0708高等数学C(二)

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2012-2013学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案

安徽大学2012—2013学年第二学期《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题号一二三四五总分得分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是（）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是（） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是（） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件（） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为（）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟．．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠．．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠，．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+．．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =，即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠，故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解．．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数．．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==．对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==．．．．．．．（6分）故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−．．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=．另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+．．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+．．．．．．．（6分）。

高数C2习题册答案(08年修改)

习题一定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C *5、D二、填空题1． 0 2．2x e dx -<< 3． 0 4．1x - 6．()()f b f a - 7．4π8． >三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()2x x ϕ'= （2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅2．求下列极限：*(1)3x 0x x dt t 22⎰→arcsin lim*(2) )2(1lim22n n n n n +++∞→解：230arcsin limx x x →+⎰解：21limn n→∞ 202arcsin 2lim3x x x x →+=1lim n n →∞=+ 02arcsin 24lim 33x x x →+==11lim nn i n →∞==230arcsin limx x x→-⎰=⎰20arcsin 22lim 3x x x x→-⋅= 23= 02arcsin 24lim33x x x →--==-故极限不存在。

3．证明：)(x φ=dt t f t x xa2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()xxxaaaxf t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4．解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =，当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值1(1)(1)ty e t dt =-⎰=2e -.习题二定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分 (1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-1212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰解：原式=2112201()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654- 2112t e -=-121e -=-(3)⎰-π3)sin 1(dx x(4)41⎰ 解：原式30sin dx xdx ππ=-⎰⎰解：原式41=⎰20(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+-411)=43π=- 32ln 2=(5)⎰+312211dx x x (6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t = 解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰ 22001(cos 2cos 2)2x x xdx ππ=--⎰324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰ 2011(sin 2)222x ππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin t ππ=-4π==(7)⎰230arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x =- 解：原式111sin ln cos ln ee x x x x dx x =-⋅⎰0162π=- 111sin1cos ln sin ln e ee x x x x dx x =--⋅⎰1122=-⋅ 1sin1cos11sin ln ee e xdx =-+-⎰12=+ 故 11sin ln (1sin1cos1)2exdx e e =+-⎰2．解：令1x t -=，则⎰-2)1(dx x f 11()f t dt -=⎰01101111tdt dt e t -=+++⎰⎰ 令te u =，则1011111(1)t e dt du e u u --=++⎰⎰1111()1e du u u -=-+⎰11ln 1e uu-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰ ⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nmm nx x dx t t dt -=--⎰⎰1(1)m n t t dt =-⎰10(1)m n x x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()bbbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()bbf x dx -=-⎰3．证明：令1x t =，则111222111()11x x dx dt x tt -=-++⎰⎰12111x dt t =+⎰12111xdx x =+⎰ 4．证明：0()()xx f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则00()()()xx x f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰ 又()f u 是奇函数()xf u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B2. C3. D 二、填空题1． 1≤， >1 ,11α-； 1≥， <1 ， 11α- 2.6，(1)r -.三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx x x 1e2⎰+∞ln (2)()dx x 1x 11002⎰∞++ 解：原式21ln ln ed x x +∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ 11ln ex+∞=-= ()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰97111()29798994-=-+⨯ (3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式1(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-11202(1)x =--2= 1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散令1(ln 2)()1xf x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x x x f x x ---⋅--'=-11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>，所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k1(ln 2)1k k -=-取得最小值。

2008年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分) 1．cos330= （）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，4．下列四个数中最大的是（） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x +B ．e 2x -C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF += （）A ．10B ．210C ．5D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切（1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。

