高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(解析版)

6.3 几何概型
1．几何概型
设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝
d 的测度
D 的测度
.
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N
作为所求概率的近似值．
考向一 长度
【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且
到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 【答案】1
2
【解析】如图所示，画出时间轴．
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝1
2.
【举一反三】
1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2
＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 【答案】 2
3
【解析】 方程x 2
＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0，x 1＋x 2<0，
x 1x 2>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
4p 2
－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，
解得p ≥2或2
3
<p ≤1，又p ∈[0,5]，
则所求概率为P ＝3＋
135＝1035＝2
3
.
2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12
1
log ()2
x +≤1”发生的概率为_______．
【答案】 3
4
【解析】 由－1≤12
1log ()2
x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤3
2.
由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝3
2－02－0＝3
4
.
考向二 面积
【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．
(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，y ≥－x ，
2x －y －4≤0
所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2
≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区
域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．
【答案】（1）
π48 （2）3π64
【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，
∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12
＝
π
2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π
224＝π48. (2)画出两不等式组表示的平面区域，
则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
3，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×
423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12
＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P ＝S S △AOB ＝π
4163
＝3π64
【举一反三】
1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________． 【答案】 1
2
【解析】 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →
＝0，
所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →
，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等
于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝1
2
S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为
S △PBC S △ABC
＝1
2
. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率
是________． 【答案】 1
2
【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .
如图，
由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝1
2.
考向三 体积
【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．
【答案】（1）1－π12 （2）1－π4
【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1
3
23
＝1－π
12
.
（2）鱼缸底面正方形的面积为22
＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.
【举一反三】
1．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．
【答案】 16
【解析】 因为1A A BD V -＝1A ABD V -＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝1
6V 长方体，故所求概率为1A A BD V V
-长方体
＝16.
考向四 角度
【例4】如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
【答案 1
3
【解析】 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线
段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为
∠CAB
∠DAB ＝
30°90°＝1
3
. 【举一反三】
1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________． 【答案】 1
6
【解析】 设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．
在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ， 因为△ACC ′是等腰三角形，
所以∠ACC ′＝180°－30°2
＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，
构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝
μD μΩ＝15°90°＝16
.
1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A B ．
3
2
π
-
C ．
3
4
π
-
D ．
3
π
【答案】C
【解析】如下图所示：
设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=
∴
阴影部分的面积2118221323S π
π⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭
∴
所求概率为：83423p π
π-==⨯本题正确选项：C
2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）
A ．
1
40
B ．
1121
C ．
1364
D ．
11093
【答案】C 【解析】
由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1
392781243364
x P x x x x x x =
=+++++ ，故选C.
3．已知在椭圆方程22
221x y a b
+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆
的离心率在2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
之内的概率为（ ）
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．23
【答案】A
【解析】当a b > 时222
3142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2
b
a <,则由下图可得所求的概率211
21222
t t
P t ⨯⨯=
= ，故选A.
4．在区间[]
1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（ ）
A ．
25 B ．35 C ．15 D ．23
【答案】A
【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得2
5
d P D =
=，应选答案A 。

5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2
)4=⨯朱实+黄实=弦实，
化简，得勾2+股2=弦2．
设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），
则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ．866
B ．500
C ．300
D ．134 【答案】
D
【解析】由题意，大正方形的边长为21，则所求黄色图形内的图钉数大约为
2
110001342⎛⎫⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭
，故选D.
6．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC =15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角ΔCDE 中（阴影部分）的概率是（）
A ．√3
2
B ．3
4
C ．2
3
D ．√2
2
【答案】C
【解析】在直角ΔBCE 中，a =ccos15°，b =csin15°， 则P =S ΔCDE
S
梯形ABCD
=12
c 2
1
2
(a+b )
2
=c 2
c 2(cos 15°+sin 15°)
2
=
11+sin
30°
=2
3，故选C.
7．函数()()2
2846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）
A ．
3
10
B ．
23
C ．
35
D ．
45
【答案】C
【解析】由题意，知()00f x ≥，即2
00280x x -++≥，解得{}
0024x x -≤≤，
所以由长度的几何概型可得概率为4(2)3
6(4)5
P --=
=--，故选C.
8．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）
A ．
1
27π
B ．
427π
C ．
827π
D ．
49π
【答案】C
【解析】根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，
因为PC =，
∴3=∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以3
14431223332P ABCD
V V π-⎛⎫
=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭
球，， ∴3
4
83274332P ππ==⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭
. 9．在区间[0,2]π上随机取一个数x ，则事件“1
sin 2
x ≤
”发生的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．
23 D ．．
34
【答案】C
【解析】当[0,2]x π时，由1sin 2x ≤
得06x π≤≤或
526
x π
π≤≤， 因此所求概率为5266123
P ππ
π-
=-
=.故选C 10．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．
2
3
B ．
34
C ．
25
D ．
13
【答案】C
【解析】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为
42
105
=.故选：C 11．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32
C ．0.36
D ．0.64
【答案】C
【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为: 010
010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
,“进站时间
的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36
()0.36100
A S P A S Ω=
==.选C .
12．如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
1π
B ．
12π
C ．
11
42π
-
D ．
11
2π
-
【答案】D
【解析】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则
2112111424
S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的
概率是P ，则82411442S P ππππ
-===-,故本题选D. 13．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）.
A ．
215
π
B ．
320
π C ．2115
π-
D ．3120
π-
【答案】C
【解析】
13=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .
所以内切圆的面积为24r ππ=，
所以豆子落在内切圆外部的概率
42P 111
155122
ππ
=-
=-
⨯⨯，故选C 。

