精选-新人教版必修四高中数学2.3平面向量基本定理及坐标表示课件1
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1 e1
e
1
a
特别的
0 e e 1 1 2 2
e
2
2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 组基底. 特殊的基底；
e , e 叫做这一平面内 1 2
正交
所
那么当| |=| 与 垂直时，就可以 e 1 |=1e且 e1 e2 2 建立直角坐标系…
（一）平面向量坐标的概念 在直角坐标系内，我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相同的两个单 位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对任作一个向量 : a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o 记作 a ( x, y ) ⑴
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向 原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若 a b ， a ( x , y ), b ( x , y ), 1 1 2 2
则 ( x , y ) ( x , y ), 即 x x , y y . 1 1 2 2 1 2 1 2
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A (a,b)
O
a
x
平面向量基本定理
如果 e 是同一平面内的两 共 1,e 2 对实数 使得 a 1, 2 1e 1 2e 2
那么对于这一平面内任 意向量 a ,有
其中 e 叫做这一平面所有 的 1,e 2
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量 与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘 应坐标.
( x ,y ) ,B ( x ,y ) 已知 ，求 的坐标.AB 回顾 A 1 1 2 2
A(x1,y1)
A B O B O A ( x ) ( x ,y ) 2 ,y 2 1 1
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示.
注：每个向量都有唯一的坐标.
平面向量的坐标表示： 把
a = (x,
y)叫做向量的坐标表示
以下三个特殊向量的坐标是：
i = (1,0)
j= (0,1)
= 0
(0,0)
Y
两个向量相等的等价条件 是两个向量坐标相等
如 果 a (x , 1, y 1), b (x 2, y 2) 那 么 a b x 1 x 2, 且 y 1 y 2
长方 是 ________
(4) a 3 b , 则 a 与 b的关系是 a 2 b , 则 a 与 b的关系是
方向相同 ,长度是 3 __________ __
方向相反 ,长度是 倍 __________ ___ 2
( 5 ) 若 AB AC , 则 A , B , C 三点的位置关系 三点共线 是 _________ ( 6 ) 若 OA t OB ( 1 t ) OC , 则 A , B , C 三 三点共线 点的位置关系是 _________
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 ,
3 a 4 b 3 ( 2 , 1 ) 4 ( 3 ,4 ) ( 6 ,3 ) (1 2 , 1 6 )
( x x ,y y ) 2 1 2 1
结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 去始点的坐标。
从向量运算的角度
例 2 ： 已 知 a ( 2 , 1 ) , b ( 3 , 4 ) , 求 a 3 a 4 b 的 坐 标 .
解 ： a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 1
y
B1 P(x,y) 1
O
结论 1: 一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段终点的坐 标减去始点的坐标。
A (x1,y1)
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
（ x， P
y j
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
x i
4
O P x i y j
向量
-3
O P
一一对应
P
小结:对向量坐标表示的理解:
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
( 1 ) a( 1 ,2 )
解：
y
( 2 ) b ( 1
.
a
A (1, 2 )
B ( 1, 2)
.
o
x
b
（二）平面向量的坐标运算：
问 题 : ( 1 ) 已 知 a ( x , y ) , b ( x , y ) , 求 a b 11 22
A、 B 的坐标有何关系 ?
a 的 坐 标 等 于 A B 的 终 边 坐 标 减 去 起 点 坐
问 1 :设
a A B ,a 的坐标与
A、 B 的坐标有何关系 ?
AB
若
A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) , 则 1 1 2 2
( x x ,y 2 1 2
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标有什么关系？
2.3平面向量的基本定理及坐标运算
相反 ( 1 ) AB 与 BA 是 _______
( 3 ) 在平行四边形 则若满足 ABCD
向量 , 用符号
________ AB B
AD ( 2 ) AB BC CD _____
中 , 记 AB a , AD b
a b a b , 则这个平行四边形又 形 .