2008年数学二考研数学真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()22,Df u v F u v +=，则Fu∂=∂（） ()A ()2vf u()B ()vf u()C ()2vf u u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =（10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. （12）已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. （13）矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且2A =-48，则λ=_______.（14）设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+，则A 的非零特征值为 .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (17)（本题满分10分）求积分21⎰(18)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值. (19)（本题满分10分）曲线()y f x =满足(0)1f =对于任意的t 曲线是严格递增，在x 轴上0t >，该曲线与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ,侧面积为()S t .如果()f x 二阶可导,且()2()S t V t =，求曲线()y f x =. (20)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤（21）（本题满分11分）证明(1)积分中值定理；(2)已知()x ϕ在[1,3]上连续且可导，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰证明至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ'=使得. （22）（本题满分11分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0TB = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（23）（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -。

08年全国二卷及答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1(1的展开式中x 的系数是（） A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1BCD ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（）A．B．C ．(25)，D．(210．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A ．13B ．3C ．3D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =，解：33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++ （←考查和的立方公式，或二项式定理）3223(3)(3)a a b a b b i =-+- （←考查虚数单位i 的运算性质）R ∈ （←题设条件） ∵a b ∈R ，且0b ≠∴ 2330a b b -=（←考查复数与实数的概念） ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．2029思路1：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：211220102010330()C C C C P A C += （←考查组合应用及概率计算公式） 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ （←考查组合数公式） 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.思路2：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件A 的对立事件为A ：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：()1()P A P A =- （←考查对立事件概率计算公式）3320103301C C C +=- （←考查组合应用及概率计算公式）2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯（←考查组合数公式） 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3，问题解决起来就很容易了. 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··············································· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ················································································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ····························································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ················································································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······················································································································· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E a E ηξ=--，······················································ 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ········································································ 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥．···························································································· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== AB CD E A 1 B 1 C 1 D 1FH G故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······································································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ······························································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················································································· 3分（Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos 42AC AC AC ==，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ······························································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·························································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ·············································································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········································································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+ 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································································ 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==····································································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······························· 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······························································································································ 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为·················································· 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ····································· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···································· 6分（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则第11页（共11页） 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······························ 9分当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥．因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ····················································································· 12分。

07-08(2)高等数学(2)答案B卷.08.7.7考试doc

中国民航大学高等数学 (2) 期末试卷(AB 班 ) 答案及评分标准
一 . 选择题 (每题 3 分,共 15 分 )
3xy
1. 二元函数 f x, y
x2 y2
x, y
0,0
在原点处 [
]
0
x, y 0,0
A ．连续，偏导数存在 C．偏导数存在且可微
B ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数也不存在
0
0
考试日期 :2008 年 7 月 7 日星期一高等数学 (2)期末试卷答案及评分标准
（ 2 分）
120 分钟第 3 页共 5 页
a3 0 2
2 a3 。
（ 3 分）
4．计算曲面积分
(xy yz zx)dS , 其中曲面为锥面 z x 2
所截得的有限部分。解：曲面在 xoy 坐标面上的投影区域
dz 2 y x
x
dx
D
3z 1
（ 2 分）（ 2 分）（ 2 分）
四．计算下列各题（每题 8 分，共 32 分）
1．计算二重积分 ( x y)2 dxdy，其中 D ： x2 y 2 a2 ( a 0) 。
D
解：利用极坐标变换
2
( x y) dxdy ( r cos
D
D
a r 3dr 2 (1 2 sin cos
0
0
1 a4 2
r sin )d
2
) rdrd
（3 分）（ 3 分）（ 2 分）
2．计算由四个平面 x 0 , y 0 , x 1 , y 1所围成的柱体被平面 z 0 及 2x 3 y z 6 截
得的立体的体积。
解 : 由二重积分的几何意义 , 所围的立体的体积