14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒
洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )
A
B
C
D
【答案】B
【解析】
如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是
2
226
3
ππ⨯=
，
ABC ∆的面积是12222
⨯⨯⨯=
所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即
2323
π
π⨯-=-
= B.
15．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆22
1x y +=相交的概率为（ ）
A ．
12
B ．
13
C
．
4
D
．
3
【答案】C
【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =
，直线与圆相交，所以1d =
≤
，解得k ≤≤
所以相交的概率224
P ==
,故选C.
16．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设
33DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）
A ．
3
7
B
．
7
C ．
413
D
【答案】A
【解析】由题，33DF AF ==，可得1AF BD ==，AD=4，且120ADB ︒∠=
所以在三角形ADB 中，222
cos 2AD BD AB ADB AD BD
+-∠=⋅ 解得
所以概率为
2
93217P === 故选：
A
17．关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（ ）
A ．
m n
B ．
n m
n
- C ．
()
4n m n
- D ．
4m
n
【答案】C
【解析】由题意，实数对()(),01,01x y x y <<<<，即面积为1
且卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，即满足221x y +>，且0101
x y <<⎧⎨<<⎩ ，所以面积为14π-
所以x ，y 能与1构成锐角三角形的概率为：14
π
-
由题，n 张卡片上交m 张，即
4()14m n m n n
ππ-=-⇒= 故选C 18．如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A ．
1
6
B ．
13
C ．
14
D ．
2
4
π-
【答案】A
【解析】以BC 所在的直线为x 轴，以E 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设1,2AB BC ==， 则()()1,01,0B C -，，()()1,11,1A -，D ,过,,A D E 三点抛物线方程为2
y x =,
阴影部分面积为1
2
31
1
1
111
211233
S x dx x
--=⨯⨯-='-=⎰,又矩形ABCD 得面积为122ABCD S =⨯=, 故点落在阴影部分的概率为1
1326
ABCD S P S '===.故选：A
19．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
【答案】B
【解析】由题知框图的意义是在x y 2+≤内取点（x,y ）,满足3
y x ≤的概率
因为x y 2+=与3
y x =均关于原点中心对称，故概率为
1
2
故选：B 20．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A
．2π
-
B
．4π
-
C
．
π
D
．
π
【答案】B
【解析】设圆的半径为r ，如图所示，
12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为
2222111sin 62364
S r r r r π=
π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形
圆222
124644r r r πππ
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==- ．选：B ． 21．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）
A ．1
1π
-
B ．
1
π
C
．
π
D ．
4
1π
-
【答案】D
【解析】如图所示，
2S r ππ==圆，111=811824442COD S S S ππ∆⎛⎫⎛⎫
-⨯=⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
圆空白
所以()==244S S S πππ---=-星形圆空白
故点落在星形区域内的概率为44
1P π
π
π
-=
=
- 故选D.
22．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内
接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为
0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：
2.09460.8269
≈）
（ ）
A ．3.1419
B ．3.1417
C ．3.1415
D ．3.1413
【答案】A
【解析】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为2162r ⨯
⨯=，因而所求该
实验的概率为2
220.8269r r π==
，则 3.1419π=≈.故选A
23．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22
123
x y
a a +=+-表示双曲线的概率为（ ）
A ．
18
B ．
14
C ．38
D ．
58
【答案】D
【解析】若方程22
123
x y a a +=+-表示双曲线，则()()230a a +-<，解得23a -<<.
在区间[]4,4-上任取一个实数a ，当()2,3a ∈-时，题中方程表示双曲线，
由几何概型，可得所求概率为()()325
448
p --=
=--.故选D.
24．P 为圆1C ：22
9x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，
在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A ．
1325
B ．
35
C ．
12
25π
D ．
35π
【答案】B
【解析】
设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入2
2
9x y +=，
得()()22
00229x x y y -+-=，
化简得：22
009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆， 故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形， 即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，
即应有222
(14)x y r r +=， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255
πππ-==，故选B. 25．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________. 【答案】45
【解析】
由题意，将5米长的绳子剪为两段，有一段大于3米的概率为51455P -==.故答案为45。