重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试题[含答案]

重庆市南开中学2024－2025学年九年级上学期数学开学考
试模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A ．2x x
=B ．2104x x ++=C ．240
x -=D ．2240x x ++=3．在反比例函数3k y x -=
图象的每一支曲线上y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）
A ．3k >
B ．0k >
C ．3k <
D ．0k <4．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 与AD
E V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，点A 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0-，点B 的坐标是()2,2-，则点D 的坐标是（ ）
A ．()3,4-
B ．()4,6-
C ．()4,5-
D ．()3,5-5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年一季度新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为（ ）A ．()3101y x =+B ．()()
210101101y x x =++++C ．2
1010y x x =++D ．()2101y x =+
6的值应在（ ）
A ．8和9之间
B ．9和10之间
C ．10和11之间
D ．11和12之间
7．若13
a c e
b d f ===，则3232a
c e b
d f -+-+的值为（ ）A ．1
3B ．1C ．1.5D ．3
8．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n 个小三角形，这里的n =（ ）
A ．87
B ．74
C ．62
D ．53
9．如图正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 为边AB 上一动点，连接DE ，作CF DE ^于点F ，连接OF ．若BDE α∠=，则DOF ∠的度数为（ ）
A ．2α
B ．30α°+
C ．45α°-
D ．602α
°-10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数），已知1a x =．并规定：111n n
a a +=-，123n n T a a a a =××K ，123n n S a a a a =+++¼+．则①25a a =；②1231000211x T T T T x -+++¼+=-；③对于任意正整数k ，()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--成立，以上结论中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．计算：101()(2)2p -+-＝ ．
12．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根是2，则2m = ．
13．一个不透明的箱子里装有a 个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱
子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a 的值为 ．
14．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线 条．
15．如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数()40y x x =>与()20y x x
=-<的图象上，点C 、D 在x 轴上，AB 、BD 分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积为 ．
16．若关于x 的不等式组()02422x m x x -ì>ïíï-<-î
的解集为0x >，且关于y 的分式方程
1322
y m y y -=---有非负整数解，则所有满足条件的整数m 的值的和是 ．17．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，过点B 作BE AB ^交CD 于点E ，连接
AE ，F 为AE 的中点，
H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为 ．18．若一个四位自然数A ，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A 去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A 为“活泼数”，例如2521A =，因为225221-=，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B ，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B 为“可爱数”，例如1425，因为211-=，541-=，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”A abcd =，规定：
22()a b b cd F A
a
b
×+-=+，对于一个“可爱数”B mnpq =，规定：()G B p n =-，则
(5611)(3142)F G ´= ；当B 的百位数字为4时，若()3()9
G B F A +是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（1）解方程：11322x x x
-=---（2）解不等式组：()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî
．20．先化简，再求值：22122121x x x x x
x x x ---æö-¸ç÷+++èø，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，过点B 作ABC ∠的角平分线，交AC 于点F ，连接BE 、DF ．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，DE 平分ADC ∠，交AC 于点E ．
求证：四边形BEDF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD CB =，① ，
∴DAC BCA ∠=∠．
∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12
ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA
∠=∠∴② ，
∴()ASA ADE CBF V V ≌．
∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠
．
∴③ ，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x 分钟，将所得数据分为5个组别（A 组：90100x ££；B 组：8090x £<；C 组：7080x £<；D 组：6070x £<；E 组：060x £<），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B 组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：
82，82，81，81，81，81，80，80，80，80.