高等数学C(二)09-10真题(A卷)答案

=
=
方法二：微分法. 方程两端分别求微分得到 2 cos(x + 2y − 3z )(dx + 2dy − 3dz ) = dx + 2dy − 3dz 变形得到 [6 cos(x+2y −3z )−3]dz = [2 cos(x+2y −3z )−1]dx+[4 cos(x+2y −3z )−2]dy. 当6 cos(x + 2y − 3z ) − 3 ̸= 0时，上式可以写为 dz = 所以 ∂z ∂x ∂z ∂y = = 2 cos(x + 2y − 3z ) − 1 6 cos(x + 2y − 3z ) − 3 4 cos(x + 2y − 3z ) − 2 . 6 cos(x + 2y − 3z ) − 3 · · · · · · · · · · · · · · · (6′ ) · · · · · · · · · · · · · · · (8′ ) 2 cos(x + 2y − 3z ) − 1 4 cos(x + 2y − 3z ) − 2 dx + dy 6 cos(x + 2y − 3z ) − 3 6 cos(x + 2y − 3z ) − 3 · · · · · · · · · · · · · · · (4′ ) · · · · · · · · · · · · · · · (3′ ) · · · · · · · · · · · · · · · (2′ )
令x(y ) = C (y ) · y −2 , 代入非齐方程得C ′ (y ) = 1. 故C (y ) = y + C , 其中C 为自由常数. 原微分方程的通解为 x(y ) = (y + C )y −2 . · · · · · · · · · · · · · · · (5′ )

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（）()A 0()B 1 ()C 2()D 3解：()D分析：()()()()()()22221212494f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+令()0f x '=，则可得()f x '零点的个数为3.（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.解：()C分析：0()()()()aaaxf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx⎰为曲边梯形的面积，所以()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积。

（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.解：()D .分析；由123cos2sin 2x y C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+，即32440λλλ-+-=所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=, 选()D . （4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( )()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点解：()A分析：()f x 的间断点为1,0x =，而0lim ()0x f x →+=，故0x =是可去间断点；1lim ()sin1x f x →+=，1lim ()sin1x f x →+=-，故1x =是跳跃间断点故选()A 。

2008—数二真题、标准答案及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y =+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= ()A 2()vf u ()B 2()vf u u()C ()vf u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x→-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617.(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5325y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)221)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫===⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：2121dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+，即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a a a a A r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a=+ 证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,TTk k + 为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(二)试题

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上的指定位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上 1．=-+∞→4312x x iml x【答案】：C【解析】：属于极限基本题，分子，分母同除x ，即得32，选C 【点评】：曾在安通系统班及强化班高数课上，极限部分有过大量相关题型练习。

A ．41-B. 0C. 32D. 12. 已知)(x f 在1=x 处可导，且3)1(='f ，则0(1)(1)lim h f h f h→+-=A. 0B. 1C. 3D. 6 【答案】：C【解析】：考核导数定义，或用洛必达法则。

选C【点评】：在安通课上导数部分，有详细讲解导数定义及洛必达法则的应用，在串讲篇有重点强调。

3. 设函数='=y nx y 则,1 A.x 1 B. x1- C. x ln D. xe【答案】：A【解析】：容易题。

据辅导教材51页导数公式（4）得【点评】：在安通课上导数部分，有过详细讲解。

4. 已知)(x f 在区间（∞+∞-,）内为单调减函数，且)(x f >)1(f ，则x 的取值范围是A. (1,-∞-)B. (1,∞-)C. (∞+,1)D. (∞+∞-,) 【答案】：D【解析】：属概念题，选 D 与)(x f >)1(f 无关【点评】：在函数部分，有过详细讲解，在串讲篇有重点强调。

5. 设函数=+=dy e y x则,2A. ()dx e x 2+B. ()dx x e x 2+ B. ()dx e x 1+ D. dx e x【答案】：D【解析】：属于较容易题. 据辅导教材70页微分公式（1）,（4）。

6.⎰=+dx x )1(cosA. C x x ++sinB. C x x ++-sinC. C x x ++cosD. C x x ++-cos 【答案】：A【解析】：属于容易题. 据辅导教材135页微分公式 7.=⎰-dx x 511A. -2B. -1C. 0D. 1 【答案】： C【解析】：容易题. 据”连续奇函数在对称区间上的定积分为0”. 8. 设函数y x z 32+=，则xz∂∂= A. y x 32+ B. x 2 C. 32+x D.23233y x + 【答案】： B【解析】：属于较容易题. 对2x 求导,3y 看作常数即可得B 选项。

