2021版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第七章 不等式 7.3 Word版含答案

1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧全部点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可推断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称意义
约束条件由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解
可行域全部可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.重要结论
(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”推断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(3)最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不肯定是最优解．最优解不肯定唯一，有时唯一，有时有多个．
【思考辨析】
推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域肯定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(√)
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)
(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(√)
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案C
解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
2．(教材改编)不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－3y＋6<0，
x－y＋2≥0
表示的平面区域是()
答案 C
解析 用特殊点代入，比如(0,0)，简洁推断为C. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≥1，
3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A ．3 B.5
2 C ．2 D ．22
答案 C
解析 由于直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1相互垂直，
所以如图所示的可行域为直角三角形，
易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22， 其面积为1
2
×|AB |×|AC |＝2.
4．(2021·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y ≤1，
x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )
A ．0
B ．1 C.3
2 D ．2
答案 D
解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋1
2
z ，
当直线y ＝－12x ＋1
2
z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.
5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则
上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，
y ≥0
解析 用表格列出各数据
A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地
200x
100y
900
所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题
例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
(2)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43
D.34
答案 (1)C (2)C
解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0.
画出平面区域后，只有C 符合题意． (2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.
故选C.
命题点2 含参数的平面区域问题
例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3
分为面积相等的两部分，则k 的值是
__________________________________________．
答案 73
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋4
3能平分平面区域． 由于A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫
12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋4
3， 所以k ＝7
3
.
思维升华 (1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规章的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规章四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．
(1)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋y ≤3，
y ≥x ＋1
表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的
取值范围为( ) A ．(0,3] B ．[－1,1] C ．(－∞，3]
D ．[3，＋∞)
(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
kx －y ≤0
表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2 答案 (1)D (2)A
解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)
1－0
＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.
(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不行能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直． ①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值
例3 (2022·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，
且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
答案 B
解析 画出可行域，如图阴影部分所示．
由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1，
∴A (－1，－1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－1，
∴B (2，－1)．
当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.
命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x >0，
y ≤2.
(1)若z ＝y
x
，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；
(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．
解 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≤0，x >0，
y ≤2，
作出可行域，
如图中阴影部分所示．
(1)z ＝y
x
表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此y
x
的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，
y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝2
1＝2，即z min ＝2，
∴z 的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，x ＝0，
得A (0,1)， ∴|OA |2＝(
02＋12)2＝1，|OB |2＝(
12＋22)2＝5，
∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究
1．若z ＝y －1x －1
，求z 的取值范围．
解 z ＝y －1
x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．
∴z 的取值范围是(－∞，0)．
2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，
而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方|PQ |2，|PQ |2max ＝(0－1)2＋(2－1)2
＝2，
|PQ |2min ＝(
|1－1＋1|
12＋(－1)2
)2＝12
，
∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝3
2.
命题点3 求线性规划的参数
例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.
答案 1
2
解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2a ，
∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12
.
思维升华 (1)先精确 作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①
x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，
(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；
②y
x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要依据临界位置确定参数所满足条件．
(1)(2021·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0，
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
(2)(2022·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.1
2或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
答案 (1)B (2)D
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
易知A (2,0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，x ＋y ＝2，
得B (1,1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .
∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排解C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排解A ，故选B.
(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，
故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；
当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 题型三 线性规划的实际应用
例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆担当甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天来回一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤21，
y ≤x ＋7，
36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．
由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最
小，即z 取得最小值．
故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量；
(2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．
(2021·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料
及每天原料的可用限额如表所示，假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)
1
2
8
A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元
答案 D
解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ≤12，
x ＋2y ≤8，
x ≥0，
y ≥0，
目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A 处取到最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，
得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．
9．含参数的线性规划问题的易错点
典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
假如目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.
易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时简洁出
错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在查找最优点时也简洁找错区域的顶点． 解析 明显，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；
当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 明显都不符合题意．
故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m
所表示的平面区域如图所示，
平面区域为一个三角形区域，
其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －1
3)．
由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，
最小值为m ＋13－2m －13＝2－m
3.
由题意，得2－m
3＝－1，解得m ＝5.