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组
A B C D E 频数14b 28136
③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级
平均数中位数众数七年级
81.379.582八年级81.3c 83
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)a =______，b =______，c =______；
(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
23．四边形ABCD 中，AB CD ∥，BC AB ^，12AB =，6DC =，8BC =．动点P 从A 点出发，沿A B ®方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，当Q 点到达C 点时，P 、Q 两点都停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒，1y AP DQ =+，
(1)请直接写出1y 关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y 的图象，并写出函数1y 的一条性质；
(3)若函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点，请直接写出b 的取值范围．24．新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签
字笔，商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6
元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．
(1)求每本笔记本和每支签字笔的进价？
(2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%，商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价应定为多少元？
25．如图，直线122
y x =+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点C ，点P 是反比例函数(0)k y k x =¹图象与直线AC 在第一象限内的交点，过点P 作PB x ^轴于点B ，且6AB =．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D 是直线PB 右侧反比例函数图象上一点，且92
APD S =V ，直线PD 交y 轴于点E ，点M ，N 是直线AC 上两点，点M 在点N 的左侧且MN AP =，求EM DN +的最小值及此时点N 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点F 为反比例函数图象上一点，若45PEF PAB ∠-∠=°，请直接写出所有符合条件的点F 的横坐标．
26．在ABC V 中，90BAC ∠=°，AB AC =，D 为线段BC 上一点（点D 不与B ，C 重合），连接AD ．
(1)如图1，105ADB ∠=°，CD =BD 的长度；
(2)如图2，D 为BC 中点，E 为平面内一点，连接DE ，CE ，AE ，BE ，将线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，90FAC ECB ∠+∠=°，G 为线段EC 上一点，
AG CE ^，求证：2CE AG =+；
(3)如图3，P ，H 为射线AD 上两个点，90BHA ∠=°，2AP BH =，将BNP △沿直线BP 翻
折至BHP V 所在平面内得到BKP △，直线PK 与直线AB 交于点T ．若AB =BP 取得最小值时，请直接写出APT △的面积．
1．D
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了根的判别式．利用根的判别式对选项中方程根的情况依次进行判断即可．
【详解】解：2x x
=，
则20
x x
-=，
所以2
(1)41010
D=--´´=>，
则此方程有两个不相等的实数根．故A选项不符合题意．
21
0 4
x x
++=，
则21
1410
4
D=-´´=，
所以此方程有两个相等的实数根．故B选项符合题意．
240
x-=，
2
041(4)160
D=-´´-=>，
所以此方程有两个不相等的实数根．故C选项不符合题意．
2240
x x
++=，
2
2414120
D=-´´=-<，
所以此方程没有实数根．故D选项不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到
30k ->，解可得k 的取值范围．
【详解】解：根据题意得：30k ->，
3k \>，
故选：A ．
4．B
【分析】本题考查的是位似变换，以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点D 在新坐标系中的坐标，进而求出点D 的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．
【详解】以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为 ()12-,，
∵ABC V 与ADE V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，
∴点D 在新坐标系中的坐标为 ()13,23-´´，即 ()3,6-，
则点D 在原坐标系中的坐标为()4,6-，
故选：B ．
5．B
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2
101x +，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2101x +，
今年一季度新产品的研发资金()()210101101y x x =++++，
故选：B ．
6．B
【分析】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．
6=∵91516
<<
∴34
<<
∴9610
<<
的值应在9和10之间．
故选：B ．
7．A
【分析】先用b 、d 、f 分别表示出a 、c 、e ，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由13
a c e
b d f ===， 333b a ，d
c ，f e \===，()323232132332333323
a c e a c e a c e
b d f a
c e a c e -+-+-+\===-+´-´-´-+，故选：A ．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
8．B
【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．