高等数学c教材目录

高等数学c教材目录1. 高等数学C教材目录本教材旨在为大学高等数学C课程提供全面、系统的教学内容。

通过深入浅出的讲解和丰富的例题，帮助学生建立起扎实的高等数学基础，提高数学分析和推理的能力。

以下是本教材的目录：第一章：数列与极限1.1 数列的概念与性质1.1.1 数列的定义1.1.2 数列的收敛性1.1.3 数列极限的性质1.2 函数极限与极限运算1.2.1 函数极限的定义1.2.2 函数极限的运算法则1.2.3 极限存在准则1.3 极限存在性的证明方法1.3.1 夹逼定理1.3.2 单调有界原理1.3.3 无穷小量的性质与运算第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则 2.1.3 高阶导数2.2 导数的几何意义与应用2.2.1 切线与法线方程2.2.2 凹凸与拐点2.2.3 最值与最优化问题2.3 微分与高阶导数2.3.1 微分的概念与性质2.3.2 高阶导数的计算方法2.3.3 泰勒级数与近似计算第三章：一元函数积分学3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算法则3.1.3 牛顿—莱布尼兹公式 3.2 不定积分与基本积分公式 3.2.1 不定积分的定义与性质 3.2.2 基本积分公式及其应用 3.2.3 分部积分与换元积分法 3.3 定积分的应用3.3.1 曲线长度与曲面面积 3.3.2 弧长与弓高问题3.3.3 物理应用案例分析第四章：常微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.1.1 常微分方程的定义4.1.2 解的存在唯一性定理 4.1.3 初值问题与通解4.2 一阶常微分方程4.2.1 可分离变量方程4.2.2 一阶线性微分方程4.2.3 齐次方程与非齐次方程4.3 解的方法与特解形式4.3.1 可降阶的二阶微分方程4.3.2 常系数二阶线性微分方程 4.3.3 模拟解法与特解形式第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的导数与偏导数5.1.1 多元函数的导数定义5.1.2 偏导数的概念与性质5.1.3 方向导数与梯度5.2 高阶偏导数与复合函数求导5.2.1 高阶偏导数的计算5.2.2 链式法则与隐函数求导5.2.3 多元函数极值的判定5.3 多元函数微分学的几何应用5.3.1 驻点与极值问题5.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法5.3.3 二重积分的几何应用第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.1.1 二重积分的定义6.1.2 二重积分的计算与性质6.1.3 二重积分的应用6.2 三重积分与曲线、曲面积分6.2.1 三重积分的定义与计算6.2.2 三重积分的性质与应用6.2.3 曲线积分与曲面积分的概念 6.3 向量场与曲线、曲面积分6.3.1 向量场的定义与性质6.3.2 曲线积分的计算与应用6.3.3 曲面积分的计算与应用第七章：无穷级数7.1 收敛级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 正项级数的收敛性7.1.3 收敛级数的性质与判别法7.2 幂级数与泰勒级数7.2.1 幂级数的定义与性质7.2.2 幂级数的收敛域7.2.3 泰勒级数与函数展开7.3 函数项级数7.3.1 函数项级数的收敛性7.3.2 傅里叶级数与函数逼近通过本教材的学习，相信学生们能够系统地掌握高等数学C的核心概念和重要知识点，提高数学思维和解决实际问题的能力。

2008年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案

一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题
参考答案：C
第2题
参考答案：C
第3题
参考答案：A
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：D 第6题
参考答案：A 第7题
参考答案：C 第8题
参考答案：B 第9题
参考答案：A 第10题
参考答案：D
二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第11题
参考答案：1
第12题
参考答案：2
第13题
参考答案：cos x-xsin x
第14题
参考答案：20x3
第15题
参考答案：(1,1/3) 第16题
参考答案：
第17题
参考答案：x3+ x 第18题
参考答案：2
第19题
参考答案：x2+y2≤1第20题
参考答案：
三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。

