湖南省永州市2019届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理(扫描版)

湖南省永州市2019届高三数学上学期第一次模拟考试试题理（扫描
版）
永州市2019年高考第一次模拟考试试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
1～5 CBCAB 6～10 ABACD 11～12 CA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．6 14．
710
15．
． 75
三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（1）1
cos 7
ADC ∠=
Q ，13cos 14DAB ∠=，
sin 7ADC ∴∠=
sin 14
DAB ∠=， ………… 2分
cos cos()B CDA DAB =∠-∠Q ，
cos B ∴=cos cos CDA DAB ∠∠sin sin CDA DAB +∠∠ …………… 4分 cos B ∴
=
113714714
⨯+1
2=，且(0,)B π∈， 3
B π
∴=
． …………………………………………………………………… 6分
（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得，
sin sin AB AD
BDA B
=∠，
7AD ∴=． ………………………………………………………… 9分 在ADC ∆中，由余弦定理可得
222
2cos AC DC AD AD DC ADC =+-⋅⋅∠
7AC ∴= ． ………………………………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）
解：（1）取DC 的中点O ，连接,DO OE ，
PD PC =Q ， PO DC ∴⊥，且3PO = ， ………………………… 2分
易证222
PE PO OE =+ ，
PO OE ∴⊥且DC OE O ⋂=，
D F
C
P D C
B A
PO ABCD ∴⊥面．
PO AD ∴⊥ ． ………………………………………………………… 4分
AD DC ⊥Q ，且DC PO O ⋂=， AD PDC ∴⊥面 且PC PDC ⊂面 ，
AD PC ∴⊥ ． ……………………………………………………… 6分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
易知面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =u r
， (0,3,0),(3,0,0),(0,1,2)D E F -Q ，，
(3,3,0),(0,4,2)DE DF ∴==u u u r u u u r ，………（8分）
设面DEF 的法向量2(,,)n x y z =u u r
，
22330
420
n DE x y n DF y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r
，可得2(1,1,2)n =-u u r ， ………………… 10分
12
12
cos 3n n n n θ⋅∴===⋅u r u u r u r u u r
，即所求角的余弦值为3．…………… 12分 19．（本小题满分12分）
（1） 证明：｜MP ｜＝｜MQ ｜，∠MPQ ＝∠MQP ，NE//MQ ，∠ENP ＝∠MQP ＝∠MPQ ，
｜ EP ｜＝｜EN ｜，｜ME ｜＋｜NE ｜＝｜ME ｜＋｜EP ｜＝｜
MP
｜＝ ，动点E 的轨迹Γ的方程是：22
148
x y +
=（x ≠0）；……………………………… 5分
注：没写出x ≠0也不扣分．
（2）设直线l 的方程：y =k (x －1)与椭圆
22
148
x y
+=联立方程，消去y 得2
2
2
2(1)8x k x +⨯-=，2
2
2
2
(2)280k x k x k +-+-=，
422244(2)(8)24640k k k k ∆=-⨯+⨯-=+>，
设G （11,x y ），H （22,x y ），知12,x x 是上述方程的两根，
有22121222
28
,22k k x x x x k k
-+=⋅=++， …………………………… 8分
（第19小题
1212121233334444
FG FH y y kx k kx k k k x x x x ------+=
+=+
----121212122(53)()8(3)
4()16kx x k x x k x x x x -++++=-++ 222222222(8)(53)28(3)(2)1848
284216(2)924k k k k k k k k k k k --+⨯++++===--⨯+⨯++，…………………… 10分
若设直线l 的斜率不存在，求得G （1
，H （1
，），显然有
2FG FH k k +=
=． ………………………………………… 11分 故直线FG ，FH 的斜率之和为定值2． ………………………………………… 12分
20．（本小题满分12分）
解：(1)120,40,6120,40,n n N y n n n N
*
*
⎧≤∈=⎨->∈⎩． …………………………………………… 3分
（2）由条形图知，
百度外卖的送餐单数为38，40时，X =120，频数为4+5=9，频率为9330
10
=．
送餐单数为42时，X =132，频数为7，频率为
730
； 送餐单数为44时， X =144，频数为8，频率为830=4
15；
送餐单数为46时，X =156，频数为6，频率为
61305
=； X 的可能值为120，132，144，156，则X 的分布列为
374168212013214415610301555
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=．…………………………… 7分 记美团外卖每日的送餐单数为ξ，日工资为Y 元，则9090Y m m ξξ=+⨯=+，
(90)90EY E m m E ξξ=+=+⨯，
68655125
384042444630303030303
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=
．
所以125682
9035
EY m =+
=，求得m ≈1.1． ………………………………………12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）依题意知函数定义域为()1,-+∞，………………………………………… 1分
()21m
f x x x '=++2221
x x m x ++=
+， ………………………………………… 2分 当4m =-时，令2224
()01
x x f x x +-'=
≤+，得：21x -≤≤，又x >－1， 故函数()f x 的单调减区间(1,1]-． ………………………………… 5分 注：单调减区间写成(1,1)-也可。

(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，
知102m <<
，12121,,2m x x x x +=-=2
1
(,0)2
x ∈-， ()()()()22
221222221122ln 12ln 11f x x x x x x x x x x x ++==+-+，…………………… 7分 令21
()2ln(1),(,0)(1)2
x h x x x x x =+-∈-+，
()()()
2
2
2ln 11x h x x x '∴=++
+，令()()
2
2
()2ln 11x g x x x =++
+，
23
2(31)()(1)
x x g x x ++'∴=+，令()231x x x ϕ=++， 又
1
(,0)2x ∈-，3(1)0x +>;
()x ϕ在1(,0)2-单调递增且(0)0ϕ>，1
()02ϕ-<，
即存在01
(,0)2x ∈-使得()00x ϕ=
即()01
(,),0,2
x x g x '∈-<()()0,0,0x x g x '∈>，
()g x 在01
(,)2
x -单调递减，()g x 在()0,0x 单调递增，………………………………10分
又()100,()02g g =-<，1
(,0),()02
x h x '∴∈-<，
()h x ∴在1
(,0)2
-单调递减，
又(0)0h =,11
()ln 222
h -=-， ……………………………………………11分
故所求范围为1
(0,ln 2)2
-。

………………………………………12分
22．（本小题满分10分） 解：（1）将点A 的极坐标为)4
,
2(π
代入1C 的极坐标方程a =-
)4
cos(π
θρ，
得2=a ……………………………………………………………………………2分 曲线2C ：θρcos 2-=化为直角坐标方程为：1)1(22=++y x ，……………5分 （2）由（1）可得1C ：2)4
cos(=-
π
θρ化为直角坐标方程为：2=+y x ，
∴曲线1C 为直线． …………………………………………………………………6分
由（1）曲线2C 为圆，圆心为()1,0-，半径为1， 曲线2C 的圆心()1,0-到直线1C 的距离为：
22
32
3==
d ， …………………………………………………………………8分 ∴圆C 上的点到直线l 上的距离的最大值是2
2
31+
．…………………………10分 23．（本小题满分10分）
解：（1）()2f x x ≤⇔ 101212x x x x x +≥⎧+≤⇔⎨+≤⎩或10(1)2x x x +<⎧⎨-+≤⎩
…………………3分
1x ⇔≥，∴()2f x x ≤的解集为{}1x x ≥． ……………………………………5分 （2）212f x a x x a x --≥⇔+--≥（）
12(1)(2)3x x x x +--≤+--=
……………………………………………8分 3a ∴≤ ………………………………………………………………………10分
（注：此问用零点分区间法求12x x +--的最大值，同等给分）。