,又0C π<<,所以6C π=.
(2)由(1)可得56
A B π
+=,设ABC △的外接圆的半径为R , 因为6
C π
=,1c =,所以1
22sin sin30c R C =
==︒
,
则
52sin 2sin 2sin )2sin(
)]6
b R A R B R A B R A A π
-=-=-=--=
2sin()4sin()66
R A A ππ
-=-,
因为ABC △为锐角三角形,所以02
5062A A πππ
⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<-<⎪⎩
,即32A ππ<<, 所以
6
6
3
A π
π
π
<-
<
,
所以
1sin()262
A π<-<
,
所以24sin()6
A π
<-<
b -
的取值范围为(2,.
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.
22.已知数列{}n a 中,*11
31,2(2,)5n n a a n n N a -=
=-≥∈,数列{}n b 满足 *1
()1
n n b n N a =
∈-. (Ⅰ)求证：数列{}n b 是等差数列；
(Ⅱ)求数列{}n a 中的最大项和最小项,说明理由.
【参考答案】：(I)证明见解析；(II)当3n =时,n a 取得最小值1-,当4n =时,n a 取得最大值3.
【试题解答】：试题分析：(I)因为1
12n n a a -=-
,*1
()1n n b n N a =
∈-,即可得到
+11n n b b -=,得到证明；(II)由(Ⅰ)知7
2n b n =-,则121127n n
a b n =+=+-,设
2
()127
f x x =+
-,利用函数的单调性,即可得到结论. 试题解析：(Ⅰ)证明：因为*1
1
2(2,)n n a n n N a -=-
≥∈, *1
()1
n n b n N a =
∈- 所以
+111
1111
1
11111121n n n n n n n n n
a b b a a a a a a +-=
-
=-=-=------- 又1115
12
b a =
=-- 所以数列{}n b 是以5
2-为首项,1为公差的等差数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)知7
2
n b n =-,
则121127
n n a b n =+
=+- 设2()127f x x =+
-,则f(x)在区间7(,)2-∞和7
(,)2
+∞上为减函数. 所以当3n =时,n a 取得最小值－1,当4n =时,n a 取得最大值3 【考点】等差数列的概念；数列的单调性的应用.。