( 2 ) 已 知 a ( x ,) y 和 实 数 , 求 a 的 坐 标
x xi ( 1 ) a bx i y j x i y j 1 2 1 1 2 2
( x x ,y y ) 1 2 1 2
同 理 得 a b ( x x , y y ) 1 2 1 2 ( 2 ) a x iy j x i y j( x , y
j
O
i
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b 2i 3 j ( 2, 3)
b
y 5 4 3 2 1
-2 -1 1O -1 -2
B
a
A
j
c 2i 3 j (2, 3)
-4 -3
2i
3
4
c
d
d
问 1 :设
a A B ,a 的坐标与
e
1
a
特别的
0 e e 1 1 2 2
e
2
2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 组基底. 特殊的基底；
e , e 叫做这一平面内 1 2
正交
所
那么当| |=| 与 垂直时，就可以 e 1 |=1e且 e1 e2 2 建立直角坐标系…
（一）平面向量坐标的概念 在直角坐标系内，我们分别 y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相同的两个单 位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对任作一个向量 : a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o 记作 a ( x, y ) ⑴
(1)任一平面向量都有唯一的坐标;
(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向 原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若 a b ， a ( x , y ), b ( x , y ), 1 1 2 2
则 ( x , y ) ( x , y ), 即 x x , y y . 1 1 2 2 1 2 1 2
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A (a,b)
O
a
x
平面向量基本定理
如果 e 是同一平面内的两 共 1,e 2 对实数 使得 a 1, 2 1e 1 2e 2
那么对于这一平面内任 意向量 a ,有
其中 e 叫做这一平面所有 的 1,e 2
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量 与差.
结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘 应坐标.
( x ,y ) ,B ( x ,y ) 已知 ，求 的坐标.AB 回顾 A 1 1 2 2
A(x1,y1)
A B O B O A ( x ) ( x ,y ) 2 ,y 2 1 1
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示.
注：每个向量都有唯一的坐标.
平面向量的坐标表示： 把
a = (x,
y)叫做向量的坐标表示
以下三个特殊向量的坐标是：
i = (1,0)
j= (0,1)
= 0
(0,0)
Y
两个向量相等的等价条件 是两个向量坐标相等
如 果 a (x , 1, y 1), b (x 2, y 2) 那 么 a b x 1 x 2, 且 y 1 y 2
长方 是 ________
(4) a 3 b , 则 a 与 b的关系是 a 2 b , 则 a 与 b的关系是
方向相同 ,长度是 3 __________ __
方向相反 ,长度是 倍 __________ ___ 2
( 5 ) 若 AB AC , 则 A , B , C 三点的位置关系 三点共线 是 _________ ( 6 ) 若 OA t OB ( 1 t ) OC , 则 A , B , C 三 三点共线 点的位置关系是 _________
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 5 ,
3 a 4 b 3 ( 2 , 1 ) 4 ( 3 ,4 ) ( 6 ,3 ) (1 2 , 1 6 )
( x x ,y y ) 2 1 2 1
结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 去始点的坐标。
从向量运算的角度
例 2 ： 已 知 a ( 2 , 1 ) , b ( 3 , 4 ) , 求 a 3 a 4 b 的 坐 标 .
解 ： a b ( 2 , 1 ) ( 3 , 4 ) ( 1
y
B1 P(x,y) 1
O
结论 1: 一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段终点的坐 标减去始点的坐标。
A (x1,y1)
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
（ x， P
y j
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
x i
4
O P x i y j
向量
-3
O P
一一对应
P
小结:对向量坐标表示的理解:
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
( 1 ) a( 1 ,2 )
解：
y
( 2 ) b ( 1
.
a
A (1, 2 )
B ( 1, 2)
.
o
x
b
（二）平面向量的坐标运算：
问 题 : ( 1 ) 已 知 a ( x , y ) , b ( x , y ) , 求 a b 11 22
A、 B 的坐标有何关系 ?
a 的 坐 标 等 于 A B 的 终 边 坐 标 减 去 起 点 坐
问 1 :设
a A B ,a 的坐标与
A、 B 的坐标有何关系 ?
AB
若
A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) , 则 1 1 2 2
( x x ,y 2 1 2
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标有什么关系？
2.3平面向量的基本定理及坐标运算
相反 ( 1 ) AB 与 BA 是 _______
( 3 ) 在平行四边形 则若满足 ABCD
向量 , 用符号
________ AB B
AD ( 2 ) AB BC CD _____
中 , 记 AB a , AD b
a b a b , 则这个平行四边形又 形 .
( 2 ) 已 知 a ( x ,) y 和 实 数 , 求 a 的 坐 标
x xi ( 1 ) a bx i y j x i y j 1 2 1 1 2 2
( x x ,y y ) 1 2 1 2
同 理 得 a b ( x x , y y ) 1 2 1 2 ( 2 ) a x iy j x i y j( x , y
j
O
i
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b 2i 3 j ( 2, 3)
b
y 5 4 3 2 1
-2 -1 1O -1 -2
B
a
A
j
c 2i 3 j (2, 3)
-4 -3
2i
3
4
c
d
d
问 1 :设
a A B ,a 的坐标与