2011-2012学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案

安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C(二)》考试试卷（A 卷）院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷时间120分钟）考场登记表序号__________题号一二三四五总分得分阅卷人得分一、填空题（每小题2分，共10分）1．设A 为矩阵，且||33×1A =，把A 按列分块为123(, , )A ααα=，那么行列式3123|, 4, 2|αααα−−==⎜⎜⎟⎝⎠A ___________．2．若矩阵，123045002A ⎛⎞⎜⎟⎟∗为其伴随矩阵，则1()A ∗−=____________．3．若向量组，1(1, 3, 6, 2)T α=2(2, 1, 2, 1)T α=−，线性相关，3(1, 1, , 2)T a α=−−则___________． a =4．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是___________．5. 如果n 阶矩阵A 满足()()r A E r A E n ++−=，且A E ≠，其中E 为阶单位矩阵，n那么矩阵A 必有一个特征值为___________．得分二、选择题（每小题2分，共10分）6．下列条件中，哪个不能．．作为n 阶实矩阵A 可逆的充要条件 ( )A ．A 的特征值全为非负实数B ．A 可以表示为一些初等矩阵的乘积C ．A 的列向量组线性无关D ．当0x ≠时，0Ax ≠，其中12(,,,)T n x x x x ="7．设向量组12,,,s αα"α线性无关，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．12,,,s αα"α都不是零向量B ．12,,,s αα"α中至少有一个向量可由其余向量线性表示C ．12,,,s αα"α中任意两个向量都不成比例D ．12,,,s αα"α中任一部分向量组都线性无关8．设A 是矩阵，m n ×B 是n m ×矩阵，对线性方程组()AB x 0=，有 ( ) A ．时，方程组仅有零解 n m >B ．时，方程组必有非零解 n m >C ．时，方程组仅有零解 m n >D ．时，方程组必有非零解m n >9．如果两个n 阶矩阵A 与B 相似，那么下列结论一定正确的是 ( ) A ．A 与B 都相似于同一个对角矩阵 B ．A 与B 的秩可能不相等 C ．A 与B 有相同的特征向量 D ．A 与B 有相同的行列式10．若A 是矩阵，，，则43×()2r A =102020103B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠()r AB = ( ) A ． B ．1 C ． D ． 023三、计算题（每小题10分，共60分）得分11．计算n 阶行列式12341110000022000003300000011n n n n−−−−−−"""""""" ．12．设矩阵，求满足方程101210325A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟X A AX −=的矩阵X ．答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．求向量组，，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示． 1(1,1,2,4)T α=−2(0,3,1,2)T α=3(3,0,7,14)T α=4(1,2,2,0)T α=−−5(2,1,5,10)T α=14．求齐次线性方程组的基础解系．123412345023x x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩015．设1α，2α，3α是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，若，，求方程组1(1, 1, 1, 1)T α=23(2, 3, 4, 5)T αα+=Ax b =的通解．16．已知是矩阵111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠212512A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟3⎟−−⎝⎠的一个特征向量，（1）求参数a ，b 及特征向量ξ所对应的特征值．答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2）问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由．四、分析计算题（每小题12分，共12分）得分17．已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =−+−+++的秩为2．（1）求a 的值．（2）利用正交变换求出f 的标准形，并写出相应的正交矩阵Q ．得分五、证明题（每小题8分，共8分）18．设A ，B 均为n 阶方阵，（1）若，证明：0AB =()()r A r B n +≤．（2）若，且2A =A E 为阶单位矩阵，证明：n ()()r A r A E n +−=．安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题2分，共10分）1．； 2．8−12388845882008⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜或⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠18A ； 3．2−； 4．(；５．1− 二、选择题（每小题2分，共10分）６．A ；７．B ；８．；９．D ； 10．C D三、计算题（每小题10分，共60分）11．从第二列起，每列都加到第一列去，再将行列式按第一列展开得原式=(1)23412010********* 003300000011n n n n n n+−−−−−−"""""""" ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）=1000022000(1)033002011n n n n−−+−−−"""""""=(1)(1)(2)(1)2n n n +×−×−××−" =1(1)(1)2n n −+−!. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）12．依题意有，()E A X A −=，且001200326E A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，因为00120040326−−=−−≠，故E A −可逆，且1()X E A −=−A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）下求1()E A −−()001100,200010326001E A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠200010001100326001−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ 11000023026012001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠110000231010342001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠− 故1100231()342100E A −⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）所以11001221013171321034242325100101X ⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−−=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0−− (也可直接用初等变换法求X ).．