设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律第n 个图形三角形个数为(1)(21)2
n n n ++-，依此规律即可得出结论．【详解】解：设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），
1211a ==+Q ，
26(12)3a ==++，
311(123)5a ==+++，
417(1234)7a ==++++，
(1)12(21)(21)2
n n n a n n n +\=++¼++-=+-．()1011010121015519742
a \=´´++´-=+=．故选：B ．
9．C
【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出OD OC =，90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，利用三角形内角和定理得出BDE OCH α∠=∠=，利用AAS 即可证明ODN OCN V V ≌，得出OF 平分EFC ∠，利用三角形外角性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点O 作OM CF ^于M ，ON DE ^于N ，设CF 、BD 交于点H ，
∵正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，
∴AC BD ^，OD OC =，
∵CF DE ^，
∴90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，
∵DHF OHC ∠=∠，
∴BDE OCH α∠=∠=，
在ODN △和OCM V 中，90OND OMC ODN OCM OD OC α∠=∠=°ìï∠=∠=íï=î
，
∴ODN OCN V V ≌，
∴OM ON =，
∴OF 平分EFC ∠，∴1452
EFO OFC EFC ∠=∠=∠=°，∴45DOF EFO BDE α∠=∠-∠=°-．
故选：C ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．D
【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题
意逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵1a x =，111n n a a +=
-，∴211a x =-，31x a x
-=，4a x =，511a x =-，∴25a a =，故①正确；
∵123n n
T a a a a =××K ∴1T x =，
212111x T a a x x x
===--g ，3123111x x T a a a x x
-===--g g g ，41234T a a a a x ==-g g g ，
5123451x T a a a a a x
-==-g g g g ，61234561T a a a a a a ==g g g g g ，
∴1234560T T T T T T +++++=，
∵100061664¸=L ，
12310001234211x T T T T T T T T x
-+++¼+=+++=
-，故②正确；由①②可得n n a T 、分别是以3和6为周期的数列，
当k 为奇数时：
()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=-+ç÷-èø211x x x
--=-，2331321111k k k x x x x x x
T T T ------=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，
当k 为偶数时：
()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=+ç÷-èø211x x x
-++=-，
()2331321111k k k x x x T T T x x x
----++--=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，
故③正确；
故选：D ．
11．3
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ．
【详解】解：原式=2+1=3，
故答案为3 ．
【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键．
12．1
【分析】先将x =2代入220x x m -+=，然后求解关于m 的方程，再代入求值即可．
【详解】把2x =代入220x x m -+=，得：
22220m -+=，
∴1
m =-∴21m =．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解是解答本题的关键．
13．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，
50.25a
\=，解得20a =，
经检验：20a =是原方程的解，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等
于频率．
14．3
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数．
【详解】设多边形的边数是n ，则
（n ﹣2）•180°=720°，
解得n=6，
∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6﹣3=3（条），
故答案为3．
【点睛】本题考查多边形的对角线，多边形内角与外角，关键是要先根据多边形的内角和公式求出边数.
15．53##213
【分析】设A （a ，4a
），a ＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD ，OE ，OC ，OF ，EF ，利用三角形的面积公式，即可得答案．
【详解】解：设点A 的坐标为（a ，
4a ），a ＞0，则OD =a ，OE =4a ，∴点B 的纵坐标为4a
，∴点B 的横坐标为-
2a ，∴OC =
2a ，∴BE =2
a ，∵AB ∥CD ，∴12
EF BE OF OD ==，∴EF =13OE =43a ，OF =23OE =83a
，∴S △BEF =
12EF •BE =12×43a ×2a =13，S △ODF =12OD •OF =12×a ×83a =43
，∴S 阴影=S △BEF +S △ODF =13+43=53
．
故答案为：53
．【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
16．8
-【分析】先按照不等式组的性质求出不等式的解集，进而确定m 取值范围；再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值，最后求和即可．【详解】解：()02422x m x x -ì>ïíï-<-î
①②，
解不等式①得x m >，
解不等式②得0x >，
Q 不等式的解集为：0x >，