答案 5
温馨提示 (1)当约束条件含有参数时，要留意依据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参
数，可能导致可行域画不出来． (2)应留意直线y ＝x －z 经过的特殊点.
[方法与技巧]
1．平面区域的画法：线定界、点定域(留意实虚线)．
2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z
b ，
通过求直线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要争辩的函数，转化成线性规划问题．
4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]
1．画出平面区域．避开失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要留意：当b >0时，截距z
b 取最大值时，z 也取最大值；
截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b
取最小值时，z 取最大值．
A 组 专项基础训练 (时间：25分钟)
1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．很多个
答案 B
解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．
直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－4
3，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公
共点A (5,0)．
2．(2021·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，
2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．18
D ．40
答案 C
解析 画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.
3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，
y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使1
2z 最小，
易知当直线y ＝－12x ＋1
2
z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3，故选B.
4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．
A.⎣⎡⎭⎫4
3，＋∞ B ．(0,1]
C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭
⎫4
3，＋∞ 答案 D
解析 不等式组⎩⎨⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0
表示的平面区域如图(阴影部分)，
求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫
23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43
.
5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理支配生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元
D ．3 100元
答案 C
解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，
则依据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，x ∈N ，
y ≥0，y ∈N ，
x ＋2y ≤12，
2x ＋y ≤12.
设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．
画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.
平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝4，
即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.
6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，则实数m 的最大值为( )
A.1
2 B ．1 C.32 D ．2
答案 B
解析 在同始终角坐标系中作出函数y ＝2x
的图象及⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0
所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由图可知，当m ≤1时，
函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1.
7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，4x ＋3y ≤4，
y ≥0，则ω＝y ＋1
x
的最小值是( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，
ω＝y ＋1x
的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，
由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－0
0－1＝1.
故选D.
8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≥0，x <2，
x ＋y －1≥0，
则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A ．[5
3，5]
B ．[0,5]
C ．[5
3，5)
D ．[－5
3
，5)
答案 D
解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，
可知2×13－2×2
3－1≤z <2×2－2×(－1)－1，
即z 的取值范围是[－5
3
，5)．
9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：
a b (万吨) c (百万元)
A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15
解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
0.5x ＋0.7y ≥1.9，
x ＋0.5y ≤2，
x ≥0，y ≥0.
目标函数z ＝3x ＋6y ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2.
记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.
10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，
x ≥0，
y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋
b 2的最小值为________． 答案
25
13
解析 由于a >0，b >0，所以由可行域得，如图，
当目标函数线过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.
a 2＋
b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是25
13.
B 组 专项力量提升 (时间：15分钟)
11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥1，x －y ≤1，
y －1≤0，
若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋
1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－6，－2)
B ．(－3,2)
C ．(－10
3，－2)
D ．(－10
3
，－3)
答案 C
解析 作出可行域，如图所示，
则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (－3)>0，
f (1)>0，－3<k
2
<1，
Δ＝k 2
－4>0
⇒－10
3
<k <－2，故选C.
12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≥1
所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上
任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →
|的最小值为( ) A.55 B.23
C.22
D ．1
答案 A
解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →
，
则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，
其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．
由于|AB →
|＝|0＋1|12＋22＝55
，
因此|OP →＋OQ →
|min ＝55
，故选A.
13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1
x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形
的面积为( ) A.3π4 B.3π5 C.4π7 D.π2
答案 D
解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧
y －x ≤0，
y －1x ≤0
表示的两块平面区域，
而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，
图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1
x 关于直线y ＝x 对称，
因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的1
2
，
即为π
2
，故选D.
14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥0.
若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则
a 2＋
b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37
D ．49
答案 C
解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 明显当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1
的最小值为3
2，则a 的值为________．
答案 1
解析 ∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1
的最小值为3
2，
∴
y ＋1x ＋1的最小值为1
4，而y ＋1x ＋1
表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，
∴可行域如图中阴影部分所示，
∴(y ＋1x ＋1)min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14，∴a ＝1.
16．(2021·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 答案 3
解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部． f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y | ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.
设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12
x
和y ＝－3
4x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。