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）13．依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换 ()123451031213021,, , , 217254214010ααααα−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠10312033330114102242−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1031201111000500060−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10302011010001000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）故()12345, , , , 3r ααααα=，124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3132ααα=+，5122ααα=+.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）14．依题意1511151112130724−−−−⎛⎞⎛→⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎠0，得同解的方程组123423450724x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）取3x ，4x 为自由未知量，得基础解系1372710η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，21374701η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）15．依题意，由1A b α=，2A b α=，3A b α=，得23()2A b αα+=，即23()2A b αα+=，故223αα+也是方程组Ax b =的解．于是231130, , 1, 22Tααα+⎛⎞−=⎜⎝⎠2⎟为导出组0Ax =的解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）又因为知，故方程组()3r A =Ax b =的导出组0Ax =的基础解系中含有个向量，所以非零向量1n r −=130, , 1, 22T⎛⎞⎜⎟⎝⎠即为0Ax =的一个基础解系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）由解的结构定理知的通解为Ax b =13(1, 1, 1, 1)0, , 1, 22TT k ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠k ，为任意常数.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）16．（1）设ξ是矩阵A 的对应特征值λ的特征向量，由特征值及特征向量的定义，A ξλξ=，即，21211531121a b λ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠11−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）得方程组2125312a b λλλ−−=⎧⎪+−=⎨⎪−++=−⎩，解得3a =−，0b =，1λ=−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）由（1）知，由212533102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠3212533(1)λ102E A λλλλ−−−=−+−=++0=得A 的特征值为1−（三重）．由()2r E A −−=知，A 只有一个线性无关的特征向量，故三阶矩阵A 不能相似于对角矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）四、分析计算题（每小题12分，共12分）17．（1）依题意，二次型的矩阵为，且r A110110002a a A a a −+⎛⎞⎜⎟⎟=+−⎜⎜⎟⎝⎠()2=于是11011002a a a a −++−=0，解得0a =.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由（1）得，由110110002A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠2110110(2)002E A λλλλλλ−−0−=−−=−=−，得A 的特征值为10λ=，232λλ==.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）对于10λ=，解线性方程组(0)0E A x −=，得线性无关的特征向量，()11, 1, 0Tα=−对于232λλ==，解线性方程组(2)0E A x −=，得线性无关的特征向量，，()21, 1, 0T α=()30, 0, 1Tα=显然1α，2α，3α正交，将1α，2α，3α单位化得1 0T η⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，2 0Tη⎞=⎟⎠，. ()30, 0, 1T η=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）故f 的标准形为212323(,,)222f x x x y y =+，所用正交变换的矩阵为正交矩阵00001Q ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）五、证明题（每小题8分，共8分） 18．（1）设矩阵B 按列分块可写作()12, , , n B αα="α，由0AB =，得()12,,,0n A ααα="，即0i A α=，1,2,,i n =" ，故i α是齐次方程组的解．0Ax =当时，仅有零解，故()r A n =0Ax =0i α=，1,2,,i n ="，即0B = 当时，的基础解系中含有()r A n <0Ax =()n r A −个向量，故 ()()r B n r A ≤−于是．()()r A r B n +≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）由2A A =，知，由（1）知()A A E −=0()()r A r A E n +−≤ )另一方面，由()(r A E r E A −=−，且()()()()r A r E A r A E A r E n +−≥+−==，故.()()r A r A E n +−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）5。

