原创1：3.4 函数的应用（II）（导学式）

典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
6. 三个方案累计回报效益增长情况比较：
回报 天
/元数 1
方案
2
3
4
5
一
40
80
120 160 200
二
10
30
60 100 150
三
0.4
1.2 2.8
6
6
7
240 280
210
280
12.4 25.2 50.8
8
9
320
360
400 440
360
“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得
快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回
报看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方
案三最少，在第5～8天，方案二最多；第9天开始 ，方案三比其他两个
方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
0
40
…
…
0
40
方案 二
y/元
增加量
10
20
10
30
10
40
10
50
10
60
10
70
10
80
10
90
10
100
10
…
…
300
10
方案 三
y/元
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
204.8
…
214 748 364.8
增加量
0.4
9
归纳提升
【规律总结】
1．对数函数y＝logax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其
增长速度平缓(越来越慢)．
2．指数函数y＝ax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增
长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．
3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，
其增长速度相对平稳．
【问题3】 观察三种函数的图象，当自变量x越来越大时，它们的增长
速度怎样？
x
y＝2
y
20
【提示】 增长速度最慢的是
19
2
y＝x
18
y＝log2x ，y＝2x的值增长迅
17
16
15
速，y＝x2 比起y＝2x 来，几
14
13
12
乎有些微不足道．
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
y＝log2x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
1. 直线 = + > 模型，其增长特点是
2.指数函数： = > 模型，其增长特点是
由于指数型增长速度非常快，人们称之为“指数爆炸”.
.
.
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
【例2】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售
…
y＝log2x －2.322 －0.737
1.4
1.8
3.24
2.2
4.84
2.6
6.76
3.0
3.4
…
x
【提示】 从表中数据可以看出当x∈(0.2,2.2)时，不等式log2x<x2<2x 成
立，当x≥2.2时，不等式就不成立了．
典例精讲：题型三：幂函数、指数函数、对数函数增长的差异
【问题2】
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增，而且当
x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万
元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，
即当x∈[10,1000]时，是否有y=log7x+1≤0.25x成立.
一次函数，单调递增；
方案三： = . × − ( ∈ ∗ ൯
指数型函数，单调递增.
4.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？
【提示】表格法、图象法.
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
表
格
法
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
30
方案 一
y/元
增加量
40
ax>xn.
归纳提升
【规律总结】 5.对数函数y=loga x (a>1)与幂函数y=xn (n>0)的比较
对于对数函数 y=loga x（a>1)和幂函数y=xn (n>0),在区间（0，
+∞）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与
x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn，但
之为“对数增长”.
典例精讲：题型三：幂函数、指数函数、对数函数增长的差异
【思考】
对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间
(0，＋∞)上都是增函数，哪个函数的增长速度最快？
典例精讲：题型三：幂函数、指数函数、对数函数增长的差异
【问题1】
下面给出了函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的自变量与函数值的对应值表，
–50
log7x+1<0.25x.所以当
–100
–150
log7x+1
x∈[10,1000]时，
<0.25.
–200
x
–250
说明按模型y=log7x+1奖励，
–300
奖金不会超过利润的25%.
–350
–400
综上所述，模型y=log7x+1
–450
–500
确实能符合公司要求.
题后反思
【规律方法】对数型函数模型增长特点：增长平缓，这种增长方式称
方案二可以用函数 = ( ∈ ∗ ሻ 进行描述；
方案三可以用函数 = . × − ( ∈ ∗ ൯进行描述.
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
3.三个函数模型的增减性如何？
方案一： = ( ∈ ∗ ሻ
常数函数；
方案二： = ( ∈ ∗ ሻ
由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会
有logax<xn.
归纳提升
【规律总结】
尽管对数函数 y=logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)
在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在
同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1）的增长速度越来越快，
观察下面表中的数据，你对函数y＝2x，y＝x2的增长差异有什么认识？
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y＝2x
1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y＝x2
0
1

4
9
16
25
36
49
64
…
【提示】
尽管在x的某一范围内，有2x<x2的情况，但y＝2x比y＝x2增长的快，
当x>4时，2x>x2．
典例精讲：题型三：幂函数、指数函数、对数函数增长的差异
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=20时，
y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间
x0
(805,806)内有一个点x0满足1.002 =5，由于它在区间[10,1000]上递增，
因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
第三章 基本初等函数（I）
§3.4 函数的应用（II）
高中数学必修1·精品课件
学习目标
1.利用函数图象及数据表格，了解指数函数，对数函数及幂函数在
实际问题中的应用；
2.结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模
型的意义；
3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题.
引入课题
在澳大利亚，为什么看上去可爱的兔子却制造了这么大的麻
你能从表中的数据判断出不等式log2x<x2<2x成立和不成立的x的范围吗？
0.2
0.6
1.0
y＝2x
1.149
1.516
2
2.639 3.482 4.595 6.063
8
10.556 …
y＝x2
0.04
0.36
1
1.96
9
11.56
…
0
0.485 0.848 1.138 1.379 1.585
1.766
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
令f(x)=log7x+1−0.25x，x∈[10,1000].利用计算器或计算机作出函数
f(x)的图象.
由图象可知它是递减的，因
y
x
此f(x)<f(10)≈−0.3167<0，即
O 300 600 900 1200 1500 1800 2100
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
【思路分析】
1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？
2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？
【提示】设第x天所得回报是y元，则
方案一可以用函数 = ( ∈ ∗ ሻ进行描述；
【思路分析】
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数
不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为
1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在
区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再
[10,1000]上，模型y=0.25x，
y=1.002x的图象都有一部分
在直线y=5的上方，只有模型
y=log7x+1的图象始终在y=5
的下方，这说明只有按模型
y=log7x+1进行奖励时才符合
公司的要求.
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
…
107 374 182.4
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
方案三： = . × − ( ∈ ∗ ሻ
y
图
象
法
120
110
方案二： = ( ∈ ∗ ሻ
100
90
80
70
60
50
40
方案一： = ( ∈ ∗ ሻ
30
20
10
O
x
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
5. 三个方案日回报效益增长情况比较结果：
方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但
是增长情况很不相同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的
100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其
【问题1】题中涉及了哪几类函数模型？
一次函数
对数函数
指数函数
【问题2】你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗？
1. 销售利润达到10万元时进行奖励；
2. 公司总的利润目标为1000万元。
3. 奖金总数不超过5万元；
10≤x≤1000
0≤y≤5
4. 奖金不超过利润的25%；
0≤y≤25%x
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
通过具体计算，确认结果.
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
【解析】 借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
O
y=1.002x
y=0.25x
y=5
y=log7x+1
200
400
600
800
1000
x
观察图象发现，在区间
450
550 660
102
10
11
204.4 409.2 818.8
结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或
方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)
以上，应选择方案三.
题后反思
【知识小结】不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异，比较而
言，指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.
人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：
万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，
同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x，
其中哪个模型能符合公司的要求？
典例精讲：题型二：一次函数、指数函数、对数函数型函数模型比较
归纳提升
【规律总结】 4.指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0)的比较
一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间(0，
+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但
由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有
烦呢？原来对于澳大利亚来说，兔子这种外来物种缺乏天敌，导
致兔子呈现疯狂的“指数级” 增长.
典例精讲：题型一：线性函数模型与指数型函数模型比较
【例1】假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，
这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速
度则会越来越慢.因此总会存在一个x0，当x>x0 时，就有logax<xn<ax.
虽然幂函数 y=xn(n>0)的增长快于对数函数 y=logax(a>1)的增长，但它