蝴蝶定理的证明及推广

摘要
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。

到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。

而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；
一摘要
[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。

[2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。

如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。

另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M 点不再是中点，能得到坎迪定理、若M 、N 点是AB 的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。

二 蝴蝶定理的证明
（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何
方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于
EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒
得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，
又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ∆∆ ，
AUM MVC ∠=∠
则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

[1]
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则
FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1
联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即
PC'CQ =。

又
111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222
∠∠（）（）
故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠
而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有
F M E A N B
1M E A N B F ⋅⋅=，FM ED NC 1ME DN CF ⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到
N A N D N C N B ⋅=⋅ 得22
FM AN ND BF CF BF CF
ME AE ED BN CN AE ED
⋅=⋅⋅⋅=⋅
()()()()2222
PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME
-==-+--
化简上式后得ME=MF 。

[2] 2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

证法 4 （Steven 给出）如图5，并令
DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y
αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由
FCM AME EDM FMB
FCM EDM FMB AME
S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，
即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1
MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ
αγβδ
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
化简得 ()()()()2222
22
M F C F F B
Q F F P M E A E E D
P E E Q a y a
y a y a x a x a x -+⋅⋅-====
⋅⋅-+- 图 3
图
4
D
图 5
D
即 222
222
x y a y a x -=-，
从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对
MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+，
上述两式相减，得
()()(1
1sin sin sin MC MD MB MF ME MC MD MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪
⋅⋅⎝⎭
设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα
-==︒-=-==︒-=
于是 ()1
1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，
而180αβ+≠︒，知
()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的
证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
22
x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，
由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。

[5]
证法 7 如图7
程可写为
()
2
22x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =又
设
A B C 、、、的
坐标(),,1,2,3,4i i x y i =，则14x x 、()
()2
2
22222212,x a k x r x a k x r -+=-+=根。

AD 在y 轴上的截距为
()2411141
11112141k x k x x y y y x k x x x x x ---⋅=-=
--。

同理，BC 在y 轴上的截距为()1223
32
k k x x
x x --方程()22
22
1
120k
x
a x a r +-+-=的两根()2
2
222
120k x
ax a r +-+-=的两根，所以
34122212342x x x x a
x x a r x x ++==-，从而易得 34121234
0x x x x x x x x +=--，
即ME MF =。

证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。

因C F B 、、三点共线，
令BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫
-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即 ()
C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○1
图 8
()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○2
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。

注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。

二蝴蝶定理的推广和猜想
（一）猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .
推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记△PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM s in (π- β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)·DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2已知直线 AB与⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作⊙O任意两条割线 MC, M E分别交⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.
证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交⊙O于 K .
连结 M K交⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③
又由∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以∠MGQ =∠MCQ.
又由于∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤
由③、④、⑤知△PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .
推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB 于 P、 Q. 求证: PM =QM.
证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。

[4]
结论
从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：
1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。

2 .圆可以改为任意二次曲线。

3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。

4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立
正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。

但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。

参考文献
[1]沈文选.《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》[M].哈尔滨工业大学出
版社,2007年1月14日。

[2]江翔宇，《芜湖一中研究性学习课题论文》[J]。

2010年9月4号。

[3] 朱树海，《蝴蝶定理的猜想推理推广》[J] ，《中学数学杂志》，2009年10期。

[4]张景中，《新概念几何》[M]。

北京: 中国少年儿童出版社,2002, 1。

[5]单墫，《平面几何中的小花》[M]，上海:上海教育出版社,2002,5。