第1章专项训练——勾股定理的运用和实际应用PPT课件(北师大版)

解：展开长方体的四个侧面，铺平得到一个长方形， 其中长为(3＋1)×2＝8(cm)，宽为 6 cm.
设对角线的长为 x cm. 由勾股定理，得 x2＝82＋62＝100，所以 x＝10. 故所用细线最短需要 10 cm.
专项训练——勾股定理的运用和实际应用
类型一 勾股定理在面积中的运用 1．如图的阴影部分是两个正方形，图中还有一个大 正方形和两个直角三角形，则两个阴影正方形面积的和 为___6_4____．
2．如图，在△ABC 中，AB＝15 cm，AC＝13 cm， BC＝14 cm.求△ABC 的面积．
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADB＝∠ADC ＝90°.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型四 勾股定理在实际中的应用 5．将一架 5 m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时 梯足距墙脚 3 m．若梯子的下端下滑 1 m，则梯足将滑 动多少米？ 解：如答图．
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5 m，BC＝3 m， 由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16， 所以 AC＝4(m)．
类型三 勾股定理在证明中的运用 4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，M 为 BC 的中 点，MD⊥AB 于点 D.求证：AD2＝AC2＋BD2.
证明：连接 AM. 因为 MD⊥AB， 所以 AD2＝AM2－DM2，DM2＝BM2－BD2. 因为∠C＝90°，所以 AM2＝AC2＋CM2. 因为 M 为 BC 的中点，所以 BM＝CM. 所以 AD2＝(AC2＋CM2)－(BM2－BD2)＝AC2＋CM2 －BM2＋BD2＝AC2＋BD2.
类型二 勾股定理在折叠中的运用 3．如图，有一块直角三角形纸片，直角边 AC＝6 cm， BC＝8 cm，现将直角边 AC 沿 AD 所在的直线折叠，使 点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，试求 CD 的长．
解：在 Rt△ABC 中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， 由勾股定理，得 AB2＝62＋82＝100，所以 AB＝ 10(cm)． 由折叠可知，∠AED＝∠C＝90°，AE＝AC＝6 cm， DE＝CD. 所以∠BED＝90°，BE＝AB－AE＝10－6＝4(cm)． 设 CD＝x cm，则 DE＝x cm，BD＝(8－x)cm. 在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得 BD2＝DE2＋BE2， 即(8－x)2＝x2＋42，解得 x＝3. 所以 CD 的长为 3 cm.
在 Rt△A1B1C 中，∠C＝90°，A1C＝4－1＝3(m)， A1B1＝5 m，
由勾股定理，得 B1C2＝A1B21－A1C 2＝52－32＝16， 所以 B1C＝4(m)．所以 B1B＝4－3＝1(m)． 答：梯足将滑动 1 m.
类型五 勾股定理在最短路径中的应用 6．如图，长方体的底面相邻的两边长分别为 1 cm 和 3 cm，高为 6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过四 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长？
设 BD＝x cm，则 CD＝(14－x)cm. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2. 所以 152－x2＝132－(14－x)2，解得 x＝9. 所以 AD2＝152－92＝144，所以 AD＝12(cm)． 所以 S△ABC＝12AD·BC＝12×12×14＝84(cm2)．