0m \£．解分式方程1322
y m y y -=---，方程两边同时乘以()2y -得，()132y y m -=-+，解得：52
m y +=．25m y \=-，
0m £Q ，
250y \-£，
52
y \£．Q 分式方程1322m y y y
--=--有非负整数解，20y \-¹，0y ³，
2y \¹且0y ³，
y \的值为：0，1．
m \对应的值为：5-，3-．
\符合条件的所有m 的取值之和为：()538-+-=-．
故答案为：8-．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，解题的关键在于求出m 取值范围以
及求出分式方程的解．
17
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．由菱形的性质得4AB BC CD ===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，再由三角形中位线定理得122FH AB =
=，AB FH ∥，然后证()AAS FHG CEG ≌△△
，得12EG GH EH ===，进而由勾股定理即可得出结论．【详解】解：Q 菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，
4AB BC CD \===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，
F Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，\12EH BE =，FH 是ABE V 的中位线，\122
FH AB ==，AB FH ∥，\AB FH CD ∥∥，
BE AB ^Q ，
FH BE \^，CD BE ^，
90FHE BEC °\∠=∠=，
906030CBE \∠=°-°=°，\122
CE BC ==，
\BE ===，
\12
EH BE ==FH CE \=，
在FHG △和CEG V 中，FHG CEG FGH CGE FH CE ∠=∠ìï∠=∠íï=î
，
()AAS FHG CEG \≌△△，
\12EG GH EH ===在Rt FHG V
中，由勾股定理得：GF ，
18． 12
6905【分析】本题考查因式分解及新定义的运算，理解定义是解决问题的关键．根据题意即可求得(5611)(3142)F G ´的值，结合“活泼数”A abcd =，“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，可得()33()93(23)
G B m F A a b -=+-+是整数，可知30m -=，3，6，根据“可爱数”可知只有33m -=符合题意，进而可得()13()923
G B F A a b =+-+是整数，得231a b -+=±，即24a b -=-或22a b -=-，求得a ，b 得值，结合“活泼数”定义及条件为奇数即可求得所有得满足条件的奇数四位数A 的和．【详解】解：由题意可得：2566211(5611)(3142)1256
F G ´+-´´==+ ∵“活泼数”A abcd =，则22b a cd -=，
∴22()a b b cd F A a b
×+-=+()
222
2a b b b a a b ×+--=+22
2a b b a a b
×-+=+()()2a b a b a b
-+=+2a b =-，
则()()3()933323F A F A a b éù+=+=-+ëû，
∵“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，则1p m =+，4n =，
∴()143G B p n m m =-=+-=-，
∵()33()93(23)
G B m F A a b -=+-+是整数，30m \-=，3，6，
当30m -=时，3m =，则4p =，4n =，不符题意，舍去；
当33m -=时，6m =，则7p =，4n =，15q n =+=，符合题意；
当36m -=时，9m =，则10p =，不符题意，舍去；
()13()923
G B F A a b \=+-+是整数，231a b \-+=±，
24a b \-=-或22a b -=-，
当24a b -=-时，1,6a b ==；2,8a b ==；
1635A \=或2860A =（偶数，不符题意，舍去）；
当22a b -=-时，1,4;2,6;3,8a b a b a b ======；
1415A \=或2632A =（偶数，不符题意，舍去）或3855A =，
1635141538556905
\++=故答案为：12，6905．
19．（1）无解；（2）13
12
x -£<【分析】本题考查了解分式方程和求一元一次不等式组解集．
（1）分式方程两边都乘以()2x -，把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：（1）方程两边都乘以()2x -得：()1132x x =---，
解得：2x =．
检验：当2x =时，2220x -=-=，
所以原分式方程无解；
（2）()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî
①②，解不等式①得：1x ³-，
解不等式②得：132
x <，所以，不等式组的解集是1312x -£<
．20．2
1x x +；1．【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x 2=x +1代入即可．
【详解】解：原式=(1)(1)(2)(1)x x x x x x -+--+×2
(1)(21)
x x x +-=21(1)x x x -+×2
(1)(21)
x x x +-
=2
1x x +，∵x 2﹣x ﹣1=0，
∴x 2=x +1，∴21x x +=11
x x ++=1．21．①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
（1）作ABC ∠的平分线，其中交AC 于F 即可；
（2）由于()ASA ADE CBF V V ≌，根据全等三角形的性质得到()ASA ADE CBF V V ≌根据等角的补角相等可得DE BF =，DEA BFC ∠=∠，则DE BF P ，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】如图，点F 即为所作；
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD CB =，AD CB ∥，
∴DAC BCA ∠=∠．
∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12
ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA
∠=∠∴ADE CBF ∠=∠，
∴()ASA ADE CBF V V ≌．
∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠．
∴DE BF P ，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形．