2008考研数二真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数( )()A 0()B 1 ()C 2()D 3(2) 如图，曲线段方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3) 在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.(4) 判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD(5) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.(6) 设函数f 连续. 若()()2222,uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( ) ()A ()2vf u()B ()2vf u u()C ()vf u()D ()vf u u(7) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(8) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) ()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =(10) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是y =O xvx 2+y 2=u 2 x 2+y 2=1 D uvy(11) 曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12) 求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. (13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. (14) 矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且248A =-，则λ=_______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16) (本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题 020|0xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .(17)(本题满分9分)计算212arcsin 1x x dx x-⎰(18)(本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =. 对于任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II) 若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(22)(本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 证明行列式()1nA n a =+(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x (III) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； (II) 令()123,,P ααα=，求1P AP -2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 由于()f x '是三次多项式，三次方程()0f x '=的实根不是三个就是一个，故D 正确.(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y ''''''-+-=(4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 111ln lim ()lim lim sin sin11x x x xf x x x --+→→→=⋅=--所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.(6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(8) 【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f =(10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)--(13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+(17)【详解】方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t t dx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积22()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题O 0.5 2 xD 1D 3 D 2设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+，即 21y y '=-由分离变量法解得 21l n (1)y y t C+-=+，即 21t y y C e+-= 将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2t ty f x e e -==+(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。

2008年河北专接本高等数学答案02

河北省2008年普通专科接本科教育考试一单项选择题。

1、B 评注：[][]0,1x 1,01x -∈⇒∈+2、D 评注：本题考察的是左右导数与导数的关系3、A 评注：本题考察的是隐函数的求导。

4、D 评注：本题由拉格朗日公式可计算出a b a f b f f --=)()()('ξ 5、A 评注：边际收入是总收入的导数。

6、C 评注：⎰+==C xx f dx x x f 1)(ln )(ln ' 7、D 评注：本题考察的是定积分的计算。

8、A 评注：本题考察的是二元函数的偏导数。

9、B 评注：本题考察的是关于-p 级数的敛散性。

10、C 评注：本题考察的是矩阵的性质。

二、填空题11、3e 评注：本题考察的是函数的连续性。

12、1=-y x 评注：本题考察的是函数的导数。

13、2，[)1,3-14、1三、计算题 15、解：221lim cos 1)1ln(lim sin )1ln(lim 220000==-+=-+→→→⎰x x x x x x x dt t t x x x x 评注：本题考察的是罗必塔法则及积分上限函数的导数。

16、解：=-⎰dx e x x x )(cos 22评注：本题考察的是分部积分法求不定积分。

17、解：111)1(22-+=--xx x x f 2)1(1)1(x x x x f -=-- ，即1)(2+=t t f 。

故[]38)1(2)(2)(2cos 10210113=+==+⎰⎰⎰-dx x dx x f dx x f x x 评注：本题考察的是利用函数的奇偶性计算定积分。

18、解：由⎩⎨⎧==12x y x 可得焦点（1，-1）和（1,1）⎰⎰-=∴10x x dy dx A =34 ⎰⎰⎰=⇒===-a a x x a dx x dy dx A 0304123221 19、解：dy f x xf dx f x y yf dv f du f dz v u v u v u )1()(2++-=+= 20、解：x xe x q x p 2)(,1)(=-=⎰⎰+-=-=C x dx dx x p 1)())(()()(⎰+⎰⎰=∴-C e x q e y dx x p dx x p)(2C x e x +=评注：本题考察的是一阶线性微分方程的通解。

