三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破

专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一线三直角模型
1.基本图形
题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°
图1图2图3
解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）
结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立
结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：
（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）
【知识点二】一线三等角模型
图4图5
题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D
解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）
结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明
【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．
（1）求证：ADC CEB ≌；
（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）
A ．30cm
B ．27cm
C ．21cm
D ．10cm
【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．
【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明
【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经
过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E
（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE
≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系
【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）
A ．3
B ．2
C ．9
4D ．9
2
【变式2】
（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．
【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明
【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，
过点A 作AD l ⊥于点D
初步探究：
（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由
【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，
则BCD △的面积为（）
A ．9
B ．6
C ．10
D ．12
【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．
【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展
【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M
（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点
（3）当D点在x轴上运动时，探索:OM
BD为定值
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）
A．54B．60C．100D．110
【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】
（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．
【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；
（2）拓展应用：
如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：
；（3）迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．
【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，
，垂足分别为D ，E ．
（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。