2016-2017年上海市华东师大二附中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷
一.填空题
1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）=．
2．（3分）集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为
3．（3分）若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q 的必要非充分条件，则实数m的取值范围是．
4．（3分）已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为．
5．（3分）下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是．
6．（3分）不等式的解集为．
7．（3分）函数的定义域是．
8．（3分）若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为．
9．（3分）已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围
是．
10．（3分）函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]
上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f （x）；则f（）+f（）=．
二.选择题
11．（3分）设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q的关系是（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅
12．（3分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）
A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
13．（3分）下列判断中正确的是（）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
14．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．
三.解答题
15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；
（1）当k=4时，求上述不等式的解集；
（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．
16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？
17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；
（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；
（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；
（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．
2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）={2，4，8} ．
【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
∴M∪N={1，3，5，6，7}，
又全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
则C u（M∪N）={2，4，8}．
故答案为：{2，4，8}
2．（3分）集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为14
【解答】解：{x|1＜x＜6，x∈N*}={2，3，4，5}
该集合中含有4个元素，
所以该集合的非空真子集有24﹣2=14．
故答案为：14．
3．（3分）若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q 的必要非充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，] ．
【解答】解：命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0⇒m≤x≤m+2，
命题q：|4x﹣3|≤1⇒﹣1≤4x﹣3≤1⇒≤x≤1，
∵p是q的必要非充分条件
∴[，1]⊆[m，m+2]
∴（等号不能同时成立）⇒﹣1≤m≤
故答案为：．
4．（3分）已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为[2，3] ．
【解答】解：∵A∩B=B
∴B⊆A
∵A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，
∴满足：
解得：2≤m≤3，
综上所得实数m的取值范围是[2，3]．
故答案为[2，3]．
5．（3分）下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是2．
【解答】解：①a＞b⇒﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b；不等式两边同时加减同一个数，大小不变．∴①对．
②a＞b，，当b＜0时，不成立，②不对．
③a＞b⇒ac2＞bc2；当c=0时，不成立，∴③不对．
④a3＞b3⇒⇒a＞b，∴④对．
正确的是①④．
故答案为2．
6．（3分）不等式的解集为（﹣4，﹣3）∪（1，4）．
【解答】解：∵，
∴＜0，
解得：﹣4＜x＜﹣3或1＜x＜4，
故答案为：（﹣4，﹣3）∪（1，4）．
7．（3分）函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．
∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．
8．（3分）若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为[0，1] ．
【解答】解：∵f（x）是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，
∴，解得a=2，
则函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，
由得，0≤x≤1，
∴函数g（x）的定义域是[0，1]，
故答案为：[0，1]．
9．（3分）已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣4，1] ．
【解答】解：函数为R上的单调函数，
当x＜1，y1=2x﹣5是单调递增，其最大值小于﹣3，也是单调递增，
根据勾勾函数的性质可知：当a＞0时，y2在是单调递增，
∵的定义域为{x|x≥1}，
∴，
解得：0＜a≤1．
那么：当x=1时，函数取得小值为1+a．
由题意：，即1+a≥﹣3，
解得：a≥﹣4．
综上可得：1≥a≥﹣4．
故得实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]．
10．（3分）函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]
上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f
（x）；则f（）+f（）=．
【解答】解：由③，令x=0，则f（1）=1﹣f（0）=1，
由②，令x=1，则f（）=f（1）=，
，，，
，
，．
由③，令x=，则f（）=，
，，，
，
，．
∵，
∴f（）=．
∴f（）+f（）=．
故答案为：．
二.选择题
11．（3分）设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q的关系是（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅
【解答】解：Q={m∈R|mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，﹣4＜0恒成立；
②m＜0时，需△=（4m）2﹣4×m×（﹣4）＜0，解得﹣1＜m＜0．
综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|﹣1＜m≤0}．
因为P={m|﹣1＜m≤0}，
所以P=Q．
故选：C．
12．（3分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）
A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
【解答】解：∵x＞y＞z
∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，
∴x＞0，z＜0．
由
得：xy＞xz．
故选：C．
13．（3分）下列判断中正确的是（）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是偶函数D．是奇函数
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、，其定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故A错误；
对于B、f（x）=，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故B错误；
对于C、f（x）=，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（﹣x）===﹣f（x），f（x）为奇函数，
故C错误；
对于D、函数，其定义域为{x|﹣2≤x≤2}，关于原点对称，
则f（x）=﹣，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），
f（x）为奇函数，
故D正确；
故选：D．
14．（3分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．
【解答】解：（排除法）当则得，即
在时恒成立，而
最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，
同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项
故选：A．
三.解答题
15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；
（1）当k=4时，求上述不等式的解集；
（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．
【解答】解：（1）关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，
当k=4时，不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，
解得x＜4或x＞5，
所以不等式的解集为（﹣∞，4）∪（5，+∞）；
（2）当不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为（﹣5，4）时，
有，
解得k=﹣1或k=﹣4．
16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百
斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？
【解答】解：（1）由已知第7天的销售价格p=50﹣|x﹣6|=50﹣|7﹣6|=49，销售量q=a+|x﹣8|=a+|7﹣8|=a+1．
∴第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；
所以，第10天的销售收入为W10=p10•q10=46×42=1932（元）．
（2）设第x天的销售收入为W x，则；
当1≤x≤6时，（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W2=2116；
当8≤x≤20时，（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W 12=1936；
由于W2＞W7＞W12，所以，第2天该农户的销售收入最大．
17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；
（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；
（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）0＜x≤t，f（x）=t﹣x+，
∴f′（x）=﹣1﹣＜0，
∴函数y=f（x）在区间（0，t]上单调递减；
（2）t≤0，f（x）=x+t+，函数单调递增，无最小值，
t＞0时，x＞t，f（x）=x+﹣t，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥，
∴0＜t≤1，最小值为1．
18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；
（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x=，
①当≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣a⇒a=5，不满足a≤4，
②当≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣a⇒a ∈R⇒a≥6符合题意．
③1＜＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（）==4﹣a⇒a=6⇒a∈∅
综上：实数a的取值范围；a≥6．
（2）假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f （n）=n．
即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a ﹣4
⇒m+n=mn+3⇒m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，
当n≠1时，m=⇒m=﹣1，n=2或m=0，n=3
存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n 的解集恰好为[m，n]。