2008年考研数学二试题答案与解析

= 2t
1+ t2
= (1+ t2 ) ⎡⎣ln (1+ t2 ) +1⎤⎦
(17)（本题满分 9 分）
∫ 计算 1 x2 arcsin xdx
0 1− x2
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∫ 解由于 lim x2 arcsin x = +∞ ，故 1 x2 arcsin xdx 是反常积分.
0
0
上式两端对 t 求导,得 f 2 (t ) = f (t ) 1+ f '2 (t )
即
y' = y2 −1
由分离变量法解得
( ) ln y + y2 −1 = t + C1
即
y + y2 −1 = Cet
将 y (0) = 1代入知 C = 1,故
( ) y + y2 −1 = et , y = 1 et + e−t , 2 于是所求函数为
=
(A) vf (u2 ) .
(C) vf (u) .
(B) v f (u2 ) . u
(D) v f (u) . u
[A]
(7) 设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A3 = 0 ,则
(A) E − A 不可逆, E + A不可逆. (C) E − A 可逆, E + A可逆.
( ) y = f ( x) = 1 ex + e−x 2 (20)（本题满分 11 分）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x) 在闭区间[a,b] 上连续,则至少存在一点

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济南大学2007-2008学年第二学期试卷（ A 卷）
课程经济数学（下）授课教师考试时间 08年4月22日考试班级姓名学号
一、填空题（本题共5小题，每题4分，满分20分）
1. 函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠+++=0
20)(2sin ),(2
2
222222y x y x y x y x y x f 在原点处的极限是_________.
2. 函数232x x y x -=的二阶差分=x y 2∆_____________.
3. 将二次积分
⎰
⎰--+2
112
21
)(x x
dy y x f dx 表示成极坐标形式的二次积分为_____ .
4. 一阶差分方程0521=++x x y y 在初始条件30=y 下的特解为____ .
5. 某公司的净资产W 因资产本身产生利息而以5%的年利率增长，同时公司每年还
必须以每年200万元的数额连续支付职工工资，给出描述该公司净资产W （单位：万元）的微分方程_______________.
二、选择填空（本题共5小题，每题4分，满分20分）
1. 若函数),(0y x f 及),(0y x f 在点()00,y x 处都取得极值，则),(y x f 在()00,y x 处
A . 不一定取得极值；
B . 取得极值；
C . 取得最值；
D .不取得极值. （）
2. 函数)1ln(22y x z ++=，当2,1==y x 时的全微分dz 为 ( )
A .
dy dx 3132+；B . dy dx 3231+； C . dy dx 2321+； D . dy dx 2
123+. 3. 设)(x f y =是满足微分方程0sin =-'-''x e y y 的解，且0)(0='x f 则)(x f 在
A . 在0x 的某邻域内单调增加；
B . 在0x 的某邻域内单调减少；（）
C . 在0x 处取得极小值；
D . 在0x 处取得极大值.
4. 设),(y x f 为连续函数，且(,)(,)D
f x y xy f x y d σ=+
⎰⎰，其中积分区域D 由曲线
0=y ，2x y =与1=x 所围成，则),(y x f 等于 ( )
A . 31+
+y x ； B . 23x y x ++； C . 81+xy ； D .8
131+xy . 5. 设dxdy y
x
I D
⎰⎰++=
2
2
11
，其中D ：12
2≤+y x ，则I = ( ) A . 2ln +π； B . 2ln ； C . 2ln π； D .π.
三、求偏导数（本题满分10分）求函数),2(y
x x f z =的二阶偏导数.（其中f 具有二阶连续偏导数）
四、求解方程（本题满分20分）
1. 求微分方程x e y y y =+'-''2的通解.
2．设)(x f 可微且满足关系式1)(]1)(2[0
-=
-⎰x
x f dt t f ，求)(x f .
五、计算积分（本题满分20分）
1．计算
dxdy y x xf y D
⎰⎰++)](1[2
2，其中积分区域D 由曲线 2
x y =与1=y 所围成.( 画出积分区域草图),
2. 计算dx e dy dx e dy y
y
x
y y
x
y ⎰⎰
⎰⎰
+12
1214
12
1. (画出积分区域草图)
六、（本题满分10分）
求函数22y x z -=在闭区域4422≤+y x 上的最大值和最小值.。