故答案为：①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形．22．(1)10，39，80；
(2)八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；
(3)718．
【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B 组”所占的百分比，再求出“A 组”所占的百分比，确定a 的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b 的值，再根据中位数的定义求出c 的值；
（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．
【详解】（1）解：根据扇形统计图可知，“B 组”所占的百分比为
144100%40%360
´=，所以“A 组”所占的百分比为140%25%18%7%10%----=，
即10a =；
100142813639b =----=；八年级的中位数在B 组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为
8080802
+=，即80c =；
故答案为：10，39，80；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）()143980010%40%600718100+´++´=（人），答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
23．(1)()()
1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî
(2)图见解析，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小（答案不唯一）
(3)06
b <£【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等：
（1）作DH AB ^于点H ，得到矩形DCBH ，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，当58x <£时，点Q 在线段CD 上，列分段函数即可；
（2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数1y 的性质；（3）通过一次函数图象的平移解决问题．
【详解】（1）解：如图，作DH AB ^于点H ，
Q AB CD ∥，BC AB ^，DH AB ^，
\90C B DHB Ð=Ð=Ð=°，
\四边形DCBH 是矩形，
\8DH BC ==，6BH CD ==，
\1266AH AB BH =-=-=，
\10AD ===，
Q 动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，
\点Q 从点A 到点D 用时：()1025s ¸=，从点A 到点C 用时：()()10628s +¸=，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，
102DQ AD AQ x =-=-，AP x =，
\110210y AP DQ x x x =+=+-=-；
当58x <£时，点Q 在线段CD 上，
2210DQ x AD x =-=-，AP x =，
\1210310y AP DQ x x x =+=+-=-；
综上可知，()()
1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî；
（2）解：1y 的图象如下图所示，由图可知，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小，当58x <£时，1y 随x 的增大而增大；
（3）解：如图，当06b <£时，函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点．
24．(1)每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；
(2)每本笔记本的售价应定为11元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程以及一元二次方程是解此题的关键．
（1）设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据“商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍”列出分式方程，解方程即可；
（2）设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出
()14205160100.5
y y -+´=-本，根据“笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据题意得：
800160026x x
=´-，解得：8x =，
经检验，8x =是所列方程的解，且符合题意，6862x \-=-=，
答：每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；
（2）解：设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出()14205160100.5
y y -+´=-本，根据题意得：()()()8160105240270y y --+-´=，
整理得：2241430y y -+=，
解得：121113y y ==，，
当11y =时，
141411100%100%21.4%10%1414y --´=´»>，符合题意；当13y =时，141413100%100%7.1%10%1414
y --´=´»<，不符合题意，舍去，答：每本笔记本的售价应定为11元．
25．(1)反比例函数解析式为6y x
=；
(2)EM DN +的最小值为，此时(4,4)N ；
(3)符合条件的点F 5-．【分析】（1）先求出点A 坐标，利用6AB =求出点P 的坐标，继而求出反比例函数解析式即可；
（2）过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，根据面积求出点D 坐标，再求出直线PD
解析式，得到点E 坐标，继而求出线段MN 长，将点D 沿着射线PA 方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，当点
E 、M 、D ¢共线时取等号，
此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，据此求出最小值和点N 坐标即可；
（3）分两种情况讨论①当EF 在ED 左侧时，②当EF 在ED 右侧时，根据条件分别求出点F 的横坐标即可．
【详解】（1）解：在一次函数122
y x =+中，令0y =时，4x =-，4\=OA ，
6AB =Q ，
2OB \=，
当2x =时，12232
y =´+=，(2,3)P \，
Q 点P 在反比例函数图象上，
6k \=，
\反比例函数解析式为6y x
=；（2）解：如图，过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，
设点6,D a a æöç÷èø，2a >，则1,22K a a æö+ç÷èø，92
APD ADK PDK S S S =-=Q △△△，\11692(24)222
a a æö´+-´+=ç÷èø，整理得：2120a a +-=，
解得3a =或4a =-（舍去），
(3,2)D \，
设直线PD 的解析式为y kx b =+，
3223k b k b +=ìí+=î，解得15
k b =-ìí=î，\直线PD 的解析式为5y x =-+，
)5(0,E \，
(4,0)-Q A ，(2,3)P
，
MN AP \==将点D 沿着射线PA
方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，
EM DN EM D M D E \+=³¢¢+，
当点E 、M 、D ¢共线时取等号，此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，
(3,1)D ¢--Q ，(0,5)E ，
\直线D E ¢的解析式为25y x =+
，D E ¢=，由12225
y x y x ì=+ïíï=+î，解得21x y =-ìí=î，(2,1)M \-，则(4,4)N ，
EM DN \+
的最小值为，此时(4,4)N ；
（3）解：①当EF 在ED 左侧时，如图所示，
设PE 与x 轴交于点Q ，则(5,0)Q ，
5OE OQ \==，则45OEQ OQE ∠=∠=°，
Q 当0x =时，1222
y x =+=，(0,2)C \，则2OC =，
过点M 作MH y ^轴，垂足为H ，
90MHE COA \∠=∠=°，2MH OC ==，4HE OA ==
，
()SAS MHE COA \V V ≌，
HEM CAO \∠=∠，则45PEM HEM OEQ PAB ∠=∠+∠=∠+°，
45PEF PAB ∠-∠=°Q ，
45PEF PAB \∠=∠+°，
PEF PEM \∠=∠，即点E 、M 、F 共线，
则点F 为直线25y x =+与反比例函数6y x
=图象的交点，由6
y x y ì=ïíï=
î得22560x x +-=，
解得x =或x =，点F ②当EF 在ED 右侧时，如图，ES x ∥轴，则45SEP ∠=°，
则4545PEF FES PAB ∠=∠+°=∠+°，
FES PAB \∠=∠，则EF AP ∥，
\直线EF 的解析式为152
y x =+，由6
152y x y x ì=ïïíï
=+ïî
得210120x x +-=，
解得5x =-或
5x =-，
\在
ED 右侧的点F 横坐标为5-
综上分析，符合条件的点F 或5-．【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关
键．
26．(1)BD =；
(2)
(3)APT S V 【分析】（1）作DE AC ^于E ，由Rt CDE △求得DE ，由Rt ADE V 求得AE ，由Rt ABC △求得BC ，进一步得出结果；
（2）可证得()SAS ADF BDE V V ≌，从而得出EBD FAB ∠=∠，BE AF =，可证得EBA AOE ∠=∠，从而点E B O A 、、、共圆, 从而得出45BEC BAD ∠=∠=°，从而
12BEC BAC ∠=∠，12
EH AF ==，EH BH =，进而得出点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，从而AE AC AB ==，可得出AH 是BE 的垂直平分线, 从而EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，进而证得GAH AHG ∠=∠，从而AG GH =，进一步得出结论；
（3）作CE AD ^于E ，可证得ACE BAH ≌V V ，从而得出AE BH =，进而得出 CP CA ==
从而得出点P 在以C BC 交C e 于点 P ¢，可得出当点P 运动在P ¢处时，BP 最小， 作AH BC ^于H ，可求得APC △的面积，根据BPT CPA ∽V V ，可求得BPT △的面积，进一步得出结果．
【详解】（1）如图1，
作DE AC ^于E ，
∴AB AC =，90BAC ∠=°，
∴45B C ∠==°∠，
在Rt CDE △中，CD =45C ∠=°，
∴由勾股定理得：DE CE ==，
在Rt ADE V 中，1054560DAC ADB C ∠=∠-∠=°-°=° ，DE =∴1
AE =
∴1AC AE CE =+=，
在Rt ABC △中，1AC =，45C ∠=°，
∴BC =+，
∴BD BC CD =-=（2）证明：如图2，
设AD 和CE 交于点O
∴AB AC =，D 是BC 的中点，
∴AD BC ^，
∵90BAC ∠=°∴12
AD BD CD BC ===，∵线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，
∴90EFD ∠=°，DE DF =，
∴90ADB EDF ∠==°，
∴ADF BDE ∠=∠，
∴()SAS ADF BDE V V ≌，
∴EBD FAB ∠=∠，BE AF =，CAF CAD ∠=∠，
∴4545EBA CAF ∠+°=∠+°，∴EAB CAF ∠=∠，∵90ADC ∠=°，
∴90BCE COD ∠+∠=°，∵AOE COD ∠=∠，∴90BCE AOE ∠+∠=°，∵90BCE CAF ∠+∠=°，∴CAF AOE ∠=∠，∴EBA AOE ∠=∠，∴点E B O A 、、、共圆，∴45BEC BAD ∠=∠=°，
∴12BEC BAC ∠=∠，12EH AF ==，EH BH =，AB AC =，∴点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴AE AC AB ==，∵AG CE ^，∴12
EG CG CE ==，∵EH BH =，AE AB =，∴AH 是BE 的垂直平分线，∴EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，∵BH AG ∥，
∴BAG ABH ∠=∠，∴GAH BAH BAG EAH AEH ∠=∠+∠=∠+∠，∵AHG EAH AEH ∠=∠+∠，∴GAH AHG ∠=∠，∴AG GH =，
∴EG EH GH AF AG =++，
∴22EG AG +，
∴2CE AG =+；（3）如图3，
作CE AD ^于E ，
∴90AEC ∠=°，
∴90EAC ACE ∠+∠=°，
∵90BAC ∠=°，
∴90BAH CAE ∠+∠=°，
∴BAH ACE ∠=∠，
∵AB AC =，90AEC AHB ∠=∠=°，
∴()ACE BAH AAS V V ≌，
∴AE BH =，
∵2AP BH =，
∴2AP AE =，
∴CP CA ==
∴点P 在以C BC 交C e 于点P ¢，
∴当点P 运动在P ¢处时,BP 最小，如图4，
作AH BC